單自由度受迫振動參考

二、單自由度體系自由振動微分方程的解)(mk=w02yy=+Tw&&)(0akyym=+LL&&)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=T=yCyycossin)(21ww+=tCtCty)0(010w=T=vCvy&y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω其中δ——是沿質(zhì)點(diǎn)振動方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，它表示在質(zhì)點(diǎn)上沿振動方向加單位荷載使質(zhì)點(diǎn)沿振動方向所產(chǎn)生的位移。k——使質(zhì)點(diǎn)沿振動方向發(fā)生單位位移時，須在質(zhì)點(diǎn)上沿振動方向施加的力。Δst=Wδ——在質(zhì)點(diǎn)上沿振動方向施加數(shù)值為W的荷載時質(zhì)點(diǎn)沿振動方向所產(chǎn)生的位移。計算時可根據(jù)體系的具體情況，視δ、k、Δst

三參數(shù)中哪一個最便于計算來選用。自振周期計算公式：圓頻率計算公式：一些重要性質(zhì)：（1）自振周期與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力只影響振幅a。（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，周期越大（頻率越?。蛔哉裰芷谂c剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。（3）兩個外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動力性能相差很大。反之，兩個外形看來并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下的動力性能基本一致。例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2據(jù)此可得：ω1?ω2?ω3=1?1.512

?

2結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng),其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。1θ例5、求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ例6、求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。lEImk1k11k11k解：求

k對于靜定結(jié)構(gòu)一般計算柔度系數(shù)方便。如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點(diǎn)都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動（如橫梁剛度為∞剛架)計算剛度系數(shù)方便。一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：五、阻尼對自由振動的影響忽略阻尼影響時所得結(jié)果

能不能

反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動規(guī)律。大體上忽略阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無關(guān)。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅逐漸衰減。共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅較大但為有限值。產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)摩擦；周圍介質(zhì)的阻力。阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向;大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系：①與質(zhì)點(diǎn)速度成反比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。②與質(zhì)點(diǎn)速度平方成反比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動受到的阻力）。③與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)（如摩擦力）。粘滯阻尼力的分析比較簡單，(因?yàn)镽(t)=－Cy

).其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。振動模型ykykmy有阻尼的自由振動，動平衡方程：(阻尼比）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設(shè)解為：特征方程為：1)ξ<1（低阻尼）情況c令低阻尼體系的自振圓頻率ae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線①阻尼對自振頻率的影響.

當(dāng)ξ<0.2，則存在0.96<ωr/ω<1。在工程結(jié)構(gòu)問題中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:稱為振幅的對數(shù)遞減率.設(shè)yk和yk+n是相隔n個周期的兩個振幅則:經(jīng)過一個周期后，相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對數(shù)為:工程中常用此方法測定阻尼②阻尼對振幅的影響.振幅ae-ξωt

隨時間衰減，相鄰兩個振幅的比振幅按等比級數(shù)遞減.EI=∞m例、圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計為m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，測得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動。在測得周期T=1.5s及一個周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。解：=wxk2=wxmc2=wwxm22臨界阻尼常數(shù)cr為ξ=1時的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點(diǎn)）阻尼比。反映阻尼情況的基本參數(shù)。3)ξ>1強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動，實(shí)際問題不常見。2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性。m§14-3單自由度體系的受迫振動

受迫振動（強(qiáng)迫振動）：結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的振動。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)彈性力－ky、慣性力和荷載P(t)之間的平衡方程為:一、簡諧荷載：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=mtFyyqwsin2=+&&tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=單自由度體系強(qiáng)迫振動的微分方程特解：最大裂靜位跑移yst（是慢把荷夠載幅陸值當(dāng)跑作靜做荷載嚼作用輩時結(jié)叔構(gòu)所飄產(chǎn)生的位晶移）被。特解槽可寫男為：通解綿可寫希為：設(shè)t=0時的鞠初始襯位移鳴和初沾始速晃度均想為零煤，則切：過渡別階段：振帆動開望始兩雖種振耽動同拘時存儲在的稀階段程；平穩(wěn)癢階段：后慚來只示按荷米載頻預(yù)率振稱動的往階段助。（親由于心阻尼枕的存冷在）按自坑振頻住率振肅動按荷姿載頻緣瑞率振腸動平穩(wěn)浩階段頌：最大屑動位細(xì)移（委振幅業(yè)）為舍：動力殖系數(shù)β為：1023123wqb重要膀的特刺性：當(dāng)θ/學(xué)ω→0時,β→1更，荷載酸變化北得很碼慢，譯可當(dāng)竹作靜踏荷載拳處理忽。當(dāng)0<θ/匹ω<1時,β>1艱，并且何隨θ/糊ω的增效大而柄增大呆。當(dāng)θ/奏ω→1時,β→∞誤。即當(dāng)刃荷載噴頻率喚接近逮于自癥振頻初率時許，振找幅會灣無限連增大京。稱揉為“今共振蘭”。父通常乘把0.量75風(fēng)<θ/挖ω<1叉.2辦5稱為返共振船區(qū)。當(dāng)θ/爭ω>1時,β的絕貴對值逝隨θ/顏ω的增線大而橫減小伴。當(dāng)θ很大知時，高荷載保變化兼很快頭，結(jié)雁構(gòu)來班不及貴反應(yīng)。當(dāng)動笨荷載蹄作用廚在單堅(jiān)自由示度體另系的搭質(zhì)點(diǎn)考上時掃，由效于體腫系上棕各截面忙的內(nèi)發(fā)力、辜位移拌都與協(xié)質(zhì)點(diǎn)紗處的鋼位移衡成正悔比，新故各淋截面至的最迷大動柱內(nèi)力枯和最斑大動變位移塞可采醬用統(tǒng)賴一的終動力有系數(shù)查，只需乞?qū)⒏蓜?wù)擾力適幅值符乘以戶動力漲系數(shù)竹按靜戀力方爺法來稍計算為即可。例：恒已知m=30食0k隔g，EI咳=90承×1筋05N.弄m2,k異=48俗EI收/l3,P跑=20竟kN,θ氧=80輕s-1求梁屠中點(diǎn)亞的位辦移幅劣值及課最大豪動力鳳彎矩油。2mEImkPsinθt2m解：1)劈燕求ω2)拆求β3)架求yma弓x，Mma爹x例、亦一簡羨支梁躁（I級28鋼b）傍，慣長性矩I=7犁48責(zé)0c迅m4，截汽面系剃數(shù)W=5其34今cm3，E=2積.1橫×1弓04強(qiáng)kN蒜/c階m2。在部跨度核中點(diǎn)越有電芽動機(jī)排重量Q=3唯5k哀N，轉(zhuǎn)速n=5周00淹r/趣mi竹n。由尸于具固有偏碗心，朽轉(zhuǎn)動愿時產(chǎn)櫻生離膝心力P=1幟0k眉N，P的豎俯向分廈量為Psi穴nθt。忽筑略梁裂的質(zhì)月量，志試求捆強(qiáng)迫思振動悅的動餡力系轟數(shù)和鏡最大眼撓度燙和最牧大正動應(yīng)力托。（步梁長l=4今m）解：盛1）把求自竄振頻夠率和膠荷載叼頻率2）典求動降力系岸數(shù)β17脖5.緊6M姓Pa必須悔特別網(wǎng)注意臭，這挎種處叉理方癢法只港適用猶于單秘自由給度體徐系在擺質(zhì)點(diǎn)上裹受干坐擾力很作用撞的情辨況。字對于巡壽干擾痰力不披作用稅于質(zhì)泛點(diǎn)的負(fù)單自扎由度體紡系，路以及殊多自弄由度鉤體系植，均紋不能駝采用污這一芳方法另。I2靠2b35胃70波cm435妖7039鎮(zhèn).739駛.71.壘35對于夾本例宗，采麥用較念小的底截面勉的梁挽既可怒避免眼共振讀，又灰能獲柜得較殼好的與經(jīng)濟(jì)亡效益設(shè)。32曲514紅9.掌2設(shè)體倘系在t=0時靜門止，鍬然后稠有瞬奧時沖武量S作用。二、侮一般內(nèi)荷載一般叢荷載含作用筆下的雙動力其反應(yīng)爹可利昏用瞬獨(dú)時沖辮量的動力厭反應(yīng)久來推大導(dǎo)1、獅瞬時商沖量及的動斯力反桂應(yīng)P(t)tP瞬時但沖量S引起慨的振支動可齊視為通由初治始條搏件引麗起的模自由幸振動樓。由動墓量定原理：Δtcossin)(00www+=tvtytyΔtτtt't'cossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtyty2、烘任意京荷載P(t)的動椒力反硬應(yīng)P(t)tττ時刻熱的微趁分沖晝量對t瞬時(t次>τ)引起躺的動端力反賴應(yīng):初始獲靜止奇狀態(tài)閱的單混自由澇度體節(jié)系在蜓任意垂荷載叉作用減下的亞位移傭公式徑:(D頭uh牌am亂el積分貪)…頌…（葬15致.2銀9）初始到位移y0和初津始速助度v0不為之零在舊任意甚荷載茄作用搞下的嘆位移沿公式爆:t3、國幾種詳?shù)湫图ず奢d涂的動誓力反讀應(yīng)1）推突加遷荷載P(t)tPyst=P0δ=話P0/mω2ysty(t)ωt0π2π3π質(zhì)點(diǎn)羨圍繞券靜力貿(mào)平衡蠅位置鐘作簡約諧振督動2）啊短時垂荷載P(t)tPu階段Ⅰ(0<t<u)：與突夏加荷咬載相摩同。階段Ⅱ(t>u)：無荷執(zhí)載，喘體系攝以t=u時刻沿的位粱移和速莖度為初凝始條獄件作天自由憲振動造。sincos)(00www+=tvtyty或者糞直接睡由Du樣ha拐me交l積分伴作另解應(yīng)：短顛時荷這載可創(chuàng)認(rèn)為恐由兩渾個突暖加荷湊載疊友加而岸成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu當(dāng)0<t<u當(dāng)t>uysty(t)ωt0π2π3πωT最大怖動反居應(yīng)1）當(dāng)u>T/2最大宇動位扛移發(fā)爆生在剝階段Ⅰ2）當(dāng)u<T/2最大繪動位品移發(fā)情生在徑階段Ⅱβ=2β1/611/22動力鍬系數(shù)嗽反應(yīng)阻譜(β與T和u之間墳的關(guān)率系曲考線)3）油線性道漸增盆荷載P(t)tP0tr這種紅荷載韻引起祖的動攜力反催應(yīng)同腳樣可召由D暫uh腎am鵲el積分帆來求解:對于候這種法線性著漸增煉荷載騾,其廳動力施反應(yīng)剛與升尺載時額間的妙長短帆有很剖大關(guān)著系。法其動心力系藍(lán)數(shù)的支反應(yīng)暗譜如巨下：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrP0動力殲系數(shù)閉反應(yīng)協(xié)譜動力腹系數(shù)β介于刻1與悄2之辨間。如果稀升載宏很短勻，tr<T/4店,則β接近遙于2浮,即皮相當(dāng)邊于突界加荷撓載情砌況。如果值升載版很長捎，tr>4T,則β接近悔于1越,即摘相當(dāng)輸于靜攔荷載完情況憑。常取親外包賺虛線耗作為融設(shè)計澤的依型據(jù)。三、回有阻錦尼的巡壽強(qiáng)迫監(jiān)振動①單箱獨(dú)由v0引起使的自僅由振咐動：②瞬均時沖團(tuán)量ds=惕Pdt=鵝mv0所引償起的努振動充，可惕視為唯以v0=Pdt/段m，y0=0為初濁始條微件的慢自由勉振動趨：③將毀荷載P(t)的加芳載過風(fēng)程健看腸作一陳系列角瞬時旗沖量艦：④總基反應(yīng)P(t)tτtEI=∞m例、圖示秧一單瓶層建餅筑物如的計陪算簡賀圖。歉屋蓋峰系統(tǒng)晨和柱防子的賭質(zhì)量請均集胃中在欺橫梁宗處共叼計為m9.8kN，加釣一水匆平力P=9社.8烏kN，測聽得側(cè)留移A0=0奴.5辨cm，然后她突然家卸載授使結(jié)愿構(gòu)發(fā)印生水糖平自耕由振逆動。芹在測協(xié)得周撿期T=1膠.5徹s及一個周顫期后情的側(cè)豬移A1=0挎.4景cm。求涉結(jié)構(gòu)怖的阻寒尼比ξ和阻前尼系睜數(shù)c。解：=wxk2=wxmc2=wwxm22（1售）突加先荷載P0低阻百尼y-霉t曲線無阻高尼y-勁t曲線ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π靜力肝平衡疾位置具有應(yīng)阻尼心的體藝系在突加忙荷載智作用管下，最初恐所引互起的健最大位移偶接近銳于靜袋位移yst=P0/mω2的兩江倍，然后鹿逐漸竄衰減加，最后停敲留在攻靜力廈平衡位置叫。（2盆）簡諧溉荷載P(t)=Fsi歐nθt設(shè)特洗解為方：y=脫Asi匙nθt駝+Bco仔sθt代入檢（1雞5-潤34紙）得：+{Asi峰nθt+Bco垃sθt}齊次碎解加肉特解坦得到啄通解丹：自由談?wù)駝涌担蛭鲎枘嵴阕饔美?，逐漸捐衰減妨、消輔失。純強(qiáng)開迫振快動，洞平穩(wěn)信振動長，振幅庫和周砍期不遵隨時織間而湖變化劃。結(jié)論：在逐簡諧鏡荷載抹作用攻下，飛無論賠是否羨計入張阻尼攻的作核用，六純強(qiáng)迫極振動爆部分怨總是神穩(wěn)定哈的周兆期運(yùn)絕動，姨稱為需平穩(wěn)喜振動鞠。y=能Asi鳥nθt+Bco諒sθt=yPsi曠n(θt－α)時(析15庭-3唉5a蟲)振幅：yp，最大岔靜力遠(yuǎn)位移：yst=F喚/k菜=F志/m晴ω2動力藍(lán)系數(shù)β與頻挎率比θ/慶ω和阻沖尼比ξ有關(guān)4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點(diǎn)近注意擺：①隨ξ增大β曲線貸漸趨附平緩括，特別術(shù)是在θ/震ω=1附近β的峰值煉下降仆的最峰為顯夏著。xb21=共振時②當(dāng)θ接近ω時，β增加阿很快恭，ξ對β的數(shù)葵值影到響也債很大。在0.吸75<θ/財ω<1.涉25(共菠振區(qū)替)內(nèi)項(xiàng)，阻槳尼大隸大減堤小了拆受迫像振動考的位宴移，因此狗,錘為了寇研究章共振驗(yàn)