浙江省寧波市九校高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022年6月寧波九校高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求集合的補(bǔ)集，再根據(jù)并集運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以；因?yàn)椋?故選：B.2.若（，i為虛數(shù)單位），則（）A.2 B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法及復(fù)數(shù)相等可得，即可得答案.【詳解】由，即，所以.故選：B3.已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】利用線面、面面平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理逐個(gè)判斷即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A,若，則相交、平行均有可能，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若，則在內(nèi)或者，又則正確，故B正確；對(duì)于C,若，則相交、平行均有可能,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若，則可能異面或平行，故D錯(cuò)誤；故選：B.4.若，則（）A.B.C.D【答案】D【解析】【分析】令可得，，，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系.【詳解】令，則，，，所以，，，而，故.故選：D5.已知函數(shù)若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)圖像，將問(wèn)題化為與有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求的范圍.【詳解】由題意，與有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，遞增且值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增且值域?yàn)?；所以的圖像如下：由圖知：時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).故選：A6.已知函數(shù)，使不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，利用單調(diào)和對(duì)稱性可得的范圍，再由必要不充分條件的定義可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若不等式成立，則，即，可得，解得或，結(jié)合選項(xiàng)可知使不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是或，故選：D7.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為，其內(nèi)切球與兩側(cè)面，分別切于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正四棱錐內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，P為內(nèi)切球與側(cè)面PAB的切點(diǎn)，為側(cè)面上切點(diǎn)所在小圓的圓心，半徑為r，E為AB中點(diǎn)，底面正方形ABCD中心，利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，再利用等面積法求得點(diǎn)P到的距離求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)正四棱錐內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，P為內(nèi)切球與側(cè)面PAB的切點(diǎn)，為側(cè)面上切點(diǎn)所在小圓的圓心，半徑為r，E為AB中點(diǎn)，底面正方形ABCD中心，因?yàn)檎睦忮FS-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以正四棱錐側(cè)面三角形的高為，正四棱錐的高為，正四棱錐的表面積為，正四棱錐的體積為，由等體積法得：，解得，因?yàn)?，所以，由正四棱錐的定義知：內(nèi)切圓與四個(gè)側(cè)面相切，四個(gè)切點(diǎn)構(gòu)成正方形，所以，故選：A8.已知正實(shí)數(shù)、和實(shí)數(shù)滿足，若存在最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可出，分、、三種情況討論，利用基本不等式求出的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、和實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)的最大值為；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，可得，即，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，若存在最小值，則，可得，即時(shí)，則，，此時(shí)存在最大值.綜上所述，若存在最大值，則的取值范圍是.故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，有，則下列選項(xiàng)一定正確的是（）A.B.C.在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)D.若，則在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】由單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】易知在上單調(diào)遞增，而，若，則，而，故符號(hào)不確定，，故A錯(cuò)誤，B正確，由零點(diǎn)存在性定理知在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，若，則在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，故D正確，故選：BD10.若，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等式右邊的系數(shù)為1求出；B選項(xiàng)，求出中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，求出；CD選項(xiàng)，賦值法求解各項(xiàng)系數(shù)和與，從而判斷CD選項(xiàng)【詳解】因?yàn)榈仁接疫叺南禂?shù)為1，所以，A正確；中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，所以，B錯(cuò)誤；中，令得：，所以，令得：，所以，C錯(cuò)誤；中，令得：，即，而，所以，，D正確.故選：AD11.下列說(shuō)法正確的是（）A.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是B.從10名男生，5名女生中隨機(jī)選取4人，則其中至少有一名女生的概率為C.若隨機(jī)變量，則D.在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越好【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)代換的過(guò)程，直接求解；對(duì)于B：直接求出其中至少有一名女生的概率，即可判斷；對(duì)于C：利用二項(xiàng)分布求出方差，再求；對(duì)于D：按照殘差的意義直接判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所?又，，所以，所以.故A正確.對(duì)于B：從10名男生，5名女生中隨機(jī)選取4人，有種，至少有一名女生的選法，有，所以其中至少有一名女生的概率為.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：隨機(jī)變量，所以，所以.故C正確；對(duì)于D：按照殘差的意義，在回歸分析中，若殘差平方和越小，則模型的擬合效果越好.故D錯(cuò)誤.故選：AC12.甲箱中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球.以分別表示從甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分別表示從乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件相互獨(dú)立C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概念判斷A、B，根據(jù)古典概型的概率公式判斷C，根據(jù)全概率公式判斷D；【詳解】解：對(duì)于A，每次取出球，事件與事件是互斥事件且是對(duì)立事件，故A正確；對(duì)于B，從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱黑球變?yōu)閭€(gè)，則取出白球概率發(fā)生變化，事件與事件不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若從甲箱取出個(gè)黑球放入乙箱，這時(shí)乙箱黑球變?yōu)閭€(gè)，白球還是個(gè)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，，所以，故D正確．故選：AD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)隨機(jī)變量，若，則___________.【答案】##【解析】【分析】直接根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，，所以，故答案為：0.4.14.已知平面向量滿足，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】3【解析】【分析】把向量數(shù)量積運(yùn)算和模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，然后可求結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)，則；所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值3故答案為：315.編號(hào)為的5個(gè)小球，放入編號(hào)為的3個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，編號(hào)為1的小球必須放入1號(hào)盒子，那么不同的放法有___________種.（填寫(xiě)數(shù)字）【答案】50【解析】【分析】從1號(hào)盒的放球個(gè)數(shù)來(lái)分類，逐類求解可得答案.【詳解】若1號(hào)盒子只放一個(gè)球，則2號(hào)盒和3號(hào)盒共放4個(gè)球，有種；若1號(hào)盒子放兩個(gè)球，則有種；若1號(hào)盒子放三個(gè)球，則有種；所以共有種.故答案為：50.16.已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為平面為中點(diǎn)，.記和直線所成角為，則該三棱錐繞旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】把和直線所成角轉(zhuǎn)化為與平面所成角，結(jié)合線面角的性質(zhì)可求答案.【詳解】設(shè)與平面所成角為，因?yàn)?，和直線所成角為，所以；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，或其補(bǔ)角是與所成角；在中，，所以且為銳角.三棱錐繞旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，由線面角的性質(zhì)可知，，所以，即的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)是該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，若，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，則可求出，從而可求出函數(shù)的解析式；（2）由可求出，由正弦定理得，從而可表示出，化簡(jiǎn)后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】由題知，因?yàn)?，所以，所以函?shù)，即為.【小問(wèn)2詳解】由題知，即，因?yàn)椋?，所以，?所以由正弦定理得，所以,因?yàn)樗?，所以，所以，所以取值范圍?18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2），且，且【解析】【分析】（1）將不等式看作，即可得出定義域；（2）應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化方程為一元二次方程（含參數(shù)）求解即可.小問(wèn)1詳解】由于與同解，若，則定義域是或；若，則定義域；若，則定義域是.【小問(wèn)2詳解】由于對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)的，原方程等價(jià)于，化簡(jiǎn)得：，解得，或，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的根，并且都必須在定義域內(nèi)，所以，解得，且，且；綜上，，且，且.19.為了檢測(cè)新冠疫苗的效果，需要進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按分組，每組分別有10只，20只，40只，100只，30只.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)沒(méi)有產(chǎn)生抗體的共有40只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值小于60的有20只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.（1）完成如圖所示列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體沒(méi)有抗體合計(jì)（2）用頻率估計(jì)概率，以動(dòng)物試驗(yàn)中小白鼠注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率.記只小白鼠注射疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量.試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，求參加接種試驗(yàn)的小白鼠數(shù)量.參考公式：（其中為樣本容量）參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，能認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)（2）參加接種試驗(yàn)的小白鼠數(shù)量【解析】【分析】（1）先根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計(jì)算的數(shù)值，分析即可得出結(jié)果；（2）不同小老鼠之間的實(shí)驗(yàn)顯然無(wú)關(guān)，于是可近似看成二項(xiàng)分布，由題意可知，解出的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無(wú)關(guān)聯(lián).列聯(lián)表如下：（單位：只）抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體50110160沒(méi)有抗體202040合計(jì)70130200根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.【小問(wèn)2詳解】記產(chǎn)生抗體的概率為，則.不同小老鼠之間的實(shí)驗(yàn)顯然無(wú)關(guān)，于是可近似看成二項(xiàng)分布，故由題知：，即，所以20.某數(shù)學(xué)教師任教兩個(gè)班級(jí)，在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)：班學(xué)生人數(shù)50，平均成績(jī)是81，方差為5；班學(xué)生人數(shù)40，平均成績(jī)90，方差為5.在任教班級(jí)中按照分層隨機(jī)抽樣抽取9人，再?gòu)闹须S機(jī)抽取6人.（1）若隨機(jī)抽取的6人成績(jī)分別為88，87，86，85，84，83，求這6人成績(jī)的第50百分位數(shù)；（2）隨機(jī)抽取的6人中，記來(lái)自班的學(xué)生數(shù)為，請(qǐng)寫(xiě)出的分布列，求數(shù)學(xué)期望；（3）求該教師所任教的所有學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的均值與方差.【答案】（1）這6人成績(jī)的第50百分位數(shù)是；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）均值為85，方差為25.【解析】【分析】（1）百分位求法求第50百分位數(shù)；（2）由題意隨機(jī)變量的取值為并求出對(duì)應(yīng)概率值，即可得分布列，進(jìn)而求期望；（3）根據(jù)已知各班級(jí)平均成績(jī)及方差求所有學(xué)生的成績(jī)均值和方差.【小問(wèn)1詳解】由6人成績(jī)從大到小為88，87，86，85，84，83，這6人成績(jī)的第50百分位數(shù)是.【小問(wèn)2詳解】按分層抽樣，9人中有5人來(lái)自班，4人來(lái)自班.隨機(jī)變量的取值為.，分布列如下：2345.【小問(wèn)3詳解】平均分：.又，，即，，方差：.21.如圖，在四棱錐中，平面，底面為梯形，其中，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）記平面平面，判斷直線和直線的位置關(guān)系，并證明；（2）若二面角的大小為是靠近的三等分點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用線面平行的判定定理證得平行，然后利用線面平行的性質(zhì)定理證得結(jié)論；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，從而求得二面角的平面角，利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，過(guò)作于點(diǎn)，求得的長(zhǎng)，然后利用線面角概念求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，證明如下：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?所以.【小問(wèn)2詳解】在梯形中，由條件可得，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以二面角的平面角為，所以，因?yàn)槠矫?，所以，由，得點(diǎn)到平面的距離，過(guò)作于點(diǎn)，則，所以，于是且，所以四邊形是平行四邊形.于是又，所以，所以與平面所成角正弦值為.22.已知函數(shù).（1）若，記函數(shù).當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出的增區(qū)間.（不需要證明）；（2）記函數(shù).若在區(qū)間上最大值是2，求的值；（3）記函數(shù)，對(duì)，有成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）或或或5（3）【解析】【分析】（1）去絕對(duì)值符號(hào)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）令，則有，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在函數(shù)圖像之間，再分和兩種情況討論，從而可得出答案；（3），即，令，則，即