湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)育段學(xué)區(qū)育紅中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)育段學(xué)區(qū)育紅中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題正確的是

A．很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合.

B．集合與集合是同一個(gè)集合.C．自然數(shù)集中最小的數(shù)是.D．空集是任何集合的子集.參考答案：D2.將函數(shù)（）的圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向左平移個(gè)單位，可以得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A3.對(duì)于集合，定義，，設(shè)，，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C4.已知實(shí)數(shù)滿足，下列5個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的關(guān)系有（

）

A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.5個(gè)

參考答案：A略5.（5分）四邊形ABCD是單位圓O的內(nèi)接正方形，它可以繞原點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，4），M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則?的最大值為（） A． 5 B． C． D． 參考答案：C考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 由于M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且AB⊥BC，則OM⊥ON，運(yùn)用向量的三角形法則，可得?=﹣?，再由向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的值域即可得到最大值．解答： 由于M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且AB⊥BC，則OM⊥ON，?=（﹣）?=?﹣?=0﹣?=﹣?，由四邊形ABCD是單位圓O的內(nèi)接正方形，即有正方形的邊長(zhǎng)為，則||=，由||==5，即有﹣?=﹣||?||?cos∠POM=﹣cos∠POM，當(dāng)OP，OM反向共線時(shí)，取得最大值．故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義，主要考查向量垂直的條件和余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．6.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如右圖所示，則不等式的解集是A．

B．C．

D．參考答案：D略7.已知函數(shù)是定義在[－1,2]上的減函數(shù)，且點(diǎn)A（－1，3）和點(diǎn)B（2，－1）在函數(shù)的圖象上，則滿足條件的x的集合是A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.當(dāng)時(shí)，不等式（其中且）恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C．(1,2) D．(1,2]參考答案：D作出函數(shù)y=x2與y=loga（x+1）的圖象如圖，要使當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，不等式x2＜loga（x+1）恒成立，則a＞1且loga（1+1）=loga2≥1，解得1＜a≤2．∴a的取值范圍為（1，2]．故選：D．

9.已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,且直線與直線垂直，則的值為.

.

.

.參考答案：B10.從學(xué)號(hào)為1號(hào)至50號(hào)的高一某班50名學(xué)生中隨機(jī)選取5名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)試，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則所選5名學(xué)生的學(xué)號(hào)可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40參考答案：B【考點(diǎn)】B4：系統(tǒng)抽樣方法．【分析】計(jì)算系統(tǒng)抽樣的抽取間隔，由此可得答案．【解答】解：系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為=10，由此可得所選5名學(xué)生的學(xué)號(hào)間隔為10，由此判定B正確，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱，則ω的值為．參考答案：【考點(diǎn)】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，從而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x=，k∈Z，結(jié)合已知可得：ω2=，從而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x=，k∈Z，∴由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案為：．12.若f（x）=loga（2﹣ax）在[0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

．參考答案：1＜a＜2【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】本題必須保證：①使loga（2﹣ax）有意義，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)．由于所給函數(shù)可分解為y=logau，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=loga（2﹣ax）定義域的子集．【解答】解：因?yàn)閒（x）在[0，1]上是x的減函數(shù)，所以f（0）＞f（1），即loga2＞loga（2﹣a）．∴?1＜a＜2故答案為：1＜a＜2．13.數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式

．參考答案：略14.函數(shù)的最大值是

．參考答案：由題意得，令，則，且．故，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且，即函數(shù)的最大值為．

15.在等差數(shù)列{an}中，，，則公差d=

．參考答案：由題意得．

16.設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是A的一個(gè)“孤立元”，給定，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有

個(gè).參考答案：10略17.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程是

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意、恒成立，當(dāng)時(shí)，.(Ⅰ)求證在上是單調(diào)遞增函數(shù)；（Ⅱ）已知，解關(guān)于的不等式；（Ⅲ）若，且不等式對(duì)任意恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)…………4分（Ⅱ），由得在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以…8分（Ⅲ）由得所以，由得在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以對(duì)任意恒成立.記只需.對(duì)稱軸（1）當(dāng)時(shí)，與矛盾.此時(shí)（2）當(dāng)時(shí)，，又，所以（3）當(dāng)時(shí)，又綜合上述得：…12分19.移動(dòng)支付(支付寶支付，微信支付等)開(kāi)創(chuàng)了新的支付方式，使電子貨幣開(kāi)始普及，為了了解習(xí)慣使用移動(dòng)支付方式是否與年齡有關(guān)，對(duì)某地200人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：60歲以上的人群中，習(xí)慣使用移動(dòng)支付的人數(shù)為30人；60歲及以下的人群中，不習(xí)慣使用移動(dòng)支付的人數(shù)為40人。已知在全部200人中，隨機(jī)抽取一人，抽到習(xí)慣使用移動(dòng)支付的人的概率為0.6。(1)完成如下的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為習(xí)慣使用移動(dòng)支付與年齡有關(guān)，并說(shuō)明理由。

習(xí)慣使用移動(dòng)支付不習(xí)慣使用移動(dòng)支付合計(jì)（人數(shù)）60歲以上

60歲及以下

合計(jì)（人數(shù)）

200

(2)在習(xí)慣使用移動(dòng)支付的60歲及以上的人群中，每月移動(dòng)支付的金額如下表：每月支付金額[100,2000](2000,3000]3000以上人數(shù)15x5現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中有1人月支付金額超過(guò)3000元的概率。附：，其中n＝a＋b＋c＋d。P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828

參考答案：（1）列聯(lián)表如圖20.已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜1}．（1）若a=﹣，求A∪B；（2）若A∩B=?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合．【分析】（1）化簡(jiǎn)集合A，再求A∪B；（2）若A∩B=?，則a﹣1≥1或a+1≤0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣時(shí)，A={x|﹣＜x＜}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以A∪B={x|﹣＜x＜1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因?yàn)锳∩B=?，所以a﹣1≥1或a+1≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得a≤﹣1或a≥2，所以a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．21.（12分）若是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式并作圖指出其單調(diào)區(qū)間．參考答案：解：22.（本小題滿分16分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足，且函數(shù)的最小值為2．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值；（3）若在區(qū)間[1,3]上，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：解：（1）由對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，得二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)的最小值為2．因此可設(shè)（）．又二