交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其判別法課件

一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其判別法定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)

定理12.11（萊布尼茨判別法）設(shè)

滿足以下兩個(gè)條件1）數(shù)列單調(diào)遞減

2）

則收斂

證明所以數(shù)列收斂

推論若級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，則收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)估計(jì)式為二、絕對(duì)收斂與條件收斂若級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

若級(jí)數(shù)收斂，但是級(jí)數(shù)不收斂，則稱級(jí)數(shù)為條件收斂。

定理12.12

若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂

對(duì)任何正數(shù)總存在正數(shù)N，使得n>N和任意正數(shù)r,有證

由于因此由柯西準(zhǔn)則知級(jí)數(shù)也是收斂的。例1

證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

.證由于對(duì)任何實(shí)數(shù)有，所以對(duì)所考察的級(jí)數(shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)1.級(jí)數(shù)的重排定義:把正整數(shù)列到它自身的一一映射稱為正整數(shù)列的重排,相應(yīng)地對(duì)于數(shù)列按映射所得到的數(shù)列稱為原級(jí)數(shù)的重排,相應(yīng)也稱級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)的重排.則任意重排得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,且有相同的定理12.13設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,且其和等于和數(shù).注:由條件收斂級(jí)數(shù)重排得到的新級(jí)數(shù),即使收斂也不一定收斂于原來的和數(shù),而且條件收斂收斂級(jí)數(shù)適當(dāng)重排后,可得到發(fā)散級(jí)數(shù),或收斂于任何事先指定的數(shù).如：2.級(jí)數(shù)的乘積設(shè)為收斂級(jí)數(shù)，他（1）與（2）中每一項(xiàng)所有可能的乘積列成下表：這些乘積可以按各種方法排成不同的級(jí)數(shù)，常用的有按正方形順序或按對(duì)角線順序依次相加，于是分別有：和定理12.14(柯西定理)若級(jí)數(shù)(1)、（2）都絕對(duì)收斂，則對(duì)（3）中所有乘積按任意順序排列所得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且其和等于例2等比級(jí)數(shù)＜1

是絕對(duì)收斂的，將按的順序排列，則得到

=1+2

三、阿貝耳判別法和狄利克雷判別法引理（分部求和公式）設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，若令則有如下分部求和公式成立：證：以分別乘以整理后就得所要證的公式。推論（阿貝耳引理）若（1）是單調(diào)數(shù)組；（2）對(duì)任一正整數(shù)有則記時(shí)，有：證：由（1）知都是同號(hào)的，于是由分部求和公式及條件（2）推得以下討論級(jí)數(shù)的收斂性。定理12.15(阿貝爾判別法)

若為單調(diào)有界數(shù)列,且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.定理12.16(狄利克雷判別法)若單調(diào)遞減,又級(jí)數(shù)部分和數(shù)列有界,則級(jí)數(shù)收斂.且例3若數(shù)列具有性質(zhì):則級(jí)數(shù)和對(duì)任何都收斂.解:因?yàn)楫?dāng)時(shí),故得到所以級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列當(dāng)