黑龍江省哈爾濱市青一學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

黑龍江省哈爾濱市青一學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B略2.已知等差數(shù)列{an}滿足a6+a10=20，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．S15=150 B．a(chǎn)8=10 C．a(chǎn)16=20 D．a(chǎn)4+a12=20參考答案：C考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)，可得結(jié)論．解答：解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正確；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正確；a6+a10≠a16，即C錯(cuò)誤a4+a12=a6+a10=20，即D正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)是關(guān)鍵．3.（5分）已知{an}為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，若a4?a8=4，則a5?a6?a7=（）A．4B．8C．16D．64參考答案：B【考點(diǎn)】：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a6=2，而a5?a6?a7=a63，代值計(jì)算可得．解：∵{an}為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列且a4?a8=4，∴由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a62=a4?a8=4，∴a6=2，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5?a6?a7=a63=8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．4.已知集合A={－1,0,1,2}，集合，則A∩B等于A．{－1,0,1} B．{－1,1} C．{－1,1,2} D．{0,1,2}參考答案：B5.設(shè)α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個(gè)充分條件是

(

)A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l

B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α

D．n⊥α，n⊥β，m⊥α參考答案：答案：D6.使得函數(shù)f（x）=lnx+x﹣2有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：C考點(diǎn)： 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由題意可得函數(shù)的定義域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根據(jù)f（a）?f（b）＜0，結(jié)合零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)在（a，b）上存在一個(gè)零點(diǎn)，可得結(jié)論．解答： 解：由題意可得函數(shù)的定義域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可知，函數(shù)y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一個(gè)零點(diǎn)故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)，定義為的導(dǎo)數(shù)，即，，若的內(nèi)角滿足，則的值是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.已知雙曲線的離心率，則一條漸近線與實(shí)軸所成角的取值

范圍是（

） A． B． C． D．參考答案：C9.如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，高為2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【分析】分析三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的形狀，并求出面積，相加可得答案．【解答】解：三棱錐P﹣BCD的正視圖是底面邊長(zhǎng)為1，高為2的三角形，面積為：1；三棱錐P﹣BCD的假視圖也是底面邊長(zhǎng)為1，高為2的三角形，面積為：1；故三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為2，故選：A10.若一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，這個(gè)幾何體可能是一個(gè)

(

)A．棱臺(tái)

B．棱錐C．棱柱

D．圓柱參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在上的偶函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：①；

②是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸；

③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若方程.在區(qū)間上有兩根為，則。以上命題正確的是

。（填序號(hào)）參考答案：①②③④12.設(shè)函數(shù)f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是

。參考答案：略13.已知

.參考答案：略14.函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是

.參考答案：215.圖形的對(duì)稱，正弦曲線的流暢都能體現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”．“黃金分割”也是數(shù)學(xué)美得一種體現(xiàn)，如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由勾股定理求得|BF|2+|AB|2=|AF|2，代入由雙曲線的離心率公式即可求得離心率e．【解答】解：在黃金雙曲線中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由題意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=，由e＞1，則e=，故黃金雙曲線的離心率e=，故答案為：，16.（5分）（2015?萬(wàn)州區(qū)模擬）在等比數(shù)列{an}中，an＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，則a3+a5=．參考答案：5【考點(diǎn)】：等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題．【分析】：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知等式左邊的第一與第三項(xiàng)，再利用完全平方公式變形求出（a3+a5）2的值，根據(jù)等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，開方即可求出a3+a5的值．【解答】：在等比數(shù)列{an}中，an＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，即a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，解得：a3+a5=5．故答案為：5【點(diǎn)評(píng)】：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得出a32+2a3a5+a52=25是解本題的關(guān)鍵．17.已知f（x）=，各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，則a1800+a15的值是．．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】題中給出了數(shù)列隔項(xiàng)遞推公式，給出兩個(gè)條件，一個(gè)用來解決偶數(shù)項(xiàng)，一個(gè)用來解決奇數(shù)項(xiàng)，即可得出．【解答】解：∵f（x）=，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2=f（an），∴a1=1，a3=，a5=，a7=，…，a15=．∵a2010=a2012，∴a2010=，∴a2010=（負(fù)值舍去），由a2010=，得a2008=，…，a1800=．∴a1800+a15=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），曲線y=f（x）在x=處有水平切線．（1）求a的值；（2）設(shè)g（x）=f（x）+x+xlnx，證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：f′（x）．由于曲線y=f（x）在x=處有水平切線，可得=0，解得a即可．（2）對(duì)任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2?g（x）max﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2．g（x）=+x+xlnx，g′（x）=+2+lnx，可知：g′（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增；由于x∈（0，1），可得x→0時(shí)，g′（x）→﹣∞；x=1時(shí)，g′（x）=＞0．因此必然存在t∈（0，1），使得g′（t）=0．進(jìn)而證明即可．【解答】（1）解：f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），x∈R．f′（x）=（ax+a+1）?eax．∵曲線y=f（x）在x=處有水平切線．∴=（a+2）e=0，解得a=﹣2．（2）證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2?g（x）max﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2．g（x）=f（x）+x+xlnx=+x+xlnx，g′（x）=+2+lnx，可知：g′（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增；∵x∈（0，1），∴x→0時(shí)，g′（x）→﹣∞；x=1時(shí)，g′（x）=＞0．∴必然存在t∈（0，1），使得g′（t）=0．由于=+2﹣ln4＜0，=+2﹣ln2＞0，∴t∈．由g′（t）=0，可得+2+lnt=0，可得：lnt=﹣2，∴g（x）min=g（t）=+t+tlnt=﹣t=u（t），u′（t）=﹣1＜0，∴函數(shù)u（t）在t∈單調(diào)遞減．其最小值=，而當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（1）=+1＞g（x）max．∴g（x）max﹣g（x）min＜+1﹣＜e﹣1+2e﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19.（本小題滿分12分）在各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列中，已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求．參考答案：證明：（1）由題知：

……………2分

即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列

∵

且各項(xiàng)為負(fù)數(shù)

∴

即

……………4分

則

……………7分

（2）由（1）知

則………]+(1+2+3+……+n)……………8分……………10分

……………13分20.（13分）已知：數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：解析：（Ⅰ）驗(yàn)證n=1時(shí)也滿足上式：（Ⅱ）21.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，地面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．（1）證明：AE⊥PD；（Ⅱ）若AB=2，PA=2，求四面體P﹣AEF的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（I）通過證明AE⊥平面PAD得出AE⊥PD；（II）連接PE，證明BC⊥平面PAE，于是VP﹣AEF=VF﹣PAE=VC﹣PAE．【解答】證明：（I）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，又BC∥AD，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又PD?平面