云南省曲靖市羅平縣富樂第一中學2021-2022學年高三數學理下學期期末試題含解析

云南省曲靖市羅平縣富樂第一中學2021-2022學年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a、b都是非零實數，則等式的成立的充要條件是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.從5名男公務員和4名女公務員中選出3人，分別派到西部的三個不同地區(qū)，要求3人中既有男公務員又有女公務員，則不同的選派方法種數是(

)A.70

B.140

C.420

D.840參考答案：答案：C

3.已知等比數列的前項和為則的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.函數的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數的圖象．【分析】求出函數的零點個數，圖象所過象限及極限值，利用排除法，可得答案．【解答】解：令函數=0，則x=0，或x=，即函數有兩個零點，故排除B；當0＜x＜時，函數值為負，圖象出現在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故選：A5.正四面體ABCD的棱長為4，E為棱AB的中點，過E作此正四面體的外接球的截面，則截面面積的最小值是（）A．4π B．8π C．12π D．16π參考答案：A【考點】LR：球內接多面體．【分析】根據題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數據算出外接球半徑R，當球心O到截面的距離最大時，截面圓的面積達最小值，再利用球的截面圓性質可算出截面面積的最小值．【解答】解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，∵正四面體ABCD的棱長為4，∴正方體的棱長為2，可得外接球半徑R滿足2R=2×，R=．E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，當球心O到截面的距離最大時，截面圓的面積達最小值，此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，可得截面圓的半徑為r=．得到截面圓的面積最小值為S=πr2=4π．故選：A．6.已知圓，點，A，B兩點關于x軸對稱．若圓C上存在點M，使得，則當m取得最大值時，點M的坐標是A．

B．

C．

D．參考答案：C由題得圓的方程為設由于，所以由于表示圓C上的點到原點距離的平方，所以連接OC，并延長和圓C相交，交點即為M，此時最大，m也最大.故選C.

7.已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么?UP＝()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)參考答案：D略8.已知復數z的共軛復數為，若||=4，則z?=(

) A．4 B．2 C．16 D．±2參考答案：C考點：復數代數形式的乘除運算．專題：數系的擴充和復數．分析：先設出復數z=a+bi（a、b∈R），再求出共軛復數，由已知||=4，則z?的答案可求．解答： 解：設則=a﹣bi，∵||=，∴z?=（a+bi）?（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故選：C．點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念及共軛復數的求法，是基礎題．9.在等差數列中，已知，則該數列前11項和

A．58

B．88

C．143

D．176參考答案：B略10.已知集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，則AB=

A．{x|1≤x≤3}

B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|0<x≤3}

D．{x|－1≤x<0}參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知則的值為

.參考答案：3略12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a、b的值分別為、4，則輸出a的值為

參考答案：1613.已知數列{an}中，a1=2，且，則其前9項的和S9=．參考答案：1022【考點】數列的求和．【分析】由題意整理可得：an+1=2an，則數列{an}以2為首項，以2為公比的等比數列，利用等比數列的前n項和公式，即可求得S9．【解答】解：由題意可知an+12=4an（an+1﹣an），則an+12=4（anan+1﹣an2），an+12﹣4anan+1+4an2=0整理得：（an+1﹣2an）2=0，則an+1=2an，∴數列{an}以2為首項，以2為公比的等比數列，則前9項的和S9===1022，故答案為：1022．14.（5分）如果y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”．給出下列命題：①函數y=sinx具有“P（a）性質”；②若奇函數y=f（x）具有“P（2）性質”，且f（1）=1，則f（2015）=1；③若函數y=f（x）具有“P（4）性質”，圖象關于點（1，0）成中心對稱，且在（﹣1，0）上單調遞減，則y=f（x）在（﹣2，﹣1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增；④若不恒為零的函數y=f（x）同時具有“P（0）性質”和“P（3）性質”，且函數y=g（x）對?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|成立，則函數y=g（x）是周期函數．其中正確的是（寫出所有正確命題的編號）．參考答案：①③④【考點】：函數的周期性；抽象函數及其應用．【專題】：函數的性質及應用．【分析】：①運用誘導公式證明sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）；②根據奇函數，周期性定義得出f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=f（x）；③根據解析式得出f（x+4）=f（﹣x），f（x）關于x=2對稱，即f（2﹣x）=f（2+x），f（x）為偶函數，根題意得出圖象也關于點（﹣1，0）成中心對稱，且在（﹣2，﹣1）上單調遞減，利用偶函數的對稱得出：在（1，2）上單調遞增；④利用定義式對稱f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），推論得出f（x）為偶函數，且周期為3；解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x），∴函數y=sinx具有“P（a）性質”；∴①正確②∵若奇函數y=f（x）具有“P（2）性質”，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），周期為4，∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1，∴②不正確，③∵若函數y=f（x）具有“P（4）性質”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x）關于x=2對稱，即f（2﹣x）=f（2+x），∵圖象關于點（1，0）成中心對稱，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），∴得出：f（x）=f（﹣x），f（x）為偶函數，∵圖象關于點（1，0）成中心對稱，且在（﹣1，0）上單調遞減，∴圖象也關于點（﹣1，0）成中心對稱，且在（﹣2，﹣1）上單調遞減，根據偶函數的對稱得出：在（1，2）上單調遞增；故③正確．④∵“P（0）性質”和“P（3）性質”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）為偶函數，且周期為3，故④正確．故答案為：①③④．【點評】：本題考查了新概念的題目，函數的對稱周期性，主要運用抽象函數性質判斷，難度較大，特別是第3個選項，仔細推證．15.【題文】13設某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為__________.參考答案：4略16.函數在區(qū)間上不單調，則實數的范圍是

.參考答案：17.如圖，在A、B間有四個焊接點，若焊接點脫落，而可能導致電路不通，如今發(fā)現A、B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有

▲

種．

參考答案：13三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且，.(Ⅰ)求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大小.參考答案：解析：證明：（Ⅰ）因為底面，所以是與平面所成的角，由已知，所以.易求得，,又因為，所以,所以.因為底面，平面,所以.

由于，所以平面.………………6分（Ⅱ）設為中點.連結，由于底面，且平面，則平面平面.因為，所以平面.過作，垂足為，連結，由三垂線定理可知，所以是二面角的平面角.容易證明∽，則，因為，，，所以.在中，因為，所以，所以二面角的大小為.………………13分解法二:因為底面，所以是與平面所成的角，由已知，所以.建立空間直角坐標系（如圖）.由已知，為中點.于是、、、、.（Ⅰ）易求得，，.因為,,所以，.因為，所以平面.………………6分（Ⅱ）設平面的法向量為，由

得

解得，所以.因為平面，所以是平面的法向量，易得.所以.所以二面角的大小為.………………13分19.已知函數.若在上是單調遞增函數，求的取值范圍；設，當時，若，且，求證：.參考答案：在上是單調遞增函數,在上，恒成立，即：設，當時，在上為增函數，當時，在上為減函數，，即.方法一：因為，所以，所以在上為增函數，因為，即，同號，所以不妨設,設，…8分所以，因為，，所以，所以在上為增函數，所以，所以，所以，所以，即.方法二：

，設

，則，在上遞增且令，設,

，，，在上遞增，，，令

即：

又，即：在上遞增，即：得證.20.2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數;(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數為X，求X的分布列和數學期望;(Ⅲ)為便于聯絡，現將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數不少于5000)，并在每組中隨機選取m個人作為聯絡員，要求每組的聯絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據圖表中數據，以頻率作為概率，給出m的最小值.(結論不要求證明)參考答案：(Ⅰ)5萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)4【分析】(Ⅰ)根據比例關系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數學期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在80分以上的有2人，故人數為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有3人，的可能取值為：.，，.故分布列為：

.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為4.【點睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.21.本小題滿分12分）如圖，已知平面，等腰直角三角形中，，于，于.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.參考答案：（Ⅰ）證明：因為，所以,又,所以,從而．……2分又,,所以,得，……4分又,所以，∴

……6分（Ⅱ）過點作∥,則平面,如圖所示，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．

……7分設，則,因為，是平面的一個法向量，∴向量所成的角的余弦值的絕對值為，……9分又則，解得∴

……12分22.某手機廠商推出一次智能手機，現對500名該手機使用者（200名女性，300名男性）進行調查，對手機進行打分，打分的頻數分布表如下：類

別分值區(qū)間女性用戶頻數2040805010男性用戶頻數4575906030（1）完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評分的方差大小（不計算具體值，給出結論即可）；（2）根據評分的不同，運用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶，在這20名用戶中，從評分不低于80分的用戶中任意取2名用戶，求2名用戶評分小于90分的概率.參考答案：（Ⅰ）女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如下