九年級中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)類綜合題

中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)類綜合題

1.如圖，在AABM中，AABC=90°,延長BM使BC=BA,線段CM繞點(diǎn)C順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CD,連接DM,AD.

⑴依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

⑵當(dāng)乙BAM=15°時(shí)，LAMD的度數(shù)是；

(3)小聰通過畫圖、測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)乙4MB是一定度數(shù)時(shí)，AM=MD.

小聰把這個(gè)猜想和同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，如果把梯形ABCD補(bǔ)全成為正方形ABCE,

就易證△ABM絲△AED,因此易得當(dāng)/.AMD是特殊值時(shí)，問題得證；

想法2：要證AM=MD,通過第(2)問，可知只需要證明△AMD是等邊三

角形，通過構(gòu)造平行四邊形CDAF,易證AD=CF,通過△ABM絲ACBF,易

證AM=CF,從而解決問題；

想法3:通過BC=BA,/.ABC=90°,連接AC,易證易得

^AMD是等腰三角形，因此當(dāng)^AMD是特殊值時(shí)，問題得證.

請你參考上面的想法，幫助小聰證明當(dāng)^AMB是一定度數(shù)時(shí)，AM=MD.(一

種方法即可)

2.在AABC中，AB=BC,^ABC=90°,將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)cr(0°<a<

90°)得到線段AD.作射線BD,點(diǎn)C關(guān)于射線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E.連接AE,

CE.

備用圖

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)若a=20。，直接寫出4AEC的度數(shù)；

(3)寫出一個(gè)a的值，使赫=近時(shí)，線段CE的長為V3-1.并證明.

3.解答下列問題.

(1)【問題探究】如圖1,有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG,

AE<AB,連接BE與DG,請判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)

系和位置關(guān)系，并請說明理由.

(2)【理解應(yīng)用】如圖2,有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG,

AE<AB,AB=10,將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)乙ABE=

15°,且點(diǎn)D,E,G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請直接寫出AE的長.

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG,AD=

4m，4B=4V^,AG=4,AE=4^.將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意

旋轉(zhuǎn)，連接BD,DE,點(diǎn)M,N分別是BD,DE的中點(diǎn)，連接MN,當(dāng)點(diǎn)D,

E,G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),請直接寫出MN的長.

C

4.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，連接AP,將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,過點(diǎn)E作EFLBC,分別交直線BC,AC于點(diǎn)F,G.

⑴依題意補(bǔ)全圖形.

(2)求證：BP=EF.

(3)連接PG,CE,用等式表示線段PG,CE,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)B(0,V3),把△AB。繞點(diǎn)。順時(shí)

針旋轉(zhuǎn),得△4B'。，記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)如圖①，當(dāng)a=30°時(shí)，求點(diǎn)B'的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線AA'與直線BB,相交于點(diǎn)M.

(i)如圖②，當(dāng)a=90時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(ii)點(diǎn)C(-l,0).求線段CM長的最小值(直接寫出結(jié)果即可).

6.探究：如圖1和圖2,四邊形ABCD中，已知AB=AD,^BAD=90°,點(diǎn)E,F

分別在BC,CD上，^EAF=45°.

(1)①如圖1,若4B,^ADC都是直角，把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至

AADG,使AB與AD重合，直接寫出線段BE,DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系;

②如圖2,若乙B,乙D都不是直角，則當(dāng)乙B與ZD滿足關(guān)系時(shí)，線

段BE,DF和EF之間依然有①中的結(jié)論存在，請你寫出該結(jié)論的證明過程:

(2)拓展：如圖3,在△ABC中，NB4C=90。，AB=AC=2五,點(diǎn)D,E均在

邊BC上，且/.DAE=45°,若BD=1,求DE的長.

7.已知線段AB,過點(diǎn)A的射線11AB.在射線I上截取線段AC=AB,連接BC,

點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).點(diǎn)P為4B邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)

P為旋轉(zhuǎn)中心，將4BPN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到4DPE,B的對應(yīng)點(diǎn)為D,N的

對應(yīng)點(diǎn)為E.

(1)當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)P不是AB中點(diǎn)時(shí)，

①據(jù)題意在圖中補(bǔ)全圖形；

②證明：以A,M,E,D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

/B

(2)連接EM.若4B=4,從下列3個(gè)條件中選擇1個(gè)：

①BP=1；

(2)PN=1；

③BN=V2,

當(dāng)條件一(填入序號)滿足時(shí)，一定有EM=EA,并證明這個(gè)結(jié)論.

8.如圖，在XABC中，44=90。，AB=4C,點(diǎn)。是BC上任意一點(diǎn)，將線段AD

繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AE,連接EC.

備用圖

⑴依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求乙ECD的度數(shù)；

(3)若ACAE=7.5°,AD=1,將射線DA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交EC的延長

線于點(diǎn)F,請寫出求AF長的思路.

9.解答下列問題.

(1)【問題解決】

一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：

如圖1,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1,PB=2,PC=3.你能求出

乙APB的度數(shù)嗎？

小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：將4BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到4BPA,連接PP,,求出

乙4PB的度數(shù)；

思路二：將AAPB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到連接PP',求出

/-APB的度數(shù).

請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程.

(2)【類比探究】

如圖2,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，P4=3,PB=1,PC=VT1.求

乙APB的度數(shù).

10.以平面上一點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個(gè)直角三角形，記作4AOB和△COD,

其中AABO=乙DCO=30°.

(1)點(diǎn)E,F,M分別是AC,CD,DB的中點(diǎn)，連接FM,EM

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D,C分別在4。，B0的延長線上時(shí)，霽=；

②如圖2,將圖1中的&AOB繞點(diǎn)。沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0。<。<

。)，其他條件不變，判斷器的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進(jìn)行證明；

60EM

(2)如圖3,若BO=3V5，點(diǎn)N在線段0D上，且N0=2.點(diǎn)P是線段AB

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在將AAOB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值

為，最大值為?

11.已知，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E是對角線BD延長線上一點(diǎn)，AE=

BD.將△力BE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(00<a<360°)得到△AB'E',點(diǎn)、B,E

的對應(yīng)點(diǎn)分別為B',E'.

(1)如圖1,當(dāng)a=30。時(shí)，求證：B'C=DE;

(2)時(shí)，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并求出a的值:

(3)如圖3,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段BE,上任意一點(diǎn)，試探究：在

此旋轉(zhuǎn)過程中，線段PQ長度的取值范圍為.

12.如圖，拋物線y=-^x2+bx+c交x軸于點(diǎn)4(—2,0)和點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)

C(0,3),點(diǎn)。是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,將線段CD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到DE,過

點(diǎn)E作直線ILX軸，垂足為H,過點(diǎn)C作CF1,于F,連接DF.

(2)若線段DE是CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，求線段DF的長；

⑶若線段DE是CD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90。得到，且點(diǎn)E恰好在拋物線上，請求出點(diǎn)

E的坐標(biāo).

13.請回答：

(1)【問題解決】

一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖①，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)

一點(diǎn)，P4=l,PB=2,PC=3.你能求出乙4PB的度數(shù)嗎？

小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：將ABPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△BP’4,連接PP',求出

乙APB的度數(shù)；

思路二：將AAPB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到4CP'B.連接PP'，求出

乙APB的度數(shù).

請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程.

⑵【類比探究】

如圖②，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA=3,PB=1,=VTT.求

乙APB