全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題-2

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全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(八)

（選題人：李潛）

第一試

一、選擇題：（每小題6分，共36分）

1、設(shè)logab是一個(gè)整數(shù)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論

①；②logab+logba=0；

③0＜a＜b＜1；④ab-1=0．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

（A）1（B）2（C）3（D）4

2、若△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足，則它的最大內(nèi)角度數(shù)是

（A）150°（B）120°（C）90°（D）60°

3、定長(zhǎng)為l（）的線段AB的兩端點(diǎn)都在雙曲線（a＞0，b＞0），則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為

（A）（B）

（C）（D）

4、在復(fù)平面上，曲線z4+z=1與圓z=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

（A）0（B）1（C）2（D）3

5、設(shè)E={(x,y)0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐標(biāo)平面上的兩個(gè)點(diǎn)集，則集合G=所組成的圖形面積是

（A）6（B）2（C）6.5（D）7

6、正方形紙片ABCD，沿對(duì)角線AC對(duì)折，使D在面ABC外，這時(shí)DB與面ABC所成的角一定不等于

（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°

二、填空題：（每小題9分，共54分）

1、已知，則的值等于（）．

2、=（）．

3、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓，使這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在AB內(nèi)，且橢圓過A、B點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率等于（）．

4、從{1,2,3,…,20}中選出三個(gè)數(shù)，使得沒有兩個(gè)數(shù)相鄰，有（）種不同的選法．

5、設(shè)a、b均為正數(shù)，且存在復(fù)數(shù)z滿足，則ab的最大值等于（）．

6、使不等式對(duì)惟一的一個(gè)整數(shù)k成立的最大正整數(shù)n為（）．

三、（20分）

已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2≤5．求f(x,y)=3x+y+4y+9+7y-3x-18的最大值與最小值．

四、（20分）

經(jīng)過點(diǎn)M(2,-1)作拋物線y2=x的四條弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四點(diǎn)的縱坐標(biāo)依次成等差數(shù)列．

求證：．

五、（20分）

n為正整數(shù)，r＞0為實(shí)數(shù)．證明：方程xn+1+rxn-rn+1=0沒有模為r的復(fù)數(shù)根．

第二試

一、（50分）

設(shè)C(I)是以△ABC的內(nèi)心I為圓心的一個(gè)圓，點(diǎn)D、E、F分別是從I出發(fā)垂直于邊BC、CA和AB的直線C(I)的交點(diǎn)．

求證：AD、BE和CF三線共點(diǎn)．

二、（50分）

非負(fù)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=1．

求證：1≤≤．

三、（50分）

對(duì)由n個(gè)A，n個(gè)B和n個(gè)C排成的行，在其下面重新定義一行（比上面一行少一個(gè)字母），若其頭上的兩個(gè)字母不同，則在該位置寫上第三個(gè)字母；若相同，則寫上該字母．對(duì)新得到的行重復(fù)上面的操作，直到變?yōu)橐粋€(gè)字母為止．下面給出了n=2的一個(gè)例子．

ACBCBA

BAAAC

CAAB

BAC

CB

A

求所有的正整數(shù)n，使得對(duì)任意的初始排列，經(jīng)上述操作后，所得的大三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的字母要么全相同，要么兩兩不同．

參考答案

第一試

一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

A

B

D

A

D

D

二、填空題：

1、；2、；

3、；4、816；

5、；6、112