流體靜力學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

第六章流體力學(xué)第一節(jié)流體的主要物性和流體靜力學(xué)本節(jié)大綱要求：液體的壓縮性與膨脹性；流體的粘性與牛頓內(nèi)摩擦定律；流體靜壓強(qiáng)及特性，重力作用下靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律；作用于平面的液體總壓力的計(jì)算。一、 流體的連續(xù)介質(zhì)模型流體包括液體和氣體。物質(zhì)是由分子組成的，流體也是一樣，分子間存在間距，且這些分子不斷地作無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)，分子之間又存在著空隙。而我們所討論的流體并不以分子作為對(duì)象而是以一個(gè)引進(jìn)的連續(xù)介質(zhì)模型進(jìn)行研究： I認(rèn)為流體是由連續(xù)分布的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的。或者說流體質(zhì)點(diǎn)完全充滿所占空間，沒有空隙存在。描述流體運(yùn)動(dòng)的宏觀物理量?如密度、速度、壓強(qiáng)、溫度等等都可以表示為空間和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，這樣，就可以充分利用連續(xù)函數(shù)來對(duì)流體進(jìn)行研究，不必考慮其微觀的分子運(yùn)動(dòng)，只研究流體的宏觀的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。二、 流體的慣性、質(zhì)量和密度慣性就是物體所具有的反抗改變?cè)羞\(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理性質(zhì)。 表示慣性大小的物理量是質(zhì)量。質(zhì)量愈大，慣性愈大，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)愈難改變.單位體積內(nèi)所具有的質(zhì)量稱為密度，以 P表示。對(duì)于均質(zhì)流體（6^1-1>式中m為質(zhì)量，以千克（kg）計(jì).v為體積，以立方米（m）計(jì)。所以p的單位為kg/m3密度與溫度和壓強(qiáng)有關(guān)，表6-1-1列出了在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下幾種常見流體的密度值。AWt見浚捧的鞫度 矗&卜Iat體 ■4icoa0UfiOCIS)020-10301.3Qftt*機(jī)駅二UftBt0三、流體的壓縮性和熱脹性

在壓強(qiáng)增大時(shí)，流體就會(huì)被壓縮，導(dǎo)致體積減小，密度增加；而受熱后溫度上升時(shí),流體的體積會(huì)增大，密度會(huì)減小，這種性質(zhì)稱為流體的壓縮性和熱脹性。流體的壓縮性指流體體積隨壓強(qiáng)而變的特性。壓強(qiáng)增大，流體體積減小。通常以壓縮性系數(shù)卩來表示液體的可壓縮性?dr(6-1-2)dV式中,為體積的相對(duì)減小量;dp為壓強(qiáng)的增量體積彈性系數(shù)k體積彈性系數(shù)k為卩的倒數(shù)(6-1-3)卩的單位為m2/n,k 的單位為n/m2.對(duì)于不同的液體，卩或k值不同；同一種液體，不同溫度和壓強(qiáng)下， 卩或k值也不同。水的k值很大，常溫下近似為2.1x109pa（帕）。也就是說，當(dāng)壓強(qiáng)增加一個(gè)大氣壓時(shí)，水的體積只縮小萬分之零點(diǎn)五左右，其他液體的k值也很大。所以一般清況下可以不考慮液體的壓縮性，認(rèn)為液體的密度為常數(shù)。熱脹性:液體的熱脹性，一般用膨脹系數(shù) a表示，與壓縮系數(shù)相反，當(dāng)溫度增dt時(shí)，液體的密度減小率為些dp—亠「，熱膨脹系數(shù)a=-,a值越大，則液體的熱脹性也愈大。a的單位為1/k.對(duì)于氣體，其密度與壓強(qiáng)變化和溫度變化密切聯(lián)系，有著顯著的壓縮性和熱脹性,￡可以根據(jù)氣體狀態(tài)方程以=rt來說明它的變化。

式中：p為氣體的絕對(duì)壓強(qiáng)，單位是pa,r為氣體常數(shù)，單位是j/（kg.k）,r=8314/n.其中n為氣體相對(duì)分子質(zhì)量；t為熱力學(xué)溫度，單位是k。四、流體的粘性流體在靜止時(shí)不能抵抗剪切變形。但當(dāng)兩層流體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在它們的接觸面上就會(huì)產(chǎn)生內(nèi)摩擦力：運(yùn)動(dòng)快的流層對(duì)運(yùn)動(dòng)慢的流層產(chǎn)生拖動(dòng)作用. 運(yùn)動(dòng)慢的流層對(duì)運(yùn)動(dòng)快的流層產(chǎn)生阻力。這種內(nèi)摩擦力起阻止流體內(nèi)部相對(duì)運(yùn)動(dòng)的作用。流體具有內(nèi)摩擦力的特性就是流體的粘性。或者說粘性就是流體具有抵抗剪切變形的能力。由于流體的粘性，流體在運(yùn)動(dòng)過程中必須為克服內(nèi)摩擦力而做功，由此導(dǎo)致能量損失，從而使流體的運(yùn)動(dòng)變得更為復(fù)雜。根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律.流層間的內(nèi)摩擦力t的大小與流體的性質(zhì)有關(guān)，并與流速梯度和接觸面積a成正比，與接觸面上的壓力無關(guān)。即(6-1-4)(6-1-4)以切應(yīng)力表示為(6-1-5)(6-1-5)秒(n.s/秒(n.s/禺ft1-1式中 口一一黏性系數(shù)或黏度，或稱動(dòng)力黏性系數(shù)（動(dòng)力黏度），以帕?吊）為單位;du――兩流層間的速度差（見圖6-1-1）;dudy 兩流層間的距離，妙為速度在垂直于速度的方向上的變化率， 也稱為速度梯度?？梢宰C明，流速梯度代表了角變形速度。因此牛頓內(nèi)摩擦定律說明了流體的切應(yīng)力與角變形速度成正比。

黏性系數(shù)口反映了流體黏性的大小，不同種類的流體口值不同，同種流體的口值也隨溫度而變化：液體的口值隨溫度升高而減??；氣體的口值隨溫度升高而增大。在實(shí)用范圍內(nèi)口值可以認(rèn)為與壓強(qiáng)的變化無關(guān)。在流體力學(xué)中還常常出現(xiàn) 口/P的形式，我們將它稱為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)(運(yùn)動(dòng)黏度)，用 V表示：卩(6-1-6)v的單位為m/s或cm2/s.并不是所有流體都符合牛頓內(nèi)摩擦定律的。 有些流體不滿足切應(yīng)力與角變形速度成正比的關(guān)系，或者說它們的口值并非與t無關(guān)；這些流體如泥漿、油漆、接近凝固的石油等等被稱為非牛頓流體，而符合牛頓內(nèi)摩擦定律的流體如水、空氣等則稱為牛頓流體。本教材中只討論牛頓流體.五、作用在流體上的力-流體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)是由外力作用引起的，為了便于研究流體平衡和運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，我們將作用在流體上的力分為質(zhì)量力和表面力兩大類。質(zhì)量力作用于流體的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，其大小與受作用流體的質(zhì)量成正比。常見的有重力、慣性力。對(duì)于均質(zhì)流體，質(zhì)量與體積成正比，故質(zhì)量力與流體體積成正比，又稱為體積力.單位質(zhì)量流體上所受到的質(zhì)量力稱為單位質(zhì)量力-_ 冬空熱_式中m流體的質(zhì)量；一一總質(zhì)量力；x=亠廠,y=,z=川，分別為"在x、y、z軸方向的投影，其單位為米/秒2(m/s2)，與加速度的單位相同.表面力作用于流體的表面上：包括液體的自由表面，流體與固體間的接觸面，以及所取流體脫離休的表面。根據(jù)作用力的方向，表面力又可分為垂直于作用面的壓力和平行于作用面的切力兩種。設(shè)在脫離體表面上任一點(diǎn)取一微小面積△為厶設(shè)在脫離體表面上任一點(diǎn)取一微小面積△為厶P和厶t，則該點(diǎn)的壓強(qiáng)P和切應(yīng)力Ta(圖6-1-2),所受壓力和切力分別為：田hI2(6-19)【例6-1-1】一平板在油面上做水平運(yùn)動(dòng)，如圖6-1-3=1m田hI2(6-19)【例6-1-1】一平板在油面上做水平運(yùn)動(dòng)，如圖6-1-3=1m,油層厚度3=2mm，油的動(dòng)力黏性系數(shù)口=0.1pa?50cm/s，求拖動(dòng)平板所需的力.所示，已知平板而積aS，平板運(yùn)動(dòng)速度u=【解】由牛頓內(nèi)摩擦定律-ffl613運(yùn)動(dòng)速度與平板相同對(duì)于厚3的油層來說，上面與平板接觸的油層粘附在平板上,底面油層粘附在固定底板上，速度為零。運(yùn)動(dòng)速度與平板相同*-逮度澄討SOcni/s2X10~JT=^u4^-^Ay=0,1X1X2X10~J六、流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)研究流體處于靜止?fàn)顟B(tài)下的力學(xué)規(guī)律及其在實(shí)際工程中的應(yīng)用。 靜止?fàn)顟B(tài)下流體質(zhì)點(diǎn)間不存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此也沒有切應(yīng)力，這樣，流體靜力學(xué)主要是研究壓強(qiáng)在空間的分布規(guī)律以解決求點(diǎn)壓強(qiáng)及面壓力的問題。（一） 、流體靜壓強(qiáng)的特性靜止流體中，表面力中只有壓力，由式（ 6-1-8）知r滋p表示當(dāng)△a收縮至一個(gè)點(diǎn)時(shí)為該點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)。流體靜壓強(qiáng)p有兩個(gè)特性：（1） 流體靜壓強(qiáng)垂直于作用面，并指向作用面的內(nèi)法線方向（2） 靜止流體中任意點(diǎn)的靜壓強(qiáng)與受壓面的方向無關(guān)。即同一點(diǎn)各方向的流體靜壓強(qiáng)大小相等。（證明過程不在這里詳細(xì)說明了）（二） 、重力作用下的液體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律下面討論作用在液體上的質(zhì)量力只有重力時(shí)靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律（1）液體靜力學(xué)的基本方程在靜止液體中，任取一微小圓柱體，柱體長(zhǎng)為dl，端面積為da并垂直于柱軸線，如圖（6-2-2 ）所示。作用在柱體上的表面力有兩端面的壓力及側(cè)面的壓力，端面壓力pida及p2da是沿軸向的.側(cè)面壓力是垂直于軸的，故在軸向沒有分力。作用在柱體上的質(zhì)量力只有重力g，它與軸夾角為a.寫出微小圓柱體軸向力的平衡方程：例 ?-“/i^dLA—Gciosft—0衛(wèi)°dA—pmd4—悶fci￡dAoasti=0cVcqscfck=鞄一初化Ml何睥P產(chǎn)伽+傅5一筍》 ? （6-2-Z>將坐標(biāo)原點(diǎn)敢隹自由表面匕使町冃0時(shí)旳壬8*又取力=—血?jiǎng)t有矢一pg武—（€2-3）式（6-2-3 ）即重力作用下的靜力學(xué)基本方程，它表示了在靜止液體中，壓強(qiáng)隨深度按直線變化的規(guī)律。不論盛液體的容器形狀如何復(fù)雜，只要知道液面壓強(qiáng) po和該點(diǎn)在液面下的深度h，就可用靜力學(xué)基本方程求出該點(diǎn)壓強(qiáng)。方程還表明，靜止液體中任一水平面上，各點(diǎn)壓強(qiáng)相等。即水平面是等壓面。（2）絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空值以絕對(duì)真空為零點(diǎn)起算的壓強(qiáng)稱絕對(duì)壓強(qiáng)，以 Pabs表示；以當(dāng)?shù)卮髿鈮篜a為零點(diǎn)起算的壓強(qiáng)稱相對(duì)壓強(qiáng)，以P表示?P=p4_悅 （6-24>純對(duì)壓強(qiáng)的數(shù)值總是正的，而相對(duì)壓強(qiáng)的數(shù)值要根據(jù)該壓強(qiáng)大于或小于當(dāng)?shù)卮髿鈮簛頉Q定其1E也如某處的絶對(duì)壓強(qiáng)小于大氣壓，其相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值，則稱該點(diǎn)存在真空。真空的大小Py_以真空值口歡或真空度Qg表示.即優(yōu)up.—p.j C€-Z'5）某點(diǎn)的真空值指該點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng) Pabs不足于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng) pa的值。絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空值之間的關(guān)系如圖 6-2-3所示。1A111Q」0i\i11V圖6-2-3壓強(qiáng)的計(jì)量單位常用的有：1應(yīng)力單位：n/rn2（pa）,kn/m2（kpa），

如壓強(qiáng)很高也可用mpa（1mp=106pa）。2液柱單位：有mh2。（米水柱），mmho

（毫米水柱）或mmhg（毫米汞柱）。將液柱單位乘以該液體的 pg（密度x重力加速度）即可得到應(yīng)力單位。3大氣壓?jiǎn)挝唬何锢韺W(xué)上，一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（atm）相當(dāng)于760mm

hg，工程上為便于計(jì)算，采用工程大氣壓（at），一工程大氣壓相當(dāng)于10mh2o，即【例6-2-1】如圖6-2-4所示密封水箱，自由表面的絕對(duì)壓強(qiáng)為po=78.4kpa,水深h1=0.5m,h2=2.5m。試求a、b兩點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)和真空值（設(shè)當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為98kpa）?！窘狻坷胮=p0+pgh得a、b兩點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)

A或oBP/Pg4+1X9.8X0.5=83.3kPa4電=険+們屁=?蠱4+1X9.8X2.5=102.9k片a、A或oBP/Pg4+1X9.8X0.5=83.3kPa4電=険+們屁=?蠱4+1X9.8X2.5=102.9k片a、b兩點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為和■負(fù)-M.3-9S--14.弘內(nèi)伽=戶乂—滬?=10監(jiān)令一9呂=4,SkRn由式（6-2-5）得a點(diǎn)的真空值為（3）位置水頭，壓強(qiáng)水頭和測(cè)壓管水頭由式（6-2-2 ）可得(6-Z-&)表明，靜止液體中，各點(diǎn)測(cè)壓管水頭相等。見圖 6-2-5式中：z為任一點(diǎn)在基準(zhǔn)面以上的位置高度（基準(zhǔn)面為任選的水平面）為測(cè)壓管高度，又稱壓強(qiáng)水頭，兩者之和（z ）稱為測(cè)壓管水頭。式（6-2-6 ）RI6an求Pa求Pa。所示?！纠?-2-2】 為了測(cè)量密度為 p的流休中一點(diǎn)a的壓強(qiáng)，利用圖6-2-6所示u形測(cè)壓計(jì)來量測(cè)，設(shè)測(cè)壓計(jì)中工作流體的密度為 —測(cè)得高度hl,h2,【解】過卩與?兩種液體的分界面b作水平面be。pb=pc所議 P^-pght-pghi【例6-2-3】應(yīng)用水銀壓差計(jì)來測(cè)定ab兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差的裝置如圖6-2-7已知za一zb=△h,并測(cè)得壓差計(jì)讀數(shù)h。試求pa一pb=?圈6-2-7【解】過p【解】過p與phg兩液體分界面c作水平面cd.pc=pdph+禺f少 +仍—pf風(fēng)+神‘+何贈(zèng)=旳所P冉一打=（他博”一解少pr他（產(chǎn)hOt/m5伽■i3.6t/mJ井得少=粘—?jiǎng)偞耍鲜筋?12.酣=12.酣應(yīng)用靜力學(xué)基本方程時(shí)，首先應(yīng)找等壓面，在重力作用下，等壓面一定是水平面。但不是由同種液體連通的水平面上的點(diǎn)，壓強(qiáng)是不同的。例如圖 6-2-7中的e與f點(diǎn).【例6-2-4】?jī)煞N容重不同互不混合的液體，在同一容器中處于靜止?fàn)顟B(tài)，一般是重的在下，輕的在上，兩種液體之間形成分界面，試證明這種分界面既是水平面又是等壓面。RI6丹因p2>p1、p2一RI6丹因p2>p1、p2一p1>03—p\曲山3=住01兩式相鞭（阿特一何刃甜=3要滿足上式必然是△h=0即分界面是水平面。將△h=0代人，得△p=0，所以分界面就是等壓面三、靜止液體作用在平面上的總壓力罔￡如罔￡如圖6-2-9中ab是與水平面成a角的一個(gè)傾斜平面的投影線，右面的圖形為ab面的實(shí)際形狀。設(shè)在受壓面ab上任取一微小面積da,其中心在液面下的深度為h,則作用在da上的壓力為：作用在ab平面上的液體總壓力式中hc——受壓面形心c在液面（相對(duì)壓強(qiáng)為零的自由表面）下的深度；a——受壓面的面積；P作用在受壓面上的液體的密度；pc――受壓面形心的壓強(qiáng)，一般用相對(duì)壓強(qiáng)。這樣求出的總壓力為液體作用在受壓面的總壓力，不包括大氣壓強(qiáng)對(duì)該平面的壓力。如果繪出ab面上的壓強(qiáng)分布圖，見圖 6-2-10,就等于壓強(qiáng)分布圖的體積。當(dāng)ab受壓面為任意圖形時(shí)，壓強(qiáng)分布圖為 以ab為底pgh為高的截頭棱柱體，其體積可用式（6-2-7）求出。但若ab面為bxh的矩形（b為水平線），以上截頭棱柱體又可視作以壓強(qiáng)分布圖為底、頂， b為高的棱柱體體積?？梢愿鼮橹庇^地計(jì)算出作用在矩形受壓面上的總壓力。 設(shè)壓強(qiáng)分布圖面積為3（圖中為梯形），則p=3?box液體總壓力的作用點(diǎn)（壓力中心）位置可用合力矩定理確定。取圖 6-2-9上的ox為力矩軸，微小面積da上的液體壓力對(duì)ox軸的力矩ydP矣隅對(duì)設(shè)巧為壓力中心D至*軸的距離.按合力矩等于各分力矩藝和可得:式中6為面積A對(duì)工軸的慣性矩。將P=p鬧如砒』代人上式,ynyn=為宙噸h聘wi哪J將對(duì)ox軸的慣性矩轉(zhuǎn)化為對(duì)通過受壓面形心 c且與ox軸平行的c軸的貫性矩:可求得壓力中心的公式式中yd 壓力中心d沿y軸方向至液面（ox軸）的距離;yc 受壓面形心c沿y軸方向至液面（ox軸）的距離;受壓面對(duì)c軸的慣性矩【例6-2-5】一鉛直矩形閘門（圖6-2-11），已知hi為lm；h2為2m寬b為1.5m,求總壓力及其作用點(diǎn)【例6-2-6】圖6-2-12所示矩形閘門ab，門寬b=2m，求總壓力及其作用點(diǎn)。針時(shí)此知識(shí)克視問四、靜止液體作用在曲面上的總壓力在工程中常常會(huì)遇到曲面受壓?jiǎn)栴}，如弧形間門，圓柱形油箱等。作用在曲面任

意點(diǎn)的液體靜壓強(qiáng)都沿其作用面的內(nèi)法線方向垂直于作用面， 但曲面各處的內(nèi)法線方向不同，彼此互不平行，也不一定交于一點(diǎn)。因此，求曲面上的總壓力時(shí)，一般將其分為水平方向和鉛直方向的分力分別進(jìn)行計(jì)算。 現(xiàn)研究二向曲面（如柱面、圓弧曲面）ab上的液體總壓力。圖6-2-13ab為垂直于紙面的柱體，長(zhǎng)度 丨，受壓曲面ab，其左側(cè)承受液體的壓力。設(shè)在曲面土，深度h處取一微小面積da，作用在da上的壓力dp=pda=pghda，該力垂直于面積da，并與水平面成夾角a,此力可分解成水平分力dpx=dpcosa=pghdacosa禾口垂直分力dpz=dpsina=pghdasina.因?yàn)閐acosa禾口dasina分別等于微小面積da在鉛直面和水平面上的投影.令 dax=dacosa,daz=dasina，所以dpx=pghdax及dpz=pghdaz，經(jīng)積分可得：J￥]￡IS(6-29>巴=kdPz*(€2-10)式（6-2-9）右邊的積分等于曲面ab在鉛直平面上投影面積ax對(duì)液面的水平軸oy的靜矩.設(shè)hc為ax的形心在液面下的淹沒深度，則三也九*因此凡一陽札扎可見，作用于曲面上的液體總壓力p的水平分力px等于該曲面的鉛直投影面上的總壓力。因此，可以引用求平面總壓力的方法求解曲面上液體總壓力的水平分力。式（6-2-10）右邊的hdaz,是以daz為底面積，水深h為高的柱體體積。小&hdaz即受壓曲面ab與其在自由面上的投影面積cd這兩個(gè)面之間的柱體體積abed，稱為壓力體，以v表示。所以卩嚴(yán)禺如1九=礎(chǔ)匸 <6-2-12）這就是說，作用于曲面上液體總壓力 p的鉛直分力pz等于其壓力體內(nèi)的液體重量。可見正確繪制壓力體是求解鉛直分力的關(guān)鍵 ?壓力體是由三種面封閉所成的體積：即1）曲面本身；2）液體的自由表面（相對(duì)壓強(qiáng)為零）或自由表面的延長(zhǎng)面； 3）自曲面兩端向自由表面作鉛垂面。pz的指向取決于受壓曲面和液體的相對(duì)位置：液體在受壓曲面的上方則pz向下；液體在受壓曲面的下方則pz向上。求出px和pz后可求pP=/R+代 （6-2H3）F與水呼纓的夾角afarct-an務(wù) 14^其作用線必通過px與pz作用線的交點(diǎn)。p的作用點(diǎn)位于p的作用線與曲面的交點(diǎn)?但對(duì)許多實(shí)際問題往往只需求出 px，Pz.即可，并不需要計(jì)算合力 P?！纠?-2-7】長(zhǎng)度為1m的半圓柱（圖6-2-14），直徑d為3m，左、右側(cè)均有水，求ab曲面上的總壓力。【解】（1）水平分力：曲面ab的水平分力px等于作用在曲面ab的豎直投影面占?xì)g上的液體總壓力為矩形，由于左、右側(cè)均有水，應(yīng)用求壓強(qiáng)分布圖體積的方法比較直觀、簡(jiǎn)便。見圖6-2-14（a） ，分別作左側(cè)和右側(cè)的壓強(qiáng)分布圖。由于左、右側(cè)壓強(qiáng)方向相反，抵消后剩下蟲'c面上的三角形壓強(qiáng)分布圖和C剖面上的矩形壓強(qiáng)分布圖。計(jì)算以上