系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法

關于系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法第1頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念：如果一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，經(jīng)過充分長的時間，這個系統(tǒng)又能以一定的精度逐漸恢復到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第2頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三穩(wěn)定性判別方法：

1、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

2、赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)

3、乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

4、由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性5、根軌跡法

6、李雅普諾夫穩(wěn)定性方法第3頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)勞斯穩(wěn)定性判據(jù)是一種代數(shù)判據(jù)方法。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.判斷依據(jù)：1、特征方程的各項系數(shù)都不等于0；

2、特征方程各項系數(shù)符號相同；

3、勞斯表的第一列是否均大于零。

第4頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三sna0a2a4a6.....sn-1

a1a3a5a7.......sn-2

b1b2b4b6.......sn-3c0c2c4c6........

s2u1u2

s1v1

若某行第一個元素為0，則用一個趨于0的數(shù)ε代替s0w1

若第一列系數(shù)有負數(shù)，則第一列系數(shù)符號的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個數(shù)。優(yōu)點：不必求解方程，方便系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷。不但可以判別絕對穩(wěn)定性還可以判別相對穩(wěn)定性。應用領域：分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。

..........................................第5頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)先依據(jù)特征方程寫出Δ

a1a3a5.....0系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

a0a2a4

.......0主行列式Δn及其對角線上各子行列

0a1a3.....0式Δ1，Δ2，Δ3，Δ4......Δn-1均具有正

Δ=0a0a2.....0值0000............

0........an-10

0........an-2an..................第6頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三優(yōu)點：規(guī)律簡單明確，使用方便缺點：對高階系統(tǒng)，計算行列式較復雜此外，勞斯穩(wěn)定性判據(jù)和赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)還有一個共同的缺點就是：無法解決帶延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定。第7頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，本質(zhì)上是一種圖解分析方法。閉環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：

第8頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

特征方程：若則零點零點零點極點極點極點相同相同零點零點第9頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

作圖方法：

1、寫出幅頻特性|G（jω）|和相頻特性G（jω）表達式。

2、求出ω=0和ω→∞時的G（jω）。

3、求乃氏圖與實軸虛軸的交點。

4、必要時畫幾點中間的，并勾勒大致曲線第10頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三1、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的基本形式表明，如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復數(shù)平面的虛軸jω上既無極點又無零點，那么有Z=P-NP是開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)。N是當角頻率由ω=0變化到ω=+∞時G（jω）的軌跡沿逆時針方向圍繞實軸上點(-1，j0)的次數(shù)。如果Z=0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定；Z≠0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。第11頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三2、當開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復數(shù)平面的虛軸上存在極點或零點時當遇到位于虛軸上G(s)的極點（圖中用×表示）時，要用半徑很小的半圓從右側(cè)繞過。Z=P-2N第12頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三帶有延遲環(huán)節(jié)時的系統(tǒng)穩(wěn)定。幅頻特性

相頻特性第13頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三優(yōu)點：1、開環(huán)頻率響應容易通過計算或?qū)嶒炌緩蕉ǔ觯运趹蒙戏浅７奖愫椭庇^。

2、能解決代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)不能解決的比如含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。

3、能定量指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備，即系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性定量指標，進一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能。第14頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性與乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)類似，該方法是利用開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣也是能夠用實驗來獲得，因此也得到廣泛的應用。伯德圖是系統(tǒng)頻率響應的一種圖示方法，由幅值圖和相角圖組成，兩者都按頻率的對數(shù)分度繪制判斷方法：在開環(huán)狀態(tài)下，特征方程有P個根在右半平面內(nèi)。此時，在L（ω）≥0的范圍內(nèi)，相頻特性曲線?（ω）在-π線上正、負穿越次數(shù)只差為P/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。分別用N+和N-表示正穿越次數(shù)和負穿越次數(shù),則N=N+-N-。判據(jù)的結(jié)論是Z=P－2N，且Z=0時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Z≠0時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于頻率響應的幅值對數(shù)圖和相角圖易于繪制，因此對數(shù)頻率響應穩(wěn)定判據(jù)應用更廣。第15頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三優(yōu)點：1、可以將幅值相乘轉(zhuǎn)化為幅值相加，便于繪制由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖。

2、可采用漸近線近似作圖方法繪制對數(shù)幅頻圖，簡單方便。

3、有效擴展了頻率范圍，尤其是低頻段。（指數(shù)增長）

第16頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點在Ｓ平面上分布的位置有關。決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在Ｓ平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。為此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根軌跡法，令開環(huán)函數(shù)的一個參數(shù)——開環(huán)增益Ｋ（或另一個感興趣的參數(shù)）從０變化到∞，與此對應，特征方程的根，便在Ｓ平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。根軌跡法是研究自動控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。根軌跡法第17頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

根軌跡的基本概念一．舉例說明根軌跡的概念

特征方程

的根為

，

第18頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

令開環(huán)增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對應的特征根的值，將這些值標在Ｓ平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢。從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:１.穩(wěn)定性：因為根軌跡全部位于左半Ｓ平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的Ｋ值都是穩(wěn)定的。２.穩(wěn)態(tài)性能：因為開環(huán)傳函有一個位于坐標原點的極點，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ當K=0時，S1=0，S2=-1第19頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三繪制根軌跡的基本規(guī)則

繪制根軌跡的基本規(guī)則實際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準確、更迅速的繪制根軌跡。一．根軌跡的對稱性實際系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其特征根為實數(shù)或共軛復數(shù)，因此，根軌跡對稱于實軸。二．根軌跡的起點和終點根軌跡的起點對應于時特征根在Ｓ平面上的分布位置，而根軌跡的終點則對應于時，特征根在Ｓ平面上的分布位置。第20頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三幅值條件改寫當，必有Ｓ＝，即起點是開環(huán)極點。當，必有Ｓ＝，即終點是開環(huán)零點。但在控制系統(tǒng)中，總有n>m，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處起始，到m個開環(huán)零點處終止，剩下的n－m條根軌跡將趨于無窮遠處。舉例如題，，起點：０，－１，無零點，n=２，m=0，n－m=2，有兩條根軌跡→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第21頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三三．根軌跡的分支數(shù)根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)相同。四．實軸上的根軌跡

在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。第22頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三五．根軌跡的漸近線１．根軌跡中（n－m）條趨向無窮遠處的分支的漸近線的傾角為…，（n-m-1)當時，求得的漸近線傾角最小，增大，傾角值將重復出現(xiàn)，而獨立的漸近線只有（n－m）條．第23頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三２.漸近線與實軸的交點漸近線的交點總在實軸上，即必為實數(shù)．在計算時，考慮到共軛復數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部代入即可．第24頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例：求根軌跡解：①在Ｓ平面中確定開環(huán)零、極點的位置。

×××-1-2σjω②確定實軸上的根軌跡。③n=3,m=0,應有三個分支，并且都趨向無窮遠處。④確定漸近線的位置．-0.423K1=6K1=6-60°60°第25頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三李雅普諾夫第一法李雅普諾夫穩(wěn)定性方法李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第一法是通過求解系統(tǒng)微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其基本思路與經(jīng)典控制理論一致。對于線性定常系統(tǒng)來說

平衡狀態(tài)漸進穩(wěn)定的充要條件就是矩陣A所有特征值均具有負實部，這里所說的是系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，而對于輸出穩(wěn)定性來說，其穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點全部位于s的左半平面。第26頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

該方法能解決線性定常和非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，但不能延伸至時變系統(tǒng)的分析。且只能解決非線性不是很嚴重的系統(tǒng)，將其線性化處理，取其近似的線性方程來判斷穩(wěn)定性。第27頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例：設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。故系統(tǒng)不是漸進穩(wěn)定的。再由其傳遞函數(shù)可見傳函的極點在-1處位于左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。第28頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法是從能量觀點進行穩(wěn)定性分析，當一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨著時間的推移逐漸衰弱，到達平衡狀態(tài)時，能量將得到最小值，那么這個平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量，儲能越來越大，那么這個平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)的儲能既不增長也不消耗，那么這個平衡狀態(tài)就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。對于給定的一個系統(tǒng)，如果能找到一個正定的標量函數(shù)V(x)，根據(jù)該函數(shù)導數(shù)來確定能量隨時間的變化。標量函數(shù)的符號性質(zhì)：設V(x)是向量x的標量函數(shù)，且在x=0處，恒有V(0)=0，那么在所有定義域中的任何非零向量x，若V(x)>0，則V(x)正定；若V(x)≥0，則V(x)半正定。若V(x)<0，則V(x)負定；若V(x)≤0，則V(x)半負定；若V(x)>0或V(x)<0，則V(x)不定

第29頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三對于二次型標量函數(shù)；

二次型標量函數(shù)可寫為其中，P為實對稱矩陣。此時，必然存在正交矩陣T，通過變換，使之化為：第30頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三此稱為二次型函數(shù)的標準型，?i為P的特征值，則V(x)正定的充要條件是P的特征值?i均大于0。若V(x)正定，則P為正定矩陣，記為P>0;若V(x)負定，則P負定矩陣，記為P<0;若V(x)半正定，則P半正定矩陣，記為P≥0;若V(x)半負定，則P半負定矩陣，記為P≤0;第31頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三希爾維斯特判據(jù)

設實對稱陣為其各階順序主子式，即矩陣P是否正定的充要條件是：第32頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

若，則P

正定；若，則P

負定；若，則P

半正定；

若，則P

半負定；第33頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

李雅普諾夫第二方法可用于任意階的系統(tǒng)，運用這一方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定穩(wěn)定性。但由于使用此方法時要尋找一個正定的函數(shù)V（x），并且此時V（x）的導數(shù)是負定的，那么才能說明系統(tǒng)穩(wěn)定。所以，使用該方法的局限性就是很難找完所有的V（x）。因此，只能用該方法證明系統(tǒng)穩(wěn)定，而不能證明系統(tǒng)不穩(wěn)定。第34頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例設非線性系統(tǒng)為試分析穩(wěn)定性.由,得是其唯一的平衡點.

構(gòu)造是正定的.對關于t求導,得第35頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三代入狀態(tài)方程得→負定