高中數(shù)學- 兩角差的余弦公式教學設計學情分析教材分析課后反思

教學設計本節(jié)課的教學過程分六個環(huán)節(jié)。1復習回顧，提出問題引入新課[設計意圖]數(shù)學源于生活，引導學生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，體會數(shù)學就在身邊，同時，數(shù)學也是服務于生活與實踐的。它是要解決我們遇到的問題。2．明確任務，探索歸納⑴對于、、等特殊角的三角函數(shù)值可以直接寫出，利用誘導公式還可以進一步求、、等角的三角函數(shù)值，我們希望再引進一些公式，能夠求更多的非特殊角的三角函數(shù)值，同時也為三角恒等變換提供理論依據(jù)。⑵若已知、的三角函數(shù)值，那么的值能否確定？它與、的三角函數(shù)值有什么關系？這是我們本課時需要探索的問題。[設計意圖]新知識的產(chǎn)生與形成離不開發(fā)散思維與聯(lián)想，對已學知識的深入思考一定會引出新的矛盾，這些矛盾是激勵學生成長的重要因素，也是激發(fā)學生數(shù)學興趣的途徑。為了引導好學生探索歸納，我設計了8個思考。思考1：設、為兩個任意角，你能判斷恒成立嗎？思考2：我們設想的值與、的三角函數(shù)值有一定關系，觀幾組數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，你能有什么猜想？①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝________，思考3：一般地，你能猜想出等于什么嗎？思考4：如圖1，設、為銳角，且，角的終邊與單位圓的交點為，，那么表示哪條線段長？思考5：如何用線段分別表示和？思考6：，它表示哪條線段長？，它表示哪條線段長？思考7：利用可得什么結論？思考8：上述推理能說明對任意角、都有成立嗎？[設計意圖]循序漸進，尊重知識的形成規(guī)律，讓學生感受知識的產(chǎn)生是自然而然的、水到渠成的。3．自主探究，證明公式為了幫助學生突破難點，我設計了4個思考。思考1：根據(jù)的結構特征，你能聯(lián)想到一個相關的計算原理嗎？思考2：如圖2，設角、的終邊與單位圓的交點分別為、，則、的坐標分別是什么？其數(shù)量積是什么呢？思考3：向量的夾角與、有什么關系？根據(jù)數(shù)量積的定義，等于什么？由此可得什么結論？思考4：公式稱為兩差角的余弦公式，記作，該公式有什么特點？如何記憶？教師強調(diào)公式中、的任意性。[設計意圖]由于學生對向量的工具性作用的體會還很淺，所以既要給學生思考的空間，又要加強引導；同時既要讓學生體會向量法證明的簡捷性，又要培養(yǎng)學生思維的靈活性和發(fā)散性。教師讓學生用自已的語言描述公式的特點。4．鞏固新知，理論遷移例1．利用兩角差的余弦公式求的值。接著例1設計了3個變式訓練。變式：利用化簡：⑴；⑵；⑶還有一個思考：你會求嗎？學生自主完成。[設計意圖]例1是公式的正向運用，同時讓學生體會把非特殊角轉化為特殊角的思想；變式屬于公式的逆向運用，培養(yǎng)學生的逆向思維和化歸能力。例2．已知，，，是第三象限角，求的值。[設計意圖]例2既是對公式的正向運用，同時要為運用公式掃清障礙；再次讓學生體會由、的任意性賦予公式的強大功能，探索三角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。接著例2設計了3個練習：⑴利用可得等于什么？⑵若已知和的三角函數(shù)值，如何求的值？⑶若，，則等于什么？[設計意圖]本練習對公式的理解提出了進一步的要求，同時遵循了循序漸進的教學原則。5．小結反思，任務后延教師引導學生圍繞以下方面進行小結：⑴知識層面用三角函數(shù)探究公式；用向量方法證明公式——感受向量的工具性作用。⑵數(shù)學思想層面聯(lián)想、類比、換元；特殊與一般；數(shù)形結合、分類討論。[設計意圖]讓學生通過小結，反思學習過程，加深對公式及其推導過程的理解，領會數(shù)學研究的有關基本方法和途徑，學習并能應用數(shù)學思想與方法解決有關問題。學情分析1、學生在初中接觸過正弦、余弦，第一章對三角函數(shù)也做了相應的研究，所以《兩角差的余弦公式》也會好理解。2、學生有相應的基礎知識，證明《兩角差的余弦公式》有兩種方法，學生可以自己做選擇，選出適當?shù)姆椒?，證明本節(jié)的結論。3、三角函數(shù)主要是一些記憶性的知識，學生們對于本章的內(nèi)容還是比較喜歡的，學習上相應的也會更認真。效果分析學生通過本節(jié)課的學習，基本掌握了兩角差的余弦公式的推導過程，能夠自我總結形成公式探究的一般方法。激發(fā)了學生的探究欲望，能夠獨立或合作提出推導其它三角恒等式的方案，加深了對靈活運用公式的理解。學生在探索過程中學會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜想，通過證明】完善，最終達到將“問題知識化”的目的，收到了良好的效果。教材分析1．教材的地位和作用本節(jié)課的內(nèi)容具有承上、啟下和輻射的作用。它是前面所學的任意角的三角函數(shù)和誘導公式等知識的延伸，同時又是兩角和余弦、兩角和與差正弦、正切及二倍角公式的基礎。對于三角變換、三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明等問題的解決有重要的支撐作用。2．教學重點與難點⑴教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式及其應用。⑵教學難點：兩角差的余弦公式的探索過程的組織和適當引導。這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經(jīng)具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題等。設計依據(jù)：由于“兩角差的余弦公式的推導及應用”對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義，因此它是本節(jié)課的一個重點。由于“兩角差的余弦公式的推導”需要構造單位圓中的三角函數(shù)線和構造向量來解決，所以它是本節(jié)課的一個難點。評測練習1.計算coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)的值是()A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)2.若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，則a·b等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(1,2)3.設α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于_______4.已知sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，求cos(α－β)的值.5.已知sinα＝－eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(5,13)，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.課后反思本節(jié)課始終貫徹在教師的有效指導下，學生主動參與公式的發(fā)現(xiàn)、推導和應用，在活動中體會數(shù)學思想方法、領悟數(shù)學本質(zhì)的理念。同時還有幾點思考：⑴用向量方法證明公式有其特有的優(yōu)越性，但是向量方法學生很難想到，這就需要教師給學生思維恰當?shù)囊龑?，這樣做不是降低學生的思維層次，反而能夠提高思維的有效性，從而體現(xiàn)教師主導作用和學生主體作用的和諧統(tǒng)一；⑵教材的引入中，易造成誤會兩向量夾角即為，教學設計時一定要把與的關系澄清；⑶不管先證明哪個公式，用哪種方法證明公式，教師都應該從學生的最近發(fā)展區(qū)入手，最符合學生認知規(guī)律的設計才是最好的。課標分析1.使學生理解兩角差的余弦公式的推導，并能初步應用它們進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值、求角。2經(jīng)歷用三角函數(shù)線和向量的數(shù)量積推導