專題04 圓錐曲線中的范圍問題(教師版)

專題04圓錐曲線中的范圍問題一、單選題1．已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當(dāng)?shù)闹底钚r，=（）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題.2．已知橢圓，直線l過橢圓C的左焦點F且交橢圓于A，B兩點，的中垂線交x軸于M點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)l：時，，設(shè)與橢圓聯(lián)立可得：，然后求得的中垂線方程，令，得，然后分別利用兩點間的距離公式和弦長公式求得，，建立求解.【詳解】橢圓的左焦點為,當(dāng)l：時，，，所以，設(shè)與橢圓聯(lián)立，可得：，由韋達(dá)定理得：，取中點為，所以的中垂線方程為：，令，得，所以，又，所以，綜上所述，故選：B.【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．3．已知點，分別為圓和橢圓上的點，則，兩點間的最大距離是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出橢圓上任意一點的坐標(biāo)，利用，表示橢圓上的點到圓上點的最大距離的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)求得其最大值.【詳解】依題意可知圓心，半徑是.設(shè)橢圓上的點，此時點到圓上的點的最大距離為，即，由，得，即所以的最大值為9，即，兩點間的最大距離是9.故選：D【點睛】本題主要考查圓和橢圓的位置關(guān)系，圓外一點到圓上的點的最大距離的表示，考查學(xué)生的換元思想以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.4．已知直線：與橢圓：至多有一個公共點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直線：與橢圓：至多有一個公共點，即聯(lián)立方程，化簡整理得，即可理解為雙曲線外部的點（可行域），轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的題，然后化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍.【詳解】聯(lián)立方程，化簡整理得：因為直線：與橢圓：至多有一個公共點，所以，即，即點滿足雙曲線外部的點，即可行域，如圖所示，為x軸，k為y軸，將變形為，平移直線，由圖可知，當(dāng)直線與雙曲線相切時為臨界條件.聯(lián)立，化簡整理得：由題知，，解得若可行域是雙曲線右支外部的點，即臨界條件切線需要往上平移，即；若可行域是雙曲線左支外部的點，即臨界條件切線需要往下平移，即；綜上可知，的取值范圍是故選：D.【點睛】本題考查直線與橢圓交點個數(shù)問題，考查用雙曲線外部點作可行域，求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于難題.二、多選題5．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸交于點.點是拋物線上不同的兩點.下面說法中正確的是（）A．若直線過焦點，則以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；B．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多兩條；C．對于拋物線內(nèi)的一點，則；D．若直線垂直于軸，則直線與直線的交點在拋物線上.【答案】ACD【分析】過作準(zhǔn)線于，過作準(zhǔn)線于，計算得到A正確；直線包括兩條切線和軸所在直線，B錯誤；，C正確；設(shè)，，計算交點驗證得到答案.【詳解】如圖一：過作準(zhǔn)線于，過作準(zhǔn)線于，過中點作準(zhǔn)線于，則，故以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，A正確；點與拋物線有且僅有一個公共點的直線包括兩條切線和軸所在直線，B錯誤；如圖二：過作準(zhǔn)線于，過作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線方程為，，當(dāng)共線時等號成立，C正確；設(shè)，，，，則直線：，：，交點，帶入滿足拋物線方程，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：利用拋物線定義將點到焦點的距離和點到準(zhǔn)線的距離互換，利用幾何關(guān)系，是解決拋物線中距離的最值的關(guān)鍵.6．已知曲線C的方程為，，點P是C上的動點，直線與直線交于點M，直線與直線交于點N，則的面積可能為（）A．73 B．76 C．68 D．72【答案】ABD【分析】設(shè)，求出，求出的坐標(biāo)和的最小值，得到的面積的最小值，即得解.【詳解】設(shè)，則．設(shè)，則，直線的方程為，則點M的坐標(biāo)為，直線的方程為，則點N的坐標(biāo)為．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．從而面積的最小值為.故選：ABD．【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性、直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.7．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過點的直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則（）A．的準(zhǔn)線方程為 B．線段長度的最小值為4C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)條件可得出，易得A、B的正誤，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1，y2＝2px，算出即可得出C、D的正誤.【詳解】焦點F到準(zhǔn)線的距離為p=2，所以拋物線C的焦點為(1，0)，準(zhǔn)線方程為x=－1，則選項A錯誤；當(dāng)PQ垂直于x軸時長度最小，此時P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，則選項B正確；設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1，y2＝2px，消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，，當(dāng)時成立，則選項C正確；又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，則選項D正確；故選：BCD8．已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左、右焦點分別為，長軸長為，焦距為，點在橢圓上且滿足，直線與橢圓交于另一個點，若，點在圓上，則下列說法正確的是（）A．橢圓的焦距為 B．三角形面積的最大值為C．圓在橢圓的內(nèi)部 D．過點的圓的切線斜率為【答案】ABC【分析】利用,求得，利用已知條件及橢圓定義求出橢圓方程，再對選項進(jìn)行驗證得解【詳解】，,設(shè)則又，，所以A正確；圓，，圓在橢圓內(nèi)部，所以點在橢圓內(nèi)部，所以C正確；當(dāng)點在軸上是三角形面積的最大，此時,所以B正確；設(shè)過點的圓的切線斜率為，則切線方程為所以D錯誤故選：ABC【點睛】本題考查橢圓與圓的相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題9．已知橢圓：.（1）求橢圓的離心率.（2）已知點是橢圓的左頂點，過點作斜率為1的直線，求直線與橢圓的另一個交點的坐標(biāo).（3）已知點，是橢圓上的動點，求的最大值及相應(yīng)點的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；（3）取最大值，此時點的坐標(biāo)是.【分析】（1）由方程直接求出，即可求出離心率；（2）可得直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程即可求出交點坐標(biāo)；（3）設(shè)，利用距離公式與橢圓的有界性即可求出.【詳解】（1）因為，，所以，，，所以橢圓的離心率.（2），直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消去整理得：，解得，，所以點的坐標(biāo)為.（3）設(shè)，因為是橢圓上的動點，所以，，因為，所以，因為，所以當(dāng)時，取最大值，此時點的坐標(biāo)是.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與橢圓的交點坐標(biāo)，可直接聯(lián)立方程求解，第三問求橢圓上的點到定點的距離最值，解題的關(guān)鍵是正確表示距離，利用橢圓的有界性求解.10．已知橢圓上的點到右焦點的最大距離是，且1、、成等比數(shù)列．（1）求橢圓的方程；（2）過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點，線段的中垂線交軸于點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；（2）先設(shè)出方程，聯(lián)立方程組得到根與系數(shù)關(guān)系，從而建立關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求出的范圍．【詳解】解：（1）由題意可知，解之得，故橢圓的方程為．（2）由題意得，設(shè)的方程為，由消去得，設(shè)，，，，則，可得線段的中點，當(dāng)時，直線為軸，此時．當(dāng)時，直線的方程為，令得，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】設(shè)直線方程時，注意對直線的斜率進(jìn)行分類討論，即斜率存在與不存在.11．已知橢圓的左、右頂點分別為、，直線與橢圓交于、兩點．（1）點的坐標(biāo)為，若，求直線的方程；（2）若直線過橢圓的右焦點，且點在第一象限，求、分別為直線、的斜率）的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用點差法，求直線的斜率，再求直線方程；（2）直線的斜率不存在時，求點的坐標(biāo)，得到的值，以及當(dāng)斜率存在時，直線與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求的值，并將表示為的二次函數(shù)，并求取值范圍.【詳解】解：（1）設(shè)，，，，由題意可得為線段的中點，由兩式相減可得，而，即有，，則，可得，故直線的方程為，即；（2）由題意可得，，，當(dāng)直線的斜率不存在時，，，，．當(dāng)直線的斜率存在時，則的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，則，，所以，所以，因為在第一象限，所以，所以，．【點睛】思路點睛：1.一般涉及中點弦問題時，采用點差法求解；2.直線與圓錐曲線相交問題時，有時需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題.12．已知圓的離心率為，過的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，當(dāng)，軸時，．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若l不垂直于坐標(biāo)軸，且在x軸上存在一點，使得成立，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)條件構(gòu)建方程求解即可（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，然后由，得，即，即，然后得出即可.【詳解】解：（1）橢圓的半焦距為c．根據(jù)題意，得，解得，．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由l不垂直于坐標(biāo)軸知，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消去y可得．設(shè)，，易知，且均不等于m．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．由，得，所以．所以，所以整理可得，即．因為，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的等量關(guān)系．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，，由，得，然后表示出得到所要求的等量關(guān)系．考查了學(xué)生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．13．已知橢圓：經(jīng)過點，一個焦點的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)可得，利用橢圓定義可求得a的值，根據(jù)a,b,c的關(guān)系，即可求得b的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓C的方程，根據(jù)，可得m與k的關(guān)系，利用韋達(dá)定理，可得，，的表達(dá)式，根據(jù)，可得，即可求得的范圍，代入所求，即可得答案.【詳解】（1）由題意得，，根據(jù)橢圓定義可得：，解得根據(jù)，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，由得：，，即，，，，所以，所以，故，解得，所以.故的取值范圍為【點睛】方法點睛：直線與橢圓的位置關(guān)系問題，解題的關(guān)鍵是將直線與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理把計算目標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率等變量的函數(shù)關(guān)系式，注意這個條件求出變量的范圍，并利用函數(shù)值域的求法（如分離常數(shù)等）來求目標(biāo)函數(shù)的最值.14．已知點到的距離是點到的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關(guān)于點對稱，點，求的最大值；（3）若過的直線與第二問中的軌跡交于，兩點，試問在軸上是否存在點，使恒為定值?若存在，求出點的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）138；（3）存在，，.【分析】（1）設(shè)點，由題意可得，利用兩點之間的距離公式化簡整理可得.（2）先由的軌跡方程求出點的軌跡方程，利用兩點間距離公式整理從而轉(zhuǎn)化為：線性規(guī)劃問題處理.（3）代入消元，韋達(dá)定理，整體思想代入，整理可得解.【詳解】（1）設(shè)點，由題意可得，即，化簡可得.（2）設(shè)，由(1)得點滿足的方程，又點是點與點的中點，則，代入上式消去可得，即的軌跡為.令，則，可視為直線在y軸上的截距，的最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距，由直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，所以，，所以.因此的最大值為138.（3）存在點，使得為定值.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，則直線的方程為，由，消去，得，顯然，設(shè)，則，，又，，則要使上式恒為定值，需滿足，解得，此時，為定值.當(dāng)直線的斜率不存在時，，，由可得.所以存在點，使得為定值.【點睛】方法點睛：本題為直線與圓的綜合題，與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略（1）與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．（2）與圓上點有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法：①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點和點的直線的斜率的最值問題；②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題．15．已知橢圓的右焦點為，直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線，點在橢圓上（異于橢圓左、右頂點），過點作直線與橢圓相切，且與直線相交于點.（1）求證：；（2）若點在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線的斜率的平方.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式列方程，求得點的坐標(biāo)，求得點的坐標(biāo)，通過計算得到，由此證得.（2）求得，由此求得三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最小值，進(jìn)而得出直線的斜率的平方.【詳解】（1）證明：由題意得，點的坐標(biāo)為，設(shè).由，得，.即點坐標(biāo)為.當(dāng)時，可求得點的坐標(biāo)為，，.故.（2）解：點在軸上方，，由（1）知；①當(dāng)時，由（1）知，函數(shù)單調(diào)遞增.②當(dāng)，由（1）知，令則由當(dāng)時，，此函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)即的最小值，此時，，解得.綜上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的斜率的平方為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示垂直關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的最值有關(guān)的計算，解決本題的關(guān)鍵點是表示出，按和分別將用表示，并構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性和最值，考查了學(xué)生分析解決問題的能力和運算求解能力，屬于中檔題.16．已知橢圓經(jīng)過點，且短軸長為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用已知條件求出，，然后求解橢圓方程；（2）當(dāng)，斜率一個為0，一個不存在時，；當(dāng)，斜率都存在且不為0時，設(shè)，，，，，由求出的坐標(biāo)，然后推出坐標(biāo)，求解，，求出三角形的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求解最值.【詳解】（1）由題意知，，，解得，，故橢圓方程為：.（2）當(dāng)，斜率一個為0，一個不存在時，，當(dāng)，斜率都存在且不為0時，設(shè)，，，，，由消得，，，得，，，，又，所以，綜上，面積的取值范圍為.【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思.（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.17．已知橢圓的左右焦點分別是和，離心率為，以在橢圓上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點，若軸上存在點，使得，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先判斷P在短軸端點時，的面積最大，得到，再結(jié)合，，即解得參數(shù)a，b，得到方程；（2）先聯(lián)立方程得到中點坐標(biāo)，再利用已知條件得到，設(shè)點坐標(biāo)，得到m，k的關(guān)系，討論m的取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意，顯然當(dāng)P在短軸端點時，的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，故橢圓的方程為；（2）聯(lián)立方程組，得，因為直線l恒過定點，故直線與橢圓必有兩個交點，設(shè)，則，設(shè)中點為，則，，，設(shè)，則，化簡得.當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故；綜上，點的橫坐標(biāo)的取值范圍為.【點睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．18．已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依題意，，結(jié)合條件求解的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出，橫縱坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步求得的垂直平分線方程，求得的坐標(biāo)，由兩點間的距離公式求得，由弦長公式求得，作比后求得的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，，因為，即，所以．所以橢圓的方程是．（Ⅱ）由得．設(shè)，則有，，．所以線段的中點坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為．于是，線段的垂直平分線與軸的交點，又點，所以．又．于是，．因為，所以．所以的取值范圍為．【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19．坐標(biāo)平面內(nèi)的動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，設(shè)動圓的圓心的軌跡是曲線，直線.（1）求曲線的方程；（2）當(dāng)點在曲線上運動時，它到直線的距離最?。孔钚≈稻嚯x是多少？（3）一組平行于直線的直線，當(dāng)它們與曲線相交時，試判斷這些直線被橢圓所截得的線段的中點是否在同一條直線上，若在同一條直線上，求出該直線的方程；若不在同一條直線上，請說明理由？【答案】（1）；（2）點到直線的距離最小，距離最小為；（3）在同一直線，直線為：.【分析】（1）利用兩個圓外切與內(nèi)切的性質(zhì)可得，再利用橢圓的定義即可求得曲線的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程為，代入，整理可得，當(dāng)，直線與曲線相切，此時點到直線的距離最小，利用點到線距離公式求得最小值.（3）設(shè)兩個交點為，利用點差法化簡得，即，整理得.【詳解】解：（1）設(shè)動圓的半徑為，由題意可知，則，根據(jù)橢圓的定義可知曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓，其中，即所以曲線的方程為：.（2）設(shè)與平行的直線的方程為，即，代入，可得，整理得，，當(dāng)時，此時直線與曲線相切，根據(jù)圖形可知當(dāng)時，點到直線的距離最小，.（3）這些直線被橢圓所截得的線段的中點在同一條直線上設(shè)與平行的直線與曲線的兩交點坐標(biāo)為，中點，，兩式作差得，整理可得：，即，整理得，即所有弦的中點均在直線上.【點睛】思路點睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓上點到直線的最近距離，點差法的應(yīng)用，解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單．20．已知，分別是橢圓的左、右焦點.（1）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，，求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題得，聯(lián)立橢圓方程，解方程組即得解；（2）顯然不滿足題意，可設(shè)l的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，由為銳角，得到，把韋達(dá)定理代入化簡即得解.【詳解】（1）因為橢圓方程為，所以，，，可得，，設(shè)（，），則，所以，聯(lián)立解得，即.（2）顯然不滿足題意，可設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立，由，得.，.又為銳角，即，即，，，可得.又，即為，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是由為銳角，聯(lián)想到，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算和韋達(dá)定理得到關(guān)于的不等式，解不等式即得解.21．已知橢圓方程為．（1）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上運動，求的取值范圍；（2）設(shè)直線和圓相切，和橢圓交于、兩點，為原點，線段、分別和圓交于、兩點，設(shè)、的面積分別為、，求的取值范圍．【答案】（1）[0,3]；（2）.【分析】（1）設(shè)，求出，即得解；（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，求得；②若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，求出，再換元求解.最后綜合得解.【詳解】（1）由已知，，設(shè)，，．結(jié)合，得，故.所以的取值范圍為[0,3].（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為，由對稱性，不妨設(shè)，此時，故．②若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由已知可得，則，設(shè)、，將直線與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，．結(jié)合及，可知．將根與系數(shù)的關(guān)系代入整理得：，結(jié)合，得．設(shè)，，則．的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是求出之后，如何求函數(shù)的取值范圍.本題利用了兩次換元，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求范圍.換元法是高中數(shù)學(xué)常用的一個解題技巧，要理解掌握靈活運用.22．已知為橢圓的右焦點，點在上，且軸，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點，且（為坐標(biāo)原點），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由點在上，且軸，可得，再由離心率即可求出，進(jìn)而得出，求出橢圓方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，，則由可建立關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】（1）因為為橢圓的右焦點，點在上，且軸，所以，又橢圓的離心率為，所以，因此，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；綜上，的取值范圍是.【點睛】易錯點睛：本題考查橢圓中直線與橢圓相交弦所在直線的斜率問題，此類問題一般聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理建立關(guān)系求解，注意需要考慮方程有解的問題，即需要滿足，往往容易忽略這個問題.23．設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因為，所以，，①當(dāng)時，，因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.②當(dāng)時，.③當(dāng)AB的斜率不存在時，兩個交點為或，所以此時，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．24．如圖，已知雙曲線的方程為（），兩條漸近線的夾角為，焦點到漸近線的距離為．、兩動點在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位于第一象限和第四象限，是直線與雙曲線右支的一個公共點，.（1）求雙曲線的方程；（2）當(dāng)時，求的取值范圍；（3）試用表示的面積，設(shè)雙曲線上的點到其焦點的距離的取值范圍為集合，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先由題意，得到雙曲線的漸近線方程，根據(jù)夾角公式，由題中條件，得到，再由點到直線距離公式，求出，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）先由題意，設(shè)，，，，當(dāng)，得到代入雙曲線方程，得到，再計算向量數(shù)量積，即可得出結(jié)果；（3）同（2），設(shè)，，，，由得，代入雙曲線方程，得到，再由點到直線距離公式，兩點間距離公式，求出，由題中條件，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意雙曲線漸近線為.根據(jù)夾角公式.又.所以.（2）由題意，設(shè)，，，，當(dāng)時，，則所以，整理得；又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；所以.（3）同（2），設(shè)，，，，由得，即，則所以.把點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得.所以，因為直線的斜率為，則直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，又，所以，由題意知，，所以，.設(shè)是雙曲線右支上一點，記雙曲線左右焦點分別為，，由雙曲線的性質(zhì)可得，，又，，所以，即雙曲線上的點到其焦點的距離的范圍是，由題意可得，，令，，任取，則顯然成立，所以在上單調(diào)遞增，因此，即.所以.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法：（1）函數(shù)法：用其他變量表示參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解；（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的范圍；（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式求參數(shù)的取值范圍；（4）數(shù)形結(jié)合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓（）的左、右焦點分別為、，左頂點為A，上頂點為B，離心率為e．橢圓上一點C滿足：C在x軸上方，且⊥x軸．（1）如圖1，若OC∥AB，求e的值；（2）如圖2，連結(jié)并延長交橢圓于另一點D．若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)軸，設(shè)C，，再根據(jù)點C在橢圓上求得其坐標(biāo)，然后再根據(jù)OC∥AB，由求解.（2）設(shè)，，由（1），，然后用表示D的坐標(biāo)，代入橢圓方程求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c．∵軸可設(shè)C，，因為，所以，解得，∴C∵OC∥AB，所以∴b=c∴.（2）設(shè)，，由（1）知：，，，，∵∴，所以，，∴又∵D在橢圓上∴，化簡得：又∵，∵，，則，解得：所以取值范圍是．【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率的常用方法：①直接求出a，c來求解e.通過已知條件列出方程組，解出a，c的值；②構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；③通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系．四、填空題26．若點O和點F分別為雙曲線的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】設(shè)出點P，代入雙曲線方程求得y0的表達(dá)式，根據(jù)P，F(xiàn)，O的坐標(biāo)表示出，進(jìn)而求得的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，則的取值范圍可得．【詳解】雙曲線方程為因為是已知雙曲線的左焦點，設(shè)點P（x0，y0），則有，解得，因為，，所以x0（x0+2），此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為，因為，所以當(dāng)時，取得最小值，故的取值范圍是，故答案為：．27．設(shè)點，若在圓上存在點N，使得，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】過點作圓的切線，切點為，由此得到，再根據(jù)存在使得，得到長度滿足的不等式，即可求解出的取值范圍.【詳解】如圖所示：過作圓切線，切點為，由切線性質(zhì)可知：，又因為存在使得，所以，又因為，所以，即，解得，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查與圓有關(guān)的角度恒成立求參數(shù)范圍問題，解題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合的方式將角度問題轉(zhuǎn)化為長度問題，尋求恒成立的臨界條件，由此構(gòu)建不等式求解出參數(shù)范圍，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.28．已知為橢圓上的一點，過作直線交圓于，兩點，則的最大值是_______.【答案】3【分析】如圖，過作，垂足為，可知是中點，則可得，再由勾股定理可得出，由橢圓的有界性即可求出最值.【詳解】如圖，過作，垂足為，可知是中點，可得，中，，在中，，聯(lián)立可得，設(shè)，則（），，，則，即，故最大值為3.故答案為：3.【點睛】本題考查橢圓和圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.29．已知過拋物線：的焦點的直線交拋物線于、兩點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，連接并延長，交拋物線于點，則的取值范圍為________．【答案】【分析】聯(lián)立，設(shè)，，，，，，，，求出，，再求出，，即得解.【詳解】拋物線的焦點，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，整理得：，設(shè)，，，，，，，，則，則，，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得：，由，則，所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的范圍問題的求解，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.五、雙空題30．（1）方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是_________．（2）設(shè)點A，B的坐標(biāo)為，，點P是曲線C上任意一點，且直線PA與PB的斜率之積為，則曲線C的方程是____________．【答案】【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果；（2）利用斜率公式可得結(jié)果.【詳解】（1）因為方程即表示焦點在x軸上的橢圓，所以.（2）設(shè)，則，.故