湖南大學(xué)微積分01-第1講集合與映射

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)〔一〕第一講集合與映射腳本編寫、教案制作：劉楚中彭亞新鄧愛珍劉開宇孟益民第一章集合與函數(shù)本章學(xué)習(xí)要求：正確理解函數(shù)概念，能熟練求出函數(shù)的定義域。掌握函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和圖形特征。正確理解初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)概念，能正確將復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解。會(huì)求函數(shù)〔包括分段函數(shù)〕的反函數(shù)。了解“取整函數(shù)〞和“符號(hào)函數(shù)〞。能對(duì)常見的實(shí)際問題進(jìn)行分析，建立函數(shù)關(guān)系。第一節(jié)集合與映射一、集合的根本概念二、集合的根本運(yùn)算三、映射的根本概念四、實(shí)數(shù)、區(qū)間、鄰域一、集合的根本概念集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根底。集合論的創(chuàng)始人是丹麥人康托爾〔猶太人〕，他在柏林大學(xué)學(xué)習(xí)〔工科〕期間受大數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯的影響，轉(zhuǎn)而攻讀數(shù)學(xué)，最后成為一名數(shù)學(xué)家。他于1847年提出集合論，解決了當(dāng)時(shí)一系列懸而未決的問題，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)根底。但康托爾創(chuàng)立集合論的過程是十分艱難的，為此他幾乎獻(xiàn)出了生命。這也說明如何一件新生事物的出現(xiàn)往往都不是一帆風(fēng)順的?？低袪枌⒓隙x為：所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間有明確區(qū)別的那些對(duì)象〔這些對(duì)象稱為元素〕作為一個(gè)整體來考慮的結(jié)果。1.集合關(guān)于集合的幾點(diǎn)注意：集合的元素是確切定義的，不能模糊不清。集合中的元素互不相同。當(dāng)只研究一個(gè)集合時(shí)，那么可不考慮其結(jié)構(gòu)，視集合中的元素一律平等。2.集合的表示法列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)括上。表示集合的方法有兩種:注意：不管用那一種方法表示集合，集合中的元素不得重復(fù)出現(xiàn)。有些集合可以用兩種表示法表示，此時(shí)可根據(jù)需要選擇其中的一種方法例13.子集、集合相等規(guī)定：空集是不含任何元素的集合，記為?？占侨魏我粋€(gè)集合的子集：想到什么沒有？例24.有限集、無限集：含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集；含有無限個(gè)元素的集合成為無限集?？占侨魏我粋€(gè)非空集合的冪集的元素：二、集合的根本運(yùn)算也有一些書將全集稱為“空間〞、“原集合〞、“萬有集合〞等。在wen圖中，用矩形表示全集。1.集合運(yùn)算的概念A(yù)BABABABABABABAABB(A–B)∪B=A?一般說來,AB僅當(dāng)BA時(shí),才有ABA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。B={4,5,6,7,8,9}，設(shè)A={1,2,3,4,5}，那么例3B={6,7,8}，={0,1,2,6,7,8}.設(shè)A={0,1,2}，那么例4A={x|x2

2x3<0}，={x|1

x

3}.B={x|x=1,3}，設(shè)那么例5例6解={x|1<x<1或2<x<3}。故B={x|x<1或x>2}，解不等式得A={x|1<x<3}，例7交換律結(jié)合律分配律對(duì)偶律2.集合的運(yùn)算性質(zhì)冪等律吸收律設(shè)有集合A、B、C及全集，那么交換律：結(jié)合律：分配律：對(duì)偶律：冪等律：吸收律：其它：三、映射的根本概念1.映射注意：1)映射是集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.集合X、Y中所含的元素不一定是數(shù)，可以是其它的一些對(duì)象(或事物)。2)對(duì)每一個(gè)xX，只有唯一的一個(gè)yY

值與之對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定就是映射。對(duì)應(yīng)，這一點(diǎn)很重要，它說明集合間元素的3)映射的定義不排除幾個(gè)不同的x

值與同一個(gè)y值對(duì)應(yīng)。RfXYfy2x1x2x3y1.....設(shè)f

為集X

到集Y

的一個(gè)映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y

與之對(duì)應(yīng)；反過來,假設(shè)yY,存在唯一的xX使得y=f(x),那么稱f是X到Y(jié)的一一對(duì)應(yīng)。2.一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)的實(shí)質(zhì)是什么？一一對(duì)應(yīng)的實(shí)質(zhì)其它內(nèi)容請(qǐng)同學(xué)們自己看書1.實(shí)數(shù)集與數(shù)軸實(shí)數(shù)集為有理數(shù)集與無理數(shù)集的并.實(shí)數(shù)具有稠密性和連續(xù)性.aR，必n

Z，使n

a

<

n+1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).四、實(shí)數(shù)、區(qū)間、鄰域2.絕對(duì)值、距離任一實(shí)數(shù)a

的絕對(duì)值|a|

定義為：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)a，b

之間的距離為d=|ab|。絕對(duì)值常用的性質(zhì)：3.區(qū)間(1)閉區(qū)間[a,b]={x|a

x

b}ab(2)開區(qū)間(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()(a,b]={x|a

<

x

b}

(稱為左開右閉區(qū)間)[a,b)={x|a

x

<

b}

(稱為右開左閉區(qū)間)(3)半開閉區(qū)間ab。[)(4)無窮區(qū)間[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)(5)區(qū)間長度有限區(qū)間的長度=右端點(diǎn)值－左端點(diǎn)值不管是閉區(qū)間、開區(qū)間、半開閉區(qū)間，其長度計(jì)算均按此式進(jìn)行。所有無窮區(qū)間的長度=+∞區(qū)間(－∞,2]與(1,+∞)的區(qū)間長度均為+∞.區(qū)間[1,4]與(1,4)的區(qū)間長度均為4(1)=5例8U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0xU(x0,)|x

x0|<

4.鄰域U(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0xU(x0,)0<|x

x0|<

點(diǎn)的某鄰域，記為U(x0).點(diǎn)

的某去心鄰域，記為?(x0).U(