簡單的三角恒等變換復(fù)習(xí)講義

高一數(shù)學(xué)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊)

5.5三角恒等變換

5.5.2簡單的三角恒等變換

【考點梳理】

考點一半角公式

a/1-cosaa/1+cosaa/1-cosasina1-cosa

Sin2=±\]~2-'cos干「an2=±\T+^=T+^=^T-

考點二輔助角公式

輔助角公式:

=雨耳京sin(x+J).(其中tan9=3

asinx+hcosx

【題型歸納】

題型一：降塞公式的化簡求值問題

1.(2021?全國?高一課時練習(xí))化簡：

nn

(1)(sin150+cos15°)2；3(2)sin5cos5；(3)cos4a-sin4a；

??；⑹

(4)J2+8s2°—°°；⑸(0<a<7r).

2.(2021?全國?高一課時練習(xí))利用倍角公式求下列各式的值：

(1)singcosg；(2)cos2^-sin2-^；(3)l-2sin215°;(4),?叫：

88881-tan215°

(5)(sin15°-cos15°)-；(6)2sin200cos200-2cos225°.

3.(2020?山西?懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一期中(文))求值:

/.、什sina+cosa14八、42sin235°-1_

(1)若二---------=-,求tan"的值.(2)求---------；=-----的值.

smof-cosa2cos100-J3sin10°

題型二：輔助角公式的應(yīng)用

4.(2021?河北遷安?高一期末)己知函數(shù)/(x)=-l+2Gsinxcosx+2cos?x.

(1)求函數(shù)的最小正周期；

(2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;

(3)當xe-卷，言時，畫出函數(shù)“X)的圖象.

5.(2021.甘肅.慶陽第六中學(xué)高一期末)已知函數(shù)/(x)=^sin2x-cos2x+；.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)當xe0,1時，求函數(shù)Ax)的值域.

6.(2021?上海?高一課時練習(xí))化簡并求值.

百tanl2°-3

(1)(4cos212°-2)sinl20；

(2)cos400+sin50°(1+Gtan10°j

sin70°A/1+COS40°

s、V3-4sin20o+8sin320°

(J)--------------------------；

2sin20°sin480°

(___1________31_1_

⑷Icos2800-cos210°J,cos200,

題型三：三角恒等式變換中的(給角求值、給值求值、給值求角)問題

7.(2021?全國?高一課時練習(xí))求下列函數(shù)的最大值和最小值：

1出

(1)y=—COSXH---sinx;(2)y=sinx—cosx；

22

(3)y=sinx+Gcosx；(4)y=sin2x-5/3cos2x.

2cos3x+2cos2x-2cos2—

8.（2021?四川減都外國語學(xué)校高一月考）已知函數(shù)/（x）=--------------------------------函數(shù)八"）的最小正周期是

2cos2-

2

()

71

A.-B.乃C.24D.44

2

9.（2021?全國?高一課時練習(xí)）（1）求竺7Zsin；：。①8。的值;

cos80

（2）已知a,夕均為銳角，且cosa=2叵,cos/=10,求a-￡的值.

510

題型四：三角恒等式變換中證明、化簡問題

10.（2021?全國?高一課時練習(xí)）證明:

(1)2sin(兀+a)cos(7i-a)=sin2a；(2)(sinx+cosx)2=1+sin2x；

/-、，/，、1-cos2a3.

(3)l+2cos~，一cos2，=2;(4)---；-------=2sma；

sma

(5)-----------=tan2A；(6)Vl-sin80°=cos40°-sin40°.

1+cos2A

11.(2021.全國.高一課時練習(xí))求下列各式的值：

（）已知（尸）二一（，

1cosa—Lcosa+0=求cos&cos民sinasin(3的值;

⑵求宵黑色的值;3

12.(2021?河南駐馬店?高一期末(理))化簡，求值：

/、心sin0+cosC4(l+sin2e)sin，

(TI)已知——------=2,求------.....—；

sin0-cos0sin。+cos0

6—tan12°

(")(2cos2120-l)sin60cos6°

13.(2021.四川.仁壽一中高一開學(xué)考試)已知。?0,萬)，COSa=^-.

(1)求sin[a-?)；

(2)已知用€(0,1),sin(a+?)=W.求cos2a

【雙基達標】

一、單選題

,a

41-tan—

14.（2021?全國?高一課時練習(xí)）若cosc=-=,。是第三象限的角，則-----1=（）

51a

l+tan—

2

A.2B.gC.-2D.—

22

15.（2021?河南?高一期末）下列函數(shù)中是奇函數(shù)且最小正周期為]的是（）

A./(x)=3-2sin22xB./(x)=sin22x-cos22x-\

C./(x)=4cos22x+2D./(x)=sin2xcos2x

16.（2021?全國?高一課時練習(xí)）亭（cos75o+sin75。）的值為（）

A.1B.--C.正D.-坦

2222

J；+gcos8等于（

17.（2021?上海?上外浦東附中高一期中）若則+；)

、e

AA.sin—6Bn.cos-eC「.~sin?一eD.-cos—

4444

18.（2021.河南商丘.高一月考）若函數(shù)/（x）=asinx+2ncosx（x￡A）的最大值為石，則實數(shù)”的值為（）

A.1B.±1c.2D.±2

11E（2先+4a）的值為（）.

19.（2021?湖北武漢?高一期中）已知sinNV卜一3則8s17

B-4

c.D.--

22

2°-（2必?江蘇省前黃高級中學(xué)高月考）若;⑼，則二2a的值為（）

A.2019B.2020c.2021D.2022

已知sin]貝ijsin（2a-高的值是（

21.（2021?河南駐馬店?高一期末（理））a+—+sina=—）

、3j3

B-42D.二

A-?C.

99

=一3IQ,若5由(2。+,)=，$：11/7,則a+'=

22.（2021.江蘇?南京師大附中高一期末）已知a,夕￡(0,))，cosa

102

()

.2454

A.——Bc.D-7

3-T-4~

【高分突破】

一：單選題

23.(2021?全國?高一課時練習(xí))已知2tan0-tan(e+4)=7,則tanG()

4

A.-2B.-1C.1D.2

24.(2021?北京TOI中學(xué)高一期末)若tan6=—2,貝|j吧"士吧網(wǎng)=()

sin0+cos0

25.（2021?上海?高一期中）已知sina=2^：

,cos(a—=,且°<<哼,則sin尸=()

7

.9x/1511V10「而

dnVio

35353535

26.（2021?福建?莆田錦江中學(xué)高一期末）若a,/e（O㈤，cos（a-,）=-j|,sin|則sm/=()

33「33-6363

A.—B.----C.—D.——

65656565

27.（2⑼?山西?懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一月考（理））若一-｝吟吟+a）jc。吟告邛，

則cos(a+g)=()

AC「5石

B.L?---D.一顯

3399

28.（2021?江蘇?揚州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）已知sin（+百cosa=；,則sin（2a+?）的值為（

)

1177

A.-B.—C.一D.—

3399

-l+sinx(7i）的最大值和最小值分別為（）

29.（2021?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)y=----------0<x<—

sinx+cosxv2

n夜夜

A.1,—1D.------,---------V-----，0D.0,-1

222

1)

30.（2021?浙江?高一期末）己知tan6?+―^=4,則siir=()

tan。

1

A.-BTC.ID.-

5424

31.（2018?四川資陽?高一期末）已知sina=巫，"‘。,小則cos（2a+的值為

10,I6)

、4萬-3B4舟3C4-373D3幣-4

10101010

32.（2021?全國?高一課時練習(xí)）德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個

是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦黃金三角形有兩種，其中底與腰之

比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為36。的等腰三角形（另一種是頂角為108的

等腰三角形）.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金AA8c中,

親”.根據(jù)這些信息‘可得—＜）

☆

A,且3+亞C1+亞

DR.-----D.

4848

二、多選題

（2021?海南?瓊中中學(xué)高一期中）已知sine+cos，=g,6?0,1），則（）

33.

,“247

A.sin2，=-----B.cos夕一sin夕=一

255

八4c.8也

C.tan，=——D?sin—=——

325

（?全國?高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)/。）=$也（》+）（；）則（）

34.202025+8$2X+,fx

4

A.是偶函數(shù)B.在單調(diào)遞減

C.最大值為2D.其圖像關(guān)于直線x對稱

（2021?江蘇?常熟市中學(xué)高一月考）已知萬，sin2a=1,cos（a+/?）=-^-,則（）

35.

A.cosa=-------B.sina-cosa=

105

3兀72

C.RD.cosacos/?=-

36.（2021?山東棗莊?高一期末）下列化簡正確的是（）

A.sin15sin300sin75=-B.cos;215-sin215=—

82

16、八3-4cos20+cos404s

C.---------------------zD.---------------------------=tan4l0

sin10cos10°3+4cos20+cos40

37.（2021?江蘇?儀征市第二中學(xué)高一月考）下列說法正確的是（）

A.sinl5°+cosl50=V2sin60°

B.;in(a+/7-15。)=sin(a-15。)cos/?+cos(a-15°)sin/7

C.cos(a+g=coscos尸+sinasin/?

D.tan(a_0=tana+tan廣

1-tancrtand

38.(2021?江蘇?南京市秦淮中學(xué)高一月考)下列等式中恒成立的是()

sina1-cosa口.sin(a+?)+sin(a-〃)

A.-----------=-----------B.cosasmp=—-------------------------

1+cosasina

C.sin(2a)_Sin^—l-2sinxcosx1-tanJC

+/?2coa+D.-；------=-------

sinasinacos'x-sin~x1+tanx

三、填空題

39.（2020.全國.高一課時練習(xí)）函數(shù)/（x）=2cosx+sinx的最大值為.

jr2

40.（2021.河北.藁城新冀明中學(xué)高一月考）已知sin2（f+a）則sin2。的值是.

43

41.（2020?四川?棠湖中學(xué)高一月考）cos40°（l+^tanl00）=.

2

cos-a

42.（2021?廣東?金山中學(xué)高一期中）已知tana=—，則―7一_____.

2cosl2a~—I

43.（2021.全國?高一課時練習(xí)）已知sin（a+^）=；,則sin[,-a]+sin2（方-a）的值為.

3S

44.（2020?福建省南平市高級中學(xué)高一期中）若久夕都是銳角，sin?=1,sin（a-4）=言，則cos/?=.

45.（2021?安徽舒城?高一期末）若Gcosa+sina=2f,貝ijcos（?-2a）=.

46.（2021?山東濱州?高一期末）函數(shù)/'（x）=3cos2x_6sinxcosx在區(qū)間04上的最大值為.

47.（2019?河南駐馬店?高一期末（文））已知當％時，函數(shù)/（x）=（a+l）s嗚cos]—（a—l）cos29a2-2（。6火且

a>1）取得最大值，則tan夕=-2時，。的值為.

四、解答題

48.(2021?全國?高一課時練習(xí))化簡：

⑴sin'_jsin(：+x)

(2)cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)；

/八sin2acosa

(3).

1+cos2a1+cosa

49.(2021?全國?高一課時練習(xí))證明：

(1)sin(a4-/?)sin(a-=sin2a-sin2/?；

(2)cos2x+cos2f—+x>l+cos2f—+xl=-.

I3)I3)2

50.(2021?全國?高一課時練習(xí))化簡：

(1)4sin2a(l-sin2a)+cos22a；

I”a(.a

小、l+2cos—sm----cos—

(2)2122人

sina-cosa

51.(2021?全國?高一課時練習(xí))解答：

(1)化簡：sin(a-/?)cosa-cos(a-/7)sina；

/3、#/土sin50-sin20cos30

(2)求值：-------------------

cos20°

(3)求函數(shù)y=sinx+6cosx的最大值.

52.（2021?北京?大峪中學(xué)高一期中）已知ae（0,5J,且sina=3g.

5

(1)求sin(a_(J的值;

(2)求cos?耳+tan|]+aJ的值.

53.(2021?上海市民辦西南高級中學(xué)高一月考)⑴已知sin(a+[尸工[<a<g,求cosa的值;

31362

5/2cos(—0)

47T

已知。<乃，求4

(2)tan26=—,—<2)0

322cos2——sin0-1

2

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【答案詳解】

.1.

(1)(sinl5°+cosl50)2=sin215°+cos215°+2sin15°cos15°

13

=l+sin30°=l+-=-

22

(2)

,eei.八

sin—cos—=—sin

222

(3)

cos4a-sin4a=(cos2a)-(sin2aj

=(cos2tz+sin2a)(cos?a-sin2a)

=cos2a-sin2a

=cos2a

(4)

V2+cos200-sin2100=V2cos2100+2sin2100+cos2100-sin2100-sin2100

=V3cos210°

=V3COS10°

(5)

1________1_______1________1

l-tan(9l+tane，sin<9sin。

cos0cos0

11

=-----------------------------------

cos6-sin6cos6+sin6

cos0cos0

cos0cos0

---------------------------------

cos夕一sinecos6+sin6

cos6(cos0+sin一cos(cos6+sin6)

(cossin6?)(cos0+sin9)

cos2+cos0sin(cos2。-cosOsin。)

(cos0-sin，)(cos0+sin6)

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2cos0sin0

cos2sin2

sin26

cos2。

=tan20

(6)

因為0<a<7i,所以0<W<［,所以sin］〉。,

222

因此原式=加如4.

2

2.

(1)

.兀兀1.%1>/26

sin—cos—=—sin—=—x——=——

8824224

(2)

o.2兀1yj2

cos-——sin"—=cos—=——

8842

(3)

l-2sin2150=l-2xl(l-cos300)=cos300=^y

(4)

2tan!5°=tan30°=—

1-tan21503

(5)

(sin150-cos150)2=sin215°+cos2150-2sinl50cosl5°

=1-sin30°

=,4

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=-

2

(6)

2sin20°cos20°-2cos225°=sin40°-2xl(l+cos50°)

=sin400-cos500-l

=sin400-sin400-l

=-l

3.

(1)

,sina+cosa1

由----------=-,

sina-cosa2

等式左邊分子、分母同除cosa得，更竺二=《，解得tanau—3,

tana-12

mi32tana3

則tan2a=--------=—.

1-tan*-a4

(2)

2sin?35。-1_2sir35°-l_-cos70°1_

cos100-^3sin100~~T\二。6,二。1—2sin20°-

212—cos10---2-sin100J

4.(1)T=元：(2)k/r+—,k7r+,/cGZ；(2)詳見解析.

63

【詳解】

(1)/(x)=-1+2A/3sinxcosx+2cos2x,

=cos2x4-5/3sin2x,

=25①(2工+專)，

所以函數(shù)的周期為7=4="；

2

TTTT?乃

(2)令2女萬+—W2x+—W2Z乃+——eZ,

262

IT27r

解得kr+—《工(2萬+——、keZ,

63

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是kn+jk兀+”,k^Z.

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（3）由xw12~12列表如下:

c兀717t

2x+—-7t071

6~2

7471兀n57r

12312612

y0-2020

則函數(shù)〃x）的圖象如下:

【詳解】

(1)由f(x)=—sin2x-cos2x+—=sin2x-^°S=sin(2x--),

22226

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為T=g=兀.

c4]Ic兀「7T57c

(2)xE0,一時.2x--G—,—,

L2」6L

/兀1「1J

I6jL2J)

"(x)的值域為f.

正;(4)32.

6.(1)-46；(2)收；(3)

3

【詳解】

(1)原式—石tanl2O-3_&sinl2°-3cos12°_石sinl2°-3cos12°

八2cos24°sin1202cos24°sin12°cosl20cos24°sin24°

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-4g—sin12°--cosl2°

^2V3sinl2o-6cosl2°_{22J

sin48°-sin48°

「4An48。一行

sin48°

cos400+sin50°|1+V3sin10°

(2)原式Icos10°

V2sin70°cos20°

cos10°cos400+sin50°(cos10。+6sin10。)

5/2sin70°cos20°cosl00

cos10°cos400+2sin50°(cos60°cos100+sin60°sin10°)

5/2sin70°cos20°cos10°

cos10°cos400+2sin50°cos50°_cosl0°cos400+sin100°

72sin70°cos20°cos10°—>/2sin70°cos20°cos10°

cos10。cos40。+sin80。_cos40。+1_2cos220。_6

41sin70°cos200cos10°&sin70°cos20°\[2cos20°cos20°

(3)原式也4sin2(r(l2sin220。)后―4sin202840。

2sin20。sin480。2sin20°sin480°

V3-4sin20°cos40°2sin(20°+40°)-4sin20°cos40°

2sin20°sin480°2sin20°sin480°

_2sin(40°-20°)_1_1_

-2sin20。sin480。-sin480。-sin120。一~,

(4)原式=(cos10°-73cos80°)(cosl0°+V3cos80°)]

cos*1280°cos210°cos20°

_4(cos60°cos100-sin60°sin10°)(cos60°cos100+sin60°sin100)1

cos280°cos210°cos20°

4cos500cos70°14sin40。sin20。

-cos280°cos210°cos20°-sin210°cos210cos20°

32sin220。cos20。_32

sin220°cos20°

7.

(1)

=gcosx+Tsinx=sin[x+7),?,?最大值為1,最小值為一1；

(2)

?/y=sinx-cosx=V2sin,???最大值為0,最4、值為一夜；

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(3)

y=sinx+gcosx=2sin(x+]).,.最大值為2,最小值為-2：

(4)

Qy=sin2x-百cos2x=2sin(2x-q),.?.最大值為2,最小值為-2.

8.B

【詳解】

2cos345x+2cos2x-2cos2—

/(x)=----------------------1

2cos2—

2

_2cos3x+2cos2x-(1+cosx)

l+cosx

_2cos2x(l+cosx)-(1+cosx)

1+COSX

=2cos2x-1

=cos2x

所以/(X)的最小正周期為軍=萬，

2

故選：B

9.(1)-+：；(2)

44

【詳解】

八、T.cos(15°-8o)-sinl5osin80cosl5°cos8°/“。

(1)原15式=-----------------------=-----------=cos115C0O=cos(60°-45°)=

cos8°cos8°

cos60°cos450+sin60°sin45°=

4

(2)因為d/均為銳角，cosa=2,cos/=?,

510

所以sinesin/7=3\/iU,由sinavsin/?

510

(7t

根據(jù)函數(shù)丁=$抽”在[0,《J上為增函數(shù)，所以力＞〃

y

所以cos(a-0)=cosacos力+sin2sin0-x+x3.

5105102

TTTT

又a，￡均為銳角，則-]＜a-夕＜0,所以a—夕=一￡

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10.

(1)

左邊二2sin(兀+&)cos(7i—6z)=2(-sina)(-cosa)=2sinacosa=sin2a=右邊，原式成立.

(2)

左邊=sin2x+cos2x+2sinxcosx=14-sin2x=右邊，原式成立.

(3)

左邊=1+2COS26-(2COS2。-1)=2=右邊，原式成立.

(4)

l-(l-2sin2a)2sin2a

左邊=2sina=右邊,原式成立.

sinasina

(5)

l-(l-2sin2A)普=3入右邊，原式成立.

左邊

1+2COS2A-1

(6)

左邊

=\/cos240+sin240-2sin40cos40°=|cos400-sin40|=cos40-sin40=右邊，原式成立.

5

11.(1)--；(2)

1212

【詳解】

12

sinasin/?=—^[cos(a+,)-cos(a-/?)]=-^x5

1412

(2)原式

sin40°+2sin40°cos40°_sin40°+sin80°_sin(60°-20°)+sin(60°+20°)2sin60ocos20°

A/3.

2--=tan60°=

cos40°+(2cos40°-l)cos400+cos800cos(60°-20°)+cos(60°+20°)2cos600cos20°

12.(I)—；(II)16.

5

&力zx?sinO+cos?_uL”lan0+l_左”口八.

解：(It)由一------=2,所以-------=2,解得tan9=3,

sin夕一cos夕tan6/-1

所以(l+"sin。=(sin。+cos行sin。=+sin%os。

sin0+cos0sin0+cos0

sin2e+sinOcos。_tan?6+tan，_32+3

sin2<9+cos26tan26^4-132+1

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6

5

—Tan12。

口)(2cos*21*2°-l)sin60cos6°

&sin12°V3cos120-sin12°

=cos12。=cos12。

cos240-sinl2°cos24°-sinl2°

22

(Ai、

4—cosl20--sinl2°,、

(22J_8sin(60°-12°)

cos24°-sin12°-cos12°cos24°?sin24°

二8sin48。

』sin48°

2

=16

13.(1)巫；⑵.

10125

解：(1)ae(0,^),cose==a,sina

.?.sinf?-^=sin?cos^-cosasin^^x11x1=Vi0

I4J44后夜石夜10

(2)sina=~~>s>n(a+=|

Qe(71,cos(a+y?)=_g

：.a-