超洋數(shù)學(xué)6套-2023年新高考超洋押題卷6之01解析版

超洋2023年新高考超洋押題卷6之01數(shù)學(xué)解析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．已知集合，，則中的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題設(shè)，所以，故其中元素共有4個.故選：B2．已知，為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則.故選：C.3．某班級有50名學(xué)生，期末考試數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已，則的學(xué)生人數(shù)為（

）A．5 B．10 C．20 D．30【答案】D【詳解】因?yàn)槠谀┛荚嚁?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，所以期末考試數(shù)學(xué)成績關(guān)于對稱，則，所以，所以的學(xué)生人數(shù)為：人.故選：D.4．已知直四棱柱的底面為正方形，，為的中點(diǎn)，則過點(diǎn)，和的平面截直四棱柱所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則過點(diǎn)，和的平面截直四棱柱所得截面即四邊形．易得，所以四邊形為菱形，連接，則，又，，所以截面面積為，故選：D．5．已知函數(shù)，若使得的圖象在點(diǎn)處的切線與軸平行，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】，因?yàn)槭沟玫膱D象在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以函數(shù)在上存在最值，即函數(shù)在上存在對稱軸，令，得，因?yàn)椋?，即，則，又，故時，取最小值為，故選：A6．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：上頂點(diǎn)A與右頂點(diǎn)C連線與過下頂點(diǎn)B和右焦點(diǎn)F的直線交于點(diǎn)P，若為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意可得：，可得：，由圖可得：∠APB即為的補(bǔ)角，若∠APB為鈍角，即為銳角，由圖可知，故原題意等價(jià)于，整理得，且，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.7．已知，若是方程的一個解，則可能存在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，所以，因?yàn)槭欠匠痰囊粋€解，所以是方程的解，令，則，當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，所以.故選：C.8．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知分別是三個內(nèi)角的對邊，且，，若點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】,即,又,,即,,又.由三角形內(nèi)角和性質(zhì)知：△ABC內(nèi)角均小于120°，結(jié)合題設(shè)易知：P點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部，再由余弦定理知,,,,.由等號左右兩邊同時乘以可得：，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．2022年6月，某學(xué)校為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”下水試航，增強(qiáng)學(xué)生的國防意識，組織了一次“逐夢深藍(lán)，山河榮耀”國防知識競賽，對100名學(xué)生的參賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，為進(jìn)一步了解學(xué)生的答題情況，通過分層抽樣，從成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中先后抽取2人的成績作分析，下列結(jié)論正確的是（

）A．頻率分布直方圖中的B．估計(jì)100名學(xué)生成績的中位數(shù)是85C．估計(jì)100名學(xué)生成績的80%分位數(shù)是95D．從6人中先后抽取2人作分析時，若先抽取的學(xué)生成績位于，則后抽取的學(xué)生成績在的概率是【答案】AC【詳解】對于A：根據(jù)學(xué)生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1，可得，解得，故A正確；對于B：全校學(xué)生成績的中位數(shù)為，故中位數(shù)位于之間，故中位數(shù)為，故B錯誤，對于C：全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為分，故C正確．對于D：在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間，和的學(xué)生人數(shù)之比為，故抽取了2人，中抽取了4人，先抽取的學(xué)生成績位于，則第二次抽取時，是在5個人中抽取，而此時學(xué)生成績在的個數(shù)有4個，故概率為，故D不正確，故選：AC10．已知為定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式可以為（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以是奇函數(shù).對于A，定義域?yàn)?，所以不滿足題意；對于B，定義域?yàn)?，，符合題意；對于C，定義域?yàn)?，，不符合題意；對于D，定義域?yàn)?，，而，符合題意.故選：BD.11．如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則（

）A．當(dāng)時，EP//平面 B．當(dāng)時，取得最小值，其值為C．的最小值為 D．當(dāng)平面CEP時，【答案】BC【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點(diǎn)，對于A，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯誤；對于B，，則，因此當(dāng)時，取得最小值，B正確；對于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)镋為邊AD的中點(diǎn)，則，當(dāng)平面CEP時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯誤.故選：BC12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)列P在圓上，若對于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（

）A．為公差為2的等差數(shù)列 B．為公比為2的等比數(shù)列C． D．前n項(xiàng)和【答案】CD【詳解】對AB，由點(diǎn)列P在圓上，則由參數(shù)方程得，則，∴.對于，存在數(shù)列，，使得，即①，②，①②兩式相除得，令，則，則為以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.則，AB錯；對C，，C對；對D，，，兩式相減得，.∴，D對.故選：CD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分,其中第16題第一空2分，第二空3分．13．已知向量，的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量為__________.用表示【答案】【詳解】∵夾角為，，∴，∴所以向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：.14．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為__________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以；所以，所以，曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.15．冰雹猜想是指：一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以再加，如果是偶數(shù)就析出偶數(shù)因數(shù)，這樣經(jīng)過若干次，最終回到．問題提出八十多年來，許多專業(yè)數(shù)學(xué)家前仆后繼，依然無法解決這個問題，已知正整數(shù)列滿足，若存在首項(xiàng)，使得，已知，則___________.（寫出一個滿足條件的值即可）【答案】或（只填寫一個即可）【詳解】，，所以若是偶數(shù)，則，若是奇數(shù)，則，與已知矛盾，故；所以若是偶數(shù)，則，若是奇數(shù)，則，與已知矛盾，故；所以若是偶數(shù)，則，若是奇數(shù)，則，與已知矛盾，故；所以若是偶數(shù)，則，若是奇數(shù)，則，與已知矛盾，故；所以若是偶數(shù)，則，若是奇數(shù)，則，故或；余下推導(dǎo)用圖表示可得：故答案為：或（只填寫一個即可）16．某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn).若，則___________；若，則的值為___________.【答案】/5.75【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設(shè)，則，由于，不妨假設(shè)，由余弦定理知，設(shè)AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以,故答案為：；四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．為加快推動旅游業(yè)復(fù)蘇，進(jìn)一步增強(qiáng)居民旅游消費(fèi)意愿，山東省人民政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日在全省實(shí)施景區(qū)門票減免，全省國有A級旅游景區(qū)免首道門票，鼓勵非國有A級旅游景區(qū)首道門票至少半價(jià)優(yōu)惠．本次門票優(yōu)惠幾乎涵蓋了全省所有知名的重點(diǎn)景區(qū)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，活動開展以來游客至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)占比約為90%．某市旅游局從游客中隨機(jī)抽取100人（其中年齡在50周歲及以下的有60人）了解他們對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以上）分類統(tǒng)計(jì)得到如下不完整的列聯(lián)表：不滿意滿意總計(jì)50周歲及以下5550周歲以上15總計(jì)100(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成以上列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)？(2)現(xiàn)從本市游客中隨機(jī)抽取3人了解他們的出游情況，設(shè)其中至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)為，若以本次活動中至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)的頻率為概率．①求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②求．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)補(bǔ)全的列聯(lián)表見解析；有關(guān)；(2)①分布列見解析；；②【詳解】（1）由題意，抽取的100人年齡在50周歲及以下的有60人，則年齡在50周歲以上的有40人，補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：不滿意滿意總計(jì)50周歲及以下5556050周歲以上152540總計(jì)2080100則.所以在犯錯誤的概率不超過0.001的情況下認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián).（2）①由題意可得，游客至少去過兩個及以上景區(qū)的概率為0.9，則，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列如下：0123因?yàn)?，所以?shù)學(xué)期望.②.18．從下列條件中選擇一個條件補(bǔ)充到題目中：①，其中為的面積，②，③．在中，角，，對應(yīng)邊分別為，，，_______________．(1)求角；(2)若為邊的中點(diǎn)，，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選①，由余弦定理得：，又，所以，得，因?yàn)椋裕x②，因?yàn)?，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以．選③，因?yàn)?，由正弦定理得：，即，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．?）在中，設(shè)，由正弦定理得，所以，，∴，其中，當(dāng)時取等號，所以的最大值是．19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，則有：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，則，兩式相減得，即；注意到，故，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時；綜上所述：.20．如圖1，在四邊形ABCD中，，，AE=BE=2CD=2，.將四邊形AECD沿AE折起，使得，得到如圖2所示的幾何體.(1)若G為AB的中點(diǎn)，證明：平面ABE；(2)若F為BE上一動點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取BE的中點(diǎn)O，連接OC，OG，則，，因?yàn)?，，故且CD=OG，所以四邊形CDGO為平行四邊形，則.因?yàn)椋?，，面BCE，所以平面BCE，面BCE，所以.因?yàn)锽C=CE，所以.因?yàn)?，面ABE，所以平面ABE，所以平面ABE.（2）如圖，過點(diǎn)E作直線，則直線面ABE，面ABE，又，所以直線l，EA，EB兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，.設(shè)面ADF的一個法向量為，則，令，則.設(shè)面ABD的一個法向量為，則，令，則，所以，解得或8（舍去），故.21．如圖：小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時筆尖在平面上畫出了圓錐曲線C的一部分圖象.已知細(xì)繩長度為3，經(jīng)測量，當(dāng)筆尖運(yùn)動到點(diǎn)P處，此時，.設(shè)直尺邊沿所在直線為a，以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于a的垂線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的方程；(2)斜率為k的直線過點(diǎn)，且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，已知k的取值范圍為，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，使得成立.【詳解】（1）依題意，筆尖到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，因此筆尖留下的軌跡為以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，由，得，由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，解得，所以軌跡的方程為.（2）假設(shè)存在，使得，設(shè)，直線的方程為，由消去y得：，而，，，，由得，即，于是，令，，因此，又，即，解得或，所以存在，使得成立.22．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時，若在[上的最大值為，求；(2)已知是函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，且，若不等式恒成立，求正數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，其定義域?yàn)椋?，＋∞），且，所以，所以，令，