江蘇省泰州市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試高三數(shù)學(xué)試題答案

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試

高三數(shù)學(xué)試題

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1,已知集合/={00，8={2"力},若/仆8={1},則“+6=

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】/。6={1}，則"=1,/={0,1},8={2,1}，即8=1,.?.4—6=2，選B.

2.若1+i是實(shí)系數(shù)一元二次方程Y++q=0的一個根，則

A.p=2.q=2B.p=2,q=_2C.p=-2,q=2D.p=-2,q=-2

【答案】C

【解析】(1+i『+p(l+i)+夕=0,2i+p+pi+q=0,(2+p)i+/?+</=0,

2+/?=0[p=-2上

，選C.

p+q=0[q=2

2

3.若(x+y)'=q</6+《盯5+%》2,3+,貝！](/+/+a4+a6)-(?,+%+%產(chǎn)

的值為

A.0B.32C.64D.128

【答案】A

【解析】x=l,y=-1時，O=ao-al+a2-a3+a4-a5+a6

x-l,y=1時,64=%+a1+%+能+%+見+4

(旬+a2+a4+4)--(q+4+”5廠

-(a0--a,+a4-as+ab)(a0+q+”，+%+(+%+4)=()x64=(),選A.

4.在音樂理論中，若音M的頻率為〃7,音N的頻率為〃，則它們的音分差1200log?'.當(dāng)

9256

音4與音8的頻率比為1時，音分差為r,當(dāng)音。與音。的頻率比為系時，音分差為s,

則

A.2r+3s=600B.3r+2s=600

C.5r+2.s-=1200D.2r+5s=1200

【答案】C

9

【解析】r=1200log-=1200(log9-3)=2400log3-3600,

2822

5=1200log—=1200(8-5log,3)=9600-6000log3,5r+2.s=1200，選C.

224「2

5.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，直線/：x-2y+2=0與拋物線C:V=4x相交于4,6兩點(diǎn)，

則火?礪的值為

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

x-2v+2=0,

【解析】,'，消K可得『-8?+8=0,

尸=4x

8

令4%,必),仇工2，為)，yty2=，中2=??=4,

44

OA()B=x]x2+y]y2=12，選C.

■TT———

6.在平面直角坐標(biāo)系?中，已知點(diǎn)”(6,8),將CM繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)工后得。4',則H

4

的縱坐標(biāo)為

A.V2B.V3C.2D.y/5

【答案】A

43

【解析】設(shè)Z(6,8)是a角終邊上一點(diǎn)，則sine,cosa=—,

刀繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)5后得罰,則匕=10-sin1a-(卜立，選A.

7.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+e)(e>O,O<e<i),若/gj=O,/(1)=1,y(x)的最

小正周期廠>2萬,則8的值為

7U7T25

A.—B.—C.—71D.—7T

6336

【答案】D

【解析】/[?)=(),/(1)=一1,則萬一?=+,

3

2乃2

T=—>2]，，笈=0,即T=31=—,co=—,

1,A.co3

42

/(x)=sin[,x+e],/(乃)=sin]：;r+ej=-l,夕=*乃，選D.

8.若實(shí)數(shù)出仇°滿足6"=12"=3,3b-ab=5a-ab,則a,仇c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.b>oaC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】方法一：6"=3,.-.a=log63,12"<=3,.\ac=logl23,c==log126,

1叫3

,1-1

,:.6'-a=5h,

-1=log,6-=(1-a)logs6=log/log.,6=log,2

,-.-=log10,.-.6=log5,

bs10

i6iiih1210ln2

.?--logbrl-log62.1--"=bg/=I咻2=1一同,

12In2111

c=log萬=1一*2=1----<------<-----

hiT2In6In10lnl2

:.a<b<c，選D.

方法二：由6"=12"c=3=>?=log3,c==log］，6

61O§63

而logiQ,l-a=log62,l-c=log122,l-6=log］02,

log62>logl02>log122=>l-i7>l-/?>l-c,:.a<b<c，選D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知一組數(shù)據(jù)為:4,1,2,5,5,3,3,2,3,2,則

Q

A.標(biāo)準(zhǔn)差為《B.眾數(shù)為2和3

7

C.70分位數(shù)為5D.平均數(shù)為3

【答案】BCD

【解析】x=3,DM52=—(4+lx3+0x3+lxl+4x2)=-,方差為§,A錯.

1055

眾數(shù)為2和3,B對.

7

10x70%=7,按大小順序排為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,第7,8位數(shù)的平均數(shù)為］,C對.

10.用一個平面截正方體，則截面的形狀不可能是

A.銳角三角形B.直角梯形C.正五邊形D.邊長不相等的六邊形

【答案】BC

【解析】如圖(1)截面為銳角三角形，A不選.

當(dāng)截面為四邊形時可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形，B選.

當(dāng)截面為五邊形時，不可能出現(xiàn)正五邊形，C選.

如圖(2)可以是邊長不全相等的六邊形，D不選，選BC.

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(xhU—Y+at+i,則

A.存在位于的實(shí)數(shù)a,使函數(shù)/(x)的圖象是軸對稱圖形

B.存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)/(x)為單調(diào)函數(shù)

c.對任意實(shí)數(shù)。,函數(shù)/(x)都存在最小值

D.對任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/(x)都存在兩條過原點(diǎn)的切線

【答案】ACD

對于A,可利用一個結(jié)論.

若/(.r)=/+av'+fer2+ex+d為軸對稱圖形，

則de=-力)且關(guān)于X=-L對^f-r+av+l為軸期暄形,

84

：,a=0fA正確

對于B,f'(x)=4,v-2.r+a，當(dāng)x->-?時，/'(x)->-<?,x->+8時，/'(x)-?+?,

對VwR至少有一個變號零點(diǎn)，.,J(x)不可能為單調(diào)函數(shù)，B錯.

對于C,當(dāng)KT-X以及KT+X時，〃K)均T+00,由/(K)在R上連續(xù)，

..中間/(、)必存在最小值，c正確.

對于D,設(shè)切點(diǎn)P(.%,x：-4+5+1),f'(x)=4x'-2x+a,k=4x()-2x0+(/,

/(x)在P處切線方程為,v=(4x(,-2.%+a心-.%)+x：-x；+av0+1

?它過原點(diǎn)，,-4x：+2x；-a%+xj-.t"+av0+1=0

/.3x：-x；-1=0有兩解，存在兩條切線，二D正確.

選：ACD.

12.過圓。:/+/=8內(nèi)一點(diǎn)p(1,6)作兩條互相垂直的弦」反8,得到四邊形，

則

A.?8|的最小值為4B.當(dāng)?8|=26時，|CD|=2V7

c.四邊形.408(.面積的最大值為16D.ACBD為定值

【答案】ABD

【解析】方法一：當(dāng)P為,48中點(diǎn)時最小，OP=2,|/同而=2jn=4,A對.

。到,48,CD的距離分別為4,出,/5=278-4=2非，:&=陋,

"：+片=14,.?.4=1,CD=2y^\=2幣,B對.

5叱=/。=?而不2尸

=2,64-8（常+/）+4%；=2加4-32+d討

=2*2+d；d；<2J32+4=12,C錯.

就?麗=（萬+斤）（即+麗）=布麗+衲麗+京.麗+京?麗

^PAPB+PCPD.

分別取/&C。的中點(diǎn)M,N,

ACBD=-（MA-+PM}-（NC-PN）（ND+PN）

=PM2-MA2+PN2-NC2=d]+d\-（8-""-（8-d\）

=2（d；+4）—16=—8為定值，D對，選ABD.

方法二：當(dāng)OP，時，|/目最小，此時|/可““,=2>/8^4=4,A正確.

過。分別作于點(diǎn)E，OFLCD于點(diǎn)F,

設(shè)OE=x,OF=y,/.x~+y~,

當(dāng)|,4回=2石時，x=y/3,此時y=l,|CO|=2j7,B正確.

對于C,SmADBC=^\AB\\CD\=1.2VT7.2而了

二27（8-X2）（8-/）<2-16-（；5=12,C錯.

對于D,ACBD=(PC-PA)(PD-PB)=PC-PD+PA^PB

=FP--DF2+PE2-BE2=x2-(8-y2)+y2-(8-x2)

=2(x2+/)-16=-8為定值，D正確，選ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.若橢圓心的焦點(diǎn)在y軸上，且與橢圓q:1+三=1的離心率相同，則橢圓G的一個標(biāo)

-42-

準(zhǔn)方程為.

2

【答案】J+X?=l

2

222

【解析】橢圓6：二+二=1的離心率為e=*，橢圓C,可?。憾?/=1.

4222

14.某公司決定從甲、乙兩名員工中選一人去完成一項(xiàng)任務(wù)，兩人被選中的概率都是0.5.據(jù)以

往經(jīng)驗(yàn)，若選員工甲，按時完成任務(wù)的概率為0.8;若選員工乙，按時完成任務(wù)的概率為0.9.

則選派一名員工，任務(wù)被按時完成的概率為.

【答案】0.85

【解析】P=0.5x0.8+0.5x0.9=0.85.

15.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S,=1052,則3的值為.

【答案】91

【解析】方法一：等比數(shù)列｛4｝中，邑,54-52，邑-5,成等比數(shù)列，邑,9邑,811成等比數(shù)

列，；.S6=8§,:.Sh=9\S2,.'.^=91.

*

方法二：設(shè)｛%｝公比為4,5支出=10烏0二￡2=4=3,

\-q\-q

q(")

.2=j,=E=9L

S【q(lf)1-32

i-q

16.一名學(xué)生參加學(xué)校社團(tuán)活動，利用3D技術(shù)打印一個幾何模型.該模型由一個幾何體M及

其外接球O組成，幾何體M由一個內(nèi)角都是120°的六邊形ABCDEF繞邊BC旋轉(zhuǎn)一周得到

且滿足.43=Zb=DC=DE,BC=EF，則球O與幾何體M的體積之比為.

5677

【答案】

81

2/[、2a

【解析】方法一：設(shè)48=1,BC=a,—+3=-+-+-=OA2,.■々=4

4l22)4

.nr臼v47r328近

：.OF=yl/,V.=——r=----TC,

33

If3,311°c1311,54727乃

K,=——兀+3兀+一兀X—X2-2x—X—7FX-F31?4=---=---

23U2)234242

方法二：設(shè)AB=AF=DC=DE=2a,BC=EF=2b,

月民力歹旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為Y圓臺挖去T圓錐，

V,..=[[乃尸+n-(2y/ia)2+4兀?3a??兀?T2a2]-ay/3a)2-a

33

=-7ra}=6兀

匕田劃杵=7r(2y/3a)1?2b=241a2b,/.匕何體=12不/+24尸a2b

???幾何體存在夕楔球，設(shè)8C中點(diǎn)為O一?.。為球心，由。1=8=/?

=(力+〃尸+3/J=62+12a2=>b=4a

L4L

??.*=2&J,R=2。一.?%=3小28〃2?20，

Vst-12/rcr+96^a=108萬〃',

.展。二56小

"y.8i

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)記△/8C的內(nèi)角48,C的對邊分別為4,6,C，已知理&+吧S=2cos8+1.

sinesinZ

(1)求證:b~=ac；

Ll,

(2)若「-,求cosB的值.

a~+c5

【解析】

,,,sin/sinC_.ac_a2+c2-b2,

(1),/------+-------=2cos8D+l,=2---------------+1,

sinCsin/calac

a2+c2=a2+c2-b2+ac=>b2=ac.

a2+c2-b2a2+c2-aca2+c21

(2)cos5二

lac2ac2ac2

lr2ac21513

由.、—-=>—-------..cos5n=----------

a2+c25a'+c52224

,八、2fl+1211?

18.(12分)已知數(shù)列｛a,J滿足-----=-----------,—?------=—,a,>0.

限?2a\a2?3

(1)求證：數(shù)列,是等差數(shù)列；

.an.

(2)求數(shù)列儲,4川｝的前〃項(xiàng)和5,.

【解析】

2”,,+111

3)嚕=

。用a《,見In7

31q=l

±2+1

°J2211

令〃=1,2=><;，結(jié)合二+,一＜解得，

fUi=-

3._1]q%%-3

=-2+——

1

，工6+3J」=2,

4+1%an

—成首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(I)知,=1+2(〃-1)=2〃-1n?！?—!—

a“2nT

I111

2/7-12〃+12\2/7-12/74-1

11、1n

=H1-

3352/z-l2n+\J2、2/7+1~2/7+1

19.(12分)甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行球類運(yùn)動比賽，比賽共設(shè)足球、籃球、排球三個項(xiàng)目，每個

項(xiàng)目勝方得100分，負(fù)方得0分，沒有平局，三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，

已知甲校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為040.6,0.5,各項(xiàng)目比賽互不影響.

(1)求乙獲得冠軍的概率；

(2)用》表示甲校的總得分，求X的分布列與期望.

【解析】

(1)乙校獲得冠軍的情形分為乙在兩個項(xiàng)目中獲勝或三個項(xiàng)目均獲勝

P=0.6x0.4x0.5+0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4+0.6x0.4x0.5=0.5.

(2)X的所有可能取值為0,100,200,300

/>(y=0)=0.6x0.4x0.5=0.12,

尸(X=1()0)=0,4X0,4X0.5+0.6X0,6X0.5+0.5x0.6x0,4=0.38,

P(X=200)=0.4X0,6X0.5+0.4x0.5x0.4+0.6x0.5x0.6=0.38,

P(X=300)=0.4x0,6x0.5=0.12,

.?.X的分布列如下：

X0100200300

p0.120.380.380.12

X的期望4X)=38+76+36=150.

20.(12分)如圖，在三棱臺ABC-DEF中，已知平面ABED1平面BCFE,BALBC.

8c=3,BE=DE=DA=-AB=\.

2

(1)求證：期平面8CEE;

(2)求平面CO/與平面力火所成角的正弦值.

【解析】

(1)證明：在等腰梯形力8￡。中，過￡作EG1于點(diǎn)G,

BG^-，:.NBEG=30。且EG=也,AG^-,ZAEG=60°,

222

:.乙4EB=90°,AEVBE,

平面ABED1平面BCFE,平面ABEDA平面BCFE=BE,4Eu平面ABED,

AELBE,：.AELW^BCFE.

(2)?.?AELW^BCFE,/.AE1BC,又：BC1BA,?/AE[yBA=A

:.BCABED,???5Cu平面N8C，，平面/8C_L平面N8ED,

(■>.(\

如圖建系，則。(3,0,0),。0,不一,E0,-,^-,40,2,0)

2222

\7\

,而=(|,0,0

設(shè)平面CO"與平面,4EE的一個法向量分別為〃I=(網(wǎng),乂,馬),〃2=(x2,y2,z2)

,3V3_

-3x.H—y,H---z,=0

.<322=>4=(2,3,V3)

--y2+—z,=0

2''2=心(0,1,兩，

—x,=0

2

設(shè)平面CD尸與平面/E/所成角為。,

2=3,sin”也

/.|cos0|=“?巧

同可4.244

22

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X。，中，過點(diǎn)P(-2,0)的直線/與曲線C:：-2=1的左支

ab」

交于48兩點(diǎn)，直線。力與雙曲線C的右支交于點(diǎn)。.已知雙曲線。的離心率為0，當(dāng)直線/

與.v軸垂直時，忸。|=拒?卸.

(1)求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線8。與圓。:/+/=2相切.

【解析】

(1)當(dāng)/_Lx軸時,A(-2,y0),B(-2-y0),D(2,-y0)

此時,忸。|=4,卜5|=2聞,S\BD\=y[2\AB\=>4=272|y0|=>|y0|=72,

,/e—V2,=V2,c=y/2a,b—a,

a

?.7在雙曲線三一4=1上n=—-,=lna°=2,a=6,

a'b-a-a-

.?.雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：三-三=1.

22

,2

(2)方法一：??,4。關(guān)于原點(diǎn)對稱，二LF=1

設(shè)48方程：X=my-2,4(演,乂).8(%,％),kBD=

x=mv—2

?,=>(m~—1)v2—4my+2=0,A=8/n~+8

x2-y2=2

8。方程：y=m（x-x,）+y2,。到3。距離d=也胃崗,不妨設(shè)為＜。，

yjm2+1

-m（my2-2）||（1—/n~）j/2+2/??|

J〃廣+1\m~+1

_4m+\/Sm2+82m+,2〃廣+2

而％=---3-------=-------；--------

2（〃/一1）nr-1

.?.d=0=/?，.?.8。與。。相切.

方法二：設(shè)直線48的方程為x=〃9一2,方蒼,必）,例生為），。（一4一乂），

x=my-2八,Ic,c

<-1）廣一4〃9+2=0,△=16〃廠一8（〃廣-1）=8〃7~+8

廠—=2?

,y+y.工口二y1+y>/、乂+歹，X|JS-x）凹

kpD=…7,，臺。方程為y~」（x—，）+%=」~」x+」^——

X2+X]X]+X2~X]+x2x}+x2

4〃7

而止匕=一5—=—廣」—=也」〃,

X1+X2my{-l+my2-l64/〃<4

nr-I

（〃*—）乂一。叫一）凹

而任二支L22

一+》2tnyx-2+my2-2

20J〃/+1

2-

1+nr4亞/〃/+1

2（必一外）=y/ly/nr+1

〃?（乂+先）一4Am.-4/7/2-4（1一〃?2）

m?門-4

.?.o到直，線8Q的距離d=吟"〃一+1，

71+?r

.?.髏8。圓0:*2+/=2相切.

22.(12分)已知函數(shù)/"(x)=e-Lx3(。為非零常數(shù))，記，M(X)=/；；(x)(n€N),

6

X)(x)=/(x).

(1)當(dāng)x>0時，/(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的最大值;

(2)當(dāng)。=1時，設(shè)g”(x)=￡〃x)，對任意的〃23,當(dāng)x=f“時，y=g,,(x)取得最小值，

i=2

證明：8,&,)〉0且所有點(diǎn)區(qū)苗,,(。))在一條定直線上；

(3)若函數(shù)工(x)J(x),/；(x)都存在極小值，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【解析】

1(、

(1)由/(x)20,x>0=>e'——ax'>0^>a<--

6\XJmin

企//,6ei,ev-x3-3x2-eveA(x-3)

令〃(x)=F,h(x)=6-------------=6----4-，

XXX

6232e32e3

在(0,3)上'；(3,+00)上/,h(x)min=h(3)=—=^―,

3

即"的最大值為《2e??