整式中的兩種規(guī)律探索問(wèn)題（含答案解析）人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)提分必刷

專題05整式中的兩種規(guī)律探索問(wèn)題類型一、數(shù)字類規(guī)律探索例.觀察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，據(jù)此規(guī)律，當(dāng)（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0時(shí)，代數(shù)式x2019﹣1的值為_(kāi)____．【答案】0或﹣2【詳解】解：根據(jù)題意得∶（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，……∴（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，∴x6﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣1，則x2019﹣1＝0或﹣2，故答案為：0或﹣2．【變式訓(xùn)練1】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為，－1的差倒數(shù)為，已知，是差倒數(shù)，是差倒數(shù)，是差倒數(shù)，以此類推……，的值是（）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】∵，是的差倒數(shù)，∴，∵是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，∴，∴，根據(jù)規(guī)律可得以，，為周期進(jìn)行循環(huán)，因?yàn)?021＝673×3…2，所以．故選B．【變式訓(xùn)練2】有2021個(gè)數(shù)排成一行，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間數(shù)等于前后兩數(shù)的和，如果第一個(gè)數(shù)是0，第二個(gè)數(shù)是1，那么前6個(gè)數(shù)的和是______，這2021個(gè)數(shù)的和是______．【答案】01【解析】由題意得：第3個(gè)數(shù)是，第4個(gè)數(shù)是，第5個(gè)數(shù)是，第6個(gè)數(shù)是，則前6個(gè)數(shù)的和是，第7個(gè)數(shù)是，第8個(gè)數(shù)是，歸納類推得：這2021個(gè)數(shù)是按循環(huán)往復(fù)的，，且前6個(gè)數(shù)的和是0，這2021個(gè)數(shù)的和與前5個(gè)數(shù)的和相等，即為，故答案為：0，1．【變式訓(xùn)練3】有一列數(shù)，…，那么第n個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：，，，，，……由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)數(shù)為．故答案為：【變式訓(xùn)練4】楊輝三角又稱賈憲三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖，觀察下面的楊輝三角：按照前面的規(guī)律，則的展開(kāi)式中從左起第三項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，=，∴的展開(kāi)式中從左起第三項(xiàng)為，故答案為：．類型二、圖形類規(guī)律探索例.如圖，兩條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)．【答案】

6

【詳解】解：如圖，兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，即；三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，即；四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，即，五條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)，即，……∴n條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)（n為正整數(shù)，且n≥2）．故答案為6；．【變式訓(xùn)練1】如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第_____個(gè)圖形共有45個(gè)小球．【答案】9【詳解】解：第1個(gè)圖中有1個(gè)小球，第2個(gè)圖中有3個(gè)小球，3=1+2，第3個(gè)圖中有6個(gè)小球，6=1+2+3，第4個(gè)圖中有10個(gè)小球，10=1+2+3+4，……照此規(guī)律，第n個(gè)圖形有1+2+3+4+…+n=n（1+n）個(gè)小球，∴n（1+n）=45，解得n=9或-10（舍去），故答案為：9．【變式訓(xùn)練2】為慶?！傲ひ弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺第n個(gè)“金魚(yú)”和第(n＋1)個(gè)“金魚(yú)”需用火柴棒的根數(shù)為130根，則n的值為_(kāi)_____．【答案】10【詳解】解：由題可知：第n個(gè)圖形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)個(gè)圖形有(6n+8)根火柴棒，∵擺第n個(gè)“金魚(yú)”和第(n＋1)個(gè)“金魚(yú)”需用火柴棒的根數(shù)為130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案為：10．【變式訓(xùn)練3】如圖是某廣場(chǎng)用地板鋪設(shè)的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚．從里向外的第1層包括6個(gè)正方形和6個(gè)正三角形，第2層包括6個(gè)正方形和18個(gè)正三角形，依此遞推，第10層中含有正三角形個(gè)數(shù)為_(kāi)__個(gè)，第層含有正三角形個(gè)數(shù)為_(kāi)__個(gè)．【答案】114【解析】根據(jù)題意分析可得：從里向外的第1層包括6個(gè)正三角形，第2層包括18個(gè)正三角形，此后，每層都比前一層多12個(gè)，依此遞推，第10層中含有正三角形個(gè)數(shù)是6+12×9=114個(gè)，則第n層中含有正三角形個(gè)數(shù)是6+12×（n-1）=個(gè)，故答案為：114，．【變式訓(xùn)練4】觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，用6064個(gè)五角星擺出的圖案應(yīng)該是第_______個(gè)圖形．【答案】2021【解析】觀察發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是：1+3＝4，第2個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是：1+3×2＝7，第3個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是：1+3×3＝10，第4個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是：1+3×4＝13，?第n個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是：1+3?n＝1+3n，∵，∴用6064個(gè)五角星擺出的圖案應(yīng)該是第2021個(gè)圖形，故答案為：2021．課后訓(xùn)練1．下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第1個(gè)圖有3張黑色正方形紙片，第2個(gè)圖有5張黑色正方形紙片，第3個(gè)圖有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去，若第n個(gè)圖中有201張黑色正方形紙片，則n的值為（）A．99 B．100 C．101 D．102【答案】B【詳解】解：觀察圖形知：第一個(gè)圖中有3=1+2×1個(gè)正方形，第二個(gè)圖中有5＝1＋2×2個(gè)正方形，第三個(gè)圖中有7＝1＋2×2個(gè)正方形，…故第n個(gè)圖中有1＋2×n＝2n+1=201（個(gè)）正方形，解得n=100故選B．2．如圖，將若干顆棋子按箭頭方向依次擺放，記第一顆棋子擺放的位置為第1列第1排，第二顆棋子擺放的位置為第2列第1排，第三顆棋子擺放的位置為第2列第2排……，按此規(guī)律擺放在第16列第8排的是第（

）顆棋子．A．85 B．86 C．87 D．88【答案】B【詳解】偶數(shù)列數(shù)與排數(shù)表：偶數(shù)列數(shù)排數(shù)22436485……n∴當(dāng)n=16時(shí)，排數(shù)為：，∴前16列共有棋子：（顆），∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故選B．3．將一正方形按如圖方式分成個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形，上、下各橫排三個(gè)，中間兩行各豎排若干個(gè)，則的值為（

）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，根據(jù)題意得，2a+2b=3a，整理得，a=2b，∴豎排的一行的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)為3a÷b=（3×2b）÷b=6，∴n=3×2+6×2=6+12=18．故選：C．4．幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方．圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則與的和是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【詳解】解：設(shè)如圖表所示：根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，整理得：x-y=-4+z，x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，∴x+y=3z-24=12故選：D．5．如圖，按此規(guī)律，第6行最后一個(gè)數(shù)字是_____，第_____行最后一個(gè)數(shù)是2020．【答案】16674【詳解】每一行的最后一個(gè)數(shù)字分別是1,4,7,10,……，第n行的最后一個(gè)數(shù)字為：，第6行最后一個(gè)數(shù)字為：；，解得：，故答案為：16,674．6．如圖，每個(gè)圖形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律．根據(jù)此規(guī)律，若圖形中，，則的值為_(kāi)_______．【答案】【詳解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，

∴右下圓圈內(nèi)的數(shù)=上方圓圈內(nèi)的數(shù)×（左下圓圈內(nèi)的數(shù)+1），∴M=m（n+1），∴M=11×(12+1)=143．

故答案為：143．7．為了求的值，可令，則，因此，所以按照以上推理計(jì)算出的值是______．【答案】【詳解】解：令，則，因此，則，得：，所以．故答案為：．8．今年“10.1”黃金周，適逢祖國(guó)70大慶，廣西柳州賽長(zhǎng)桌宴，民族風(fēng)情濃郁，吸引了大量游客如果長(zhǎng)桌宴按下圖方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），則拼接n（n為正整數(shù)）張桌子時(shí)，最多可就坐_____人．【答案】（6n+2）【詳解】解：根據(jù)圖示知，拼1張桌子，可以坐（2+6）人．拼2張桌子，可以坐[2+（6×2）]人．拼3張桌子，可以坐[2+（6×3）]人．…拼接n（n為正整數(shù)）張桌子，可以坐（6n+2）人．故答案是：（6n+2）．9．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2012年8月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個(gè)方框部分中4個(gè)位置上的數(shù)交又相乘，再相減，例如：，，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）請(qǐng)你再選擇兩個(gè)類似的部分試一試，看看是否符合這個(gè)規(guī)律；（2）換一個(gè)月的月歷試一下，是否有同樣的規(guī)律？（3）請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)以上的規(guī)律加以證明．【答案】（1），符合；（2）；（3）見(jiàn)解析【詳解】解：（1）由題意得：，符合；（2）；答：換一個(gè)月的月歷試一下還是同樣的規(guī)律；（3）設(shè)上邊第一個(gè)數(shù)為x，則其后的數(shù)為（x+1），第二行的兩個(gè)數(shù)分別為（x+7），（x+8），根據(jù)題意，得．10．（1）你知道下面每一個(gè)圖形中各有多少個(gè)小圓圈嗎？第5個(gè)圖形中應(yīng)該有多少個(gè)小圓圈？為什么？（2）完成下表：邊上的小圓圈數(shù)12345每個(gè)圖中小圓圈的總數(shù)（3）如果用n表示六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個(gè)六邊形中小圓圈的總數(shù)，那么m和n的關(guān)系是什么？【答案】（1）第1個(gè)圖形：1個(gè)；第2個(gè)圖形：7個(gè)；第3個(gè)圖形：19個(gè)；第4個(gè)圖形：37個(gè)；第5個(gè)圖形：61個(gè)，理由見(jiàn)解析；（2）1，7，19，37，61；（3）【詳解】（1）觀察每個(gè)圖形的特點(diǎn)，就可以算出第1個(gè)圖形的小圓圈有1個(gè)，第2個(gè)圖形的小圓圈有2+3+2=7個(gè)，第3個(gè)圖形的小圓圈有3+4+5+4+3=19個(gè)，第4個(gè)圖形的小圓圈有4+5+6+7+6+5+4=37個(gè)，由此可推知第5個(gè)圖形的小圓圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61個(gè)；（2）將（1）算出的結(jié)果填入下列表格，如下表所示，邊上的小圓圈數(shù)12345每個(gè)圖中小圓圈的總數(shù)17193761（3）結(jié)合（1）（2）可知，與之間的函數(shù)關(guān)系為：首尾相加得．11．對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)m，如果m的百位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和，m的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)m為“筋斗數(shù)”．例如：m＝5321，滿足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗數(shù)”．例如：m＝8523，滿足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗數(shù)”．(1)判斷9633和2642是不是“筋斗數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)若m是“筋斗數(shù)”，且m與13的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”m．【答案】(1)9633是“筋斗數(shù)”；2642不是“筋斗數(shù)”；理由見(jiàn)解析(2)m的值為9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗數(shù)”，2642不是“筋斗數(shù)”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗數(shù)”；∵6=4+2，，∴2642不是“筋斗數(shù)”；(2)設(shè)m的個(gè)位數(shù)為a，0≤a≤9，十位數(shù)為0＜b≤9，且a、b為整數(shù)∵是“筋斗數(shù)”，∴m的百位數(shù)為a+b，千位數(shù)為2b+a；∴m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+2000b+a∵與13的和能被11整除，∴1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，∵2b+a≤9且a、b為整數(shù)，∴b≤4.5∵1100a+110b能被11整除，∴2000b+a+13能被11整除，∴b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，∴a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10（舍去）或a+b=10，2b+a=14（舍去），∴的值為9909或2110或642212．看圖填空：如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，接著把面積為的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，再把面積為的長(zhǎng)方形等分成面積為的長(zhǎng)方