測量誤差及測量平差

關于測量誤差及測量平差第1頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三一、研究測量誤差的目的：

第一節(jié)測量誤差概述分析測量誤差產(chǎn)生原因、性質和積累的規(guī)律；正確處理觀測結果，求出最可靠值；評定測量結果的精度；通過研究誤差發(fā)生的規(guī)律，為選擇合理的測量方法提供理論依據(jù)。第2頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第一節(jié)測量誤差概述

二、誤差產(chǎn)生的原因（觀測條件）

儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗,等。外界影響氣象因素(溫度變化,風,大氣折光,等)

三、真誤差（觀測誤差、誤差）：

觀測值與真值之差稱為測量誤差

Δ=l-X觀測值真值第3頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

3.偶然誤差△3

在相同的觀測條件下對某量作一系列觀測，其誤差的出現(xiàn)，大小和符號都具有不確定性，但又服從于一定的統(tǒng)計規(guī)律性。也叫隨機誤差。

2.系統(tǒng)誤差△2

在相同的觀測條件下對某量作一系列觀測，其誤差的出現(xiàn)，大小、符號保持不變或按一定的規(guī)律變化，如經(jīng)緯儀豎盤指標差等。四.測量誤差的分類第一節(jié)測量誤差概述1.粗差△1

在相同觀測條件下作一系列的觀測，其絕對值超過限差的測量偏差。觀測時的儀器精度達不到要求、技術規(guī)格的設計和觀測程序不合理，以及觀測者粗心大意和儀器故障或技術上的疏忽等。第4頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三四.測量誤差處理第一節(jié)測量誤差概述1.粗差

大級量的觀測誤差

盡量避免出現(xiàn)，含有粗差的觀測值都不能使用各類測量規(guī)范可有效防止粗差出現(xiàn)。

第5頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

2系統(tǒng)誤差對系統(tǒng)誤差，通常采用適當?shù)挠^測方法或加改正數(shù)來消除或減弱其影響。

例如：在水準測量中采用前后視距相等來消除

視準軸不平行橫軸誤差、地球曲率差和大氣折光差；在水平角觀測中采用盤左盤右觀測來消除

視準軸誤差、橫軸誤差和照準部偏心差；在鋼尺量距時，加尺長改正來消除尺長誤差，

加溫度改正來消除溫度影響，

加高差改正來消除鋼尺傾斜的影響等。四.測量誤差處理第一節(jié)測量誤差概述第6頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3偶然誤差原因不固定、難以控制，既不可避免，又消除不了。但具有規(guī)律性如估讀誤差、照準誤差、不斷變化的溫度、風力等外界環(huán)境。

對偶然誤差，通常采用多次觀測來減少誤差、提高觀測成果的質量。四.測量誤差處理第一節(jié)測量誤差概述第7頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3.偶然誤差第一節(jié)測量誤差概述誤差區(qū)間為正值為負值個數(shù)頻率個數(shù)頻率0~0.2210.1300.650210.1300.6500.2~0.4190.1170.585190.1170.5850.4~0.6150.0930.465120.0740.3700.6~0.890.0560.280110.0680.3400.8~1.090.0560.28080.0490.2451.0~1.250.0310.15560.0370.1851.2~1.410.0060.03030.0180.0901.4~1.610.0060.03020.0120.0601.6以上000000∑800.495820.505第8頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3.偶然誤差第一節(jié)測量誤差概述第9頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三偶然誤差的特性1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；（有界性）2、絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多；（趨向性）3、絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等；（對稱性）4、當觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨于零。（抵償性）

第一節(jié)測量誤差概述第10頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3偶然誤差四.測量誤差處理第一節(jié)測量誤差概述正態(tài)分布曲線

-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24x=

y第11頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第二節(jié)衡量觀測值精度的標準精度：是指在對某一量值的多次觀測中，各個觀測值之間的離散程度。若觀測值非常集中，則精度高；若觀測值非常離散，則精度低。主要取決于偶然誤差測量中常用的評定精度標準有：中誤差相對誤差極限誤差第12頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例5-1

對某三角形內(nèi)角之和觀測了5次，與180°相比較其誤差分別為+4″、-2″、0″、-4″、+3″，求觀測值的中誤差。一.中誤差i=Li-X解：第13頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例5-2

對某三角形內(nèi)角和分別由兩組各作了10次等精度觀測，其真誤差如下，求其中誤差，并比較兩組的精度。第一組：-3″，-2″，2″，4″，-1″，0″，-4″，3″，2″，-3″；第二組：0″，1″，-7″，-2″，-1″，1″，8″，0″，3″，-1″。解：一.中誤差第14頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。一.中誤差計算結果表明m1＜m2,第一組觀測精度高于第二組觀測精度。不難看出，第一組誤差分布比較集中，而第二組誤差分布比較離散，表明第二組觀測結果不穩(wěn)定，精度比第一組低。中誤差的幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標

第15頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三一.中誤差中誤差的幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標

第16頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三二.相對誤差相對誤差是中誤差的絕對值與觀測值之比化成分子為1的分數(shù)式

T2<T1，所以200m測量精度較高例：用鋼尺分別丈量了100米及200米兩段距離，觀測值中誤差均為±0.01米，則相對誤差為

0.0110.011T1=——=——；T2=——=——

1001000020020000第17頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三二.相對誤差相對誤差越小，觀測結果越可靠經(jīng)緯儀測角時，不能用相對誤差來衡量測角精度。距離測量相對較差：反映往返測量的符合程度，相對較差越小，結果越可靠

第18頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三三.極限誤差(容許誤差)

通常取兩倍或三倍中誤差作為極限誤差，也稱容許誤差：限=2m偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：

大于一倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的可能性為32%大于兩倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的可能性為5%大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的可能性為0.3%

或限=3m

第19頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三●如果對某量進行直接觀測，則可由觀測值的真誤差來計算出中誤差，從而判斷觀測成果的質量?！竦趯嶋H測量中，有些未知量往往不是直接測量得到的，而是通過觀測其他一些相關的量后間接計算出來的?！窀鳘毩⒂^測值含有誤差時，則其函數(shù)必受其誤差的影響而相應地產(chǎn)生誤差。這種函數(shù)誤差的大小除了受到觀測值誤差大小的影響外，也取決于函數(shù)關系?！耜U述函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。

第三節(jié)誤差傳播定律

——觀測值函數(shù)的中誤差第20頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第三節(jié)誤差傳播定律

一.觀測值的函數(shù)例：高差平均距離實地距離三角邊和或差函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標增量一般函數(shù)……第21頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三設有函數(shù)：

Z=f（X1，X2，…Xn）

式中X1，X2，…Xn為獨立變量，

X1，X2，…Xn中誤差分別為m1，m2，…mn，Z的中誤差為：一、一般函數(shù)的中誤差

第22頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三一、一般函數(shù)的中誤差

泰勒級數(shù)展開第23頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三一、一般函數(shù)的中誤差

設每項獨立變量觀測了k次第24頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三一、一般函數(shù)的中誤差

函數(shù)中誤差：第25頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三Z=f（X1，X2，…Xn）

一、一般函數(shù)的中誤差

第26頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

二、求觀測值函數(shù)的中誤差基本步驟1按問題的要求，列出具體的函數(shù)關系式2對各觀測值求偏導數(shù)（或全微分）3寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差的關系式4計算相應函數(shù)值的中誤差。

第27頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

例5-3

有一長方形建筑物，測得其長為29.40米，寬為9.20米，測量中誤差相應為±0.02米和±0.01米。求該建筑物的面積及其中誤差。解：設長為x1,寬為x2，面積為S，則有

S=x1x2=29.40×9.20=270.48平方米該建筑物的面積為S=270.48±0.35平方米。

第28頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三三、幾種觀測值典型函數(shù)的中誤差1、和差函數(shù)的中誤差

設有和差函數(shù)：

按函數(shù)中誤差計算公式，得到當?shù)染扔^測時：

上式可寫成：Z=±x1±x2±···±xn第29頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三2、倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設有倍數(shù)函數(shù)：

按函數(shù)中誤差計算公式，得到mz=kmx三、幾種觀測值典型函數(shù)的中誤差Z=kx第30頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3、線性函數(shù)的中誤差

設有線性函數(shù)：

按函數(shù)中誤差計算公式，得到三、幾種觀測值典型函數(shù)的中誤差Z=k1x1+k2x2+···+knxn第31頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例1：量得某圓形建筑物得直徑D=34.50m,其中誤差,求建筑物得圓周長及其中誤差。四、中誤差計算解：圓周長第32頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三四、中誤差計算第33頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三四、中誤差計算例3：用長30m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差為5mm，求全長D及其中誤差。第34頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三四、中誤差計算化為弧度第35頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)

測量平差原理為了進行檢核及提高觀測成果的精度，常采用重復測量。重復測量會形成多余觀測，在觀測值結果之間產(chǎn)生矛盾，也就是說要產(chǎn)生閉合差。因此，必須對這些帶有偶然誤差的觀測成果進行數(shù)據(jù)處理。采用一定的估計原理處理各種測量數(shù)據(jù)求測量值和參數(shù)的最佳估值并進行精度估計的工作稱為測量平差。測量平差的基本原理為最小二乘法原理。

第36頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)

測量平差原理在相同條件下進行的觀測是等精度觀測，所得到的觀測值稱為等精度觀測值。不同觀測條件下所獲得的觀測值稱為不等精度觀測值。對一個未知量的直接觀測值進行平差，稱為直接觀測平差。等精度直接觀測平差，不等精度直接觀測平差。平差結果最接近真值，最或是值，最或是誤差

第37頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三一、算術平均值

在相同觀測條件下，對某一未知量進行n次觀測，其觀測值分別為l1、l2、……、ln，則算術平均值是該量的最可靠的值:

第四節(jié)等精度觀測的直接平差最或是誤差：第38頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三二、觀測值的中誤差v為觀測值的改正值（最或是誤差）按觀測值的改正值計算觀測值的中誤差的公式第四節(jié)等精度觀測的直接平差第39頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三三、算術平均值的中誤差：由于是等精度觀測，m1=m2=···=mn=m，m為觀測值的中誤差，由此得到計算算術平均值的中誤差（最或是值的這些中誤差）第四節(jié)等精度觀測的直接平差對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。第40頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例6距離誤差例5：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測值的中誤差m

；③算術平均值的中誤差M

；④算術平均值的相對中誤差：第41頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例6：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下，

68°25′30″、68°25′36″、68°25′24″、68°25′42″、68°25′18″，求算術平均值、觀測值的中誤差和算術平均值的中誤差。第四節(jié)等精度觀測的直接平差X=68°25′30″m=±9″mx=±4″第42頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三增加觀測次數(shù)可以提高算術平均值的精度增加到一定程度精度不再提高，應設法提高觀測值本身的精度第43頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三一、權的概念

權用于非等精度觀測中；權用于衡量觀測值的質量，觀測值的權表示該觀測值在這組觀測值中所占的比重。觀測值的精度越高，其權越大；精度越低，其權越小。權只有相對意義，只取正值。第五節(jié)不等精度觀測的直接平差第44頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三2.權的表示方法

一般取一次觀測、一測回、單位長度等的測量誤差作為單位權中誤差。權p=1的中誤差稱為“單位權中誤差”，通常用或表示，所以權也表示為：式中c為任意正數(shù)。

權用字母p表示，并定義權

p與中誤差的平方成反比：

第45頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三二.加權平均值1.加權平均值的計算：對某一未知量，以不等精度觀測得n個觀測值：其中誤差分別為：觀測值的權為：上式也稱為加權平均值或廣義算術平均值。

則該未知量的最或是值為：計算加權平均值的實用公式：即第46頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三二.加權平均值1.加權平均值中誤差的計算：

單位權中誤差：加權平均值中誤差：第47頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例7：對某水平角進行了三組觀測，各組分別觀測2，4，6測回計算該水平角的加權平均值。加權平均值的計算

組號測回數(shù)各組平均值L權

PLPL加權平均值：124020144282440201774283640