2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 隱形圓系列之最大張角 學(xué)案設(shè)計(jì)

2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)隱形圓系列之最大張角學(xué)案設(shè)計(jì)

沒(méi)有問(wèn)題的段落：隱形圓系列之最大張角問(wèn)題背景：1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢隽艘粋€(gè)十分有趣的問(wèn)題：在地球表面的什么位置，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？因此最大視角問(wèn)題又稱為“米勒問(wèn)題”。已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在何處時(shí)，∠ACB最大？米勒定理（最大張角）：已知點(diǎn)A、B是角MON的邊ON上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。此時(shí)有OC2=OB×OA（△OBC∽△OCA）解決它的理論依據(jù):1.同弧所對(duì)的圓周角相等；2.圓外角＜圓周角＜圓內(nèi)角（同弧所對(duì)）接下來(lái)我們給予證明：證明：設(shè)C'是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連接AC'，BC'，設(shè)BC'交圓于點(diǎn)H，則∠ACB=∠AHB,∠AHB＞∠AC'B∴∠ACB＞∠AC'B改寫后的文章：隱形圓系列之最大張角問(wèn)題背景：1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢隽艘粋€(gè)有趣的問(wèn)題：在地球表面的哪個(gè)位置，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？也就是說(shuō)，在哪里能夠獲得最大的視角？這個(gè)問(wèn)題也被稱為“米勒問(wèn)題”。問(wèn)題描述：已知點(diǎn)A、B是角MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)。求點(diǎn)C在何處時(shí)，∠ACB最大。米勒定理（最大張角）：已知點(diǎn)A、B是角MON的邊ON上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。此時(shí)有OC2=OB×OA（△OBC∽△OCA）。解決問(wèn)題的理論依據(jù)：1.同弧所對(duì)的圓周角相等；2.圓外角＜圓周角＜圓內(nèi)角（同弧所對(duì)）。證明：設(shè)C'是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連接AC'，BC'，設(shè)BC'交圓于點(diǎn)H，則∠ACB=∠AHB,∠AHB＞∠AC'B∴∠ACB＞∠AC'B。典型例題：如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1，0)，(5，0)，點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？若有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：這是一道張角最大問(wèn)題（米勒視角問(wèn)題）。根據(jù)米勒定理可知，要使∠APB最大，只需使△APB的外接圓與y軸相切，此時(shí)，∠APB最大。當(dāng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)∠APB最大。如何確定○E呢？我們知道確定圓的條件是：圓心和半徑。只要確定了圓的圓心和半徑，圓即確定。因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，所以圓心必須在線段AB的中垂線上。又知圓與y軸相切，圓心距y軸的半徑=OH長(zhǎng)。點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)A距圓心的距離=OH。以點(diǎn)A為圓心，OH長(zhǎng)為半徑畫弧交AB中垂線于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求的圓心。半徑即為EA。理由：連接EA，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H。易得：∠APB＝∠AEH，當(dāng)∠APB最大時(shí)，∠AEH最大。因?yàn)锳(1，0)，B(5，0)，所以AB=4，AH=2，sin∠AEH=AH/EA=2/EP。當(dāng)EA最小即EP最小時(shí)，sin∠AEH最大，∠AEH最大。因此，當(dāng)○E與y軸相切時(shí)，∠APB最大。當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，因?yàn)椤袳與y軸相切于點(diǎn)P，所以PE⊥OP。因?yàn)镋H⊥AB，OP⊥OH，所以∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°。因此，四邊形OPEH是矩形。解決，首先作圖，如圖4所示。由于要求∠AMB最大，所以點(diǎn)M應(yīng)該在弧AB上，即圓心角∠AOB最大的位置。根據(jù)圓心角定理可得∠AOB=120°，所以∠AMB=60°。由于角度已知，可以利用正弦定