空間向量與垂直關(guān)系

理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第三章考點(diǎn)一考點(diǎn)二3.2第二課時(shí)考點(diǎn)三第二課時(shí)空間向量與垂直關(guān)系直線的方向向量和平面的法向量可以確定直線和平面的位置．因此，可用向量方法解決線面垂直關(guān)系的判斷及證明．問題1：直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線與平面有什么關(guān)系？提示：垂直．問題2：若兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直嗎？提示：垂直．證明垂直關(guān)系的向量方法線線垂直線面垂直面面垂直證明兩直線的方向向量垂直證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量證明兩個(gè)平面的法向量垂直用向量法證明線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系，主要是找出直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系，因此求直線的方向向量及平面的法向量是解題關(guān)鍵．[例1]在棱漆長(zhǎng)為a的正征方體OA捧BC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別夾是AB，BC上的巷動(dòng)點(diǎn)撞，且AE＝BF，求傾證：A1F⊥C1E.[一點(diǎn)赴通]利用啦向量衫法證遭明線購(gòu)線垂土直往丘往轉(zhuǎn)患化為唱證明呢直線侍的方元向向遠(yuǎn)量垂鋪直，距即證臺(tái)明它晌們的表方向己向量嘉的數(shù)冬量積資為0.證明曲的關(guān)娘鍵是皆建立駱恰當(dāng)衣的空賀間直叔角坐婚標(biāo)系山，正襯確地進(jìn)表示圈出點(diǎn)拿的坐娘標(biāo)進(jìn)欺而求孝直線幣的方匯向向僻量．1．設(shè)芒直線l1的方井向向冊(cè)量為a＝(2任,1，－2)，直苗線l2的方無(wú)向向量為b＝(2爸,2，m)，若l1⊥l2，則m＝()A．1B．－2C．－3舍D．3解析嚇：l1⊥l2?a⊥b，∴2×證2＋1×牧2＋(－2)潔×m＝0，∴m＝3.答案匆：D2.正方極體AB聲CD－A1B1C1D1中，E為AC的中咸點(diǎn).證明攀：(1卸)BD1⊥AC；(2扮)BD1⊥EB1.[例2]如圖傳所示得，在肉正方隸體AB獨(dú)CD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別另是BB1，D1B1的中點(diǎn)涼．求證胖：EF⊥平遙面B1AC.[一點(diǎn)傭通]法一膽選基誘底，勒將相罷關(guān)向垮量用乒基底磁表示手出來影，然膝后利莊用向告量的儲(chǔ)計(jì)算能來證停明．事法二睡、法某三建芬立空演間直調(diào)角坐典標(biāo)系曲，利冠用坐貌標(biāo)將撫向量奇的運(yùn)您算轉(zhuǎn)據(jù)化為拌實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)吊算，狹以達(dá)驚到證魚明的棄目的瀉．3．已壁知直誰(shuí)線l與平勾面α垂直更，直兔線的忙一個(gè)茅方向叢向量槽為u＝(1育,3，z)，向插量v＝(3，－2,繁1)與平微面α平行補(bǔ)，則z＝__踏__懷__瘦__多.解析集：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴(1泊,3，z)·禮(3，－2,配1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.答案簡(jiǎn)：34.如圖姿所示琴，在哲正方銷體AB從CD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)涉，G為CC1的中送點(diǎn)，量求證禿：A1O⊥平施面GB戒D.同理旋可證再，A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，∴A1O⊥平勻面GB把D.法二竿：如圖濁，取D為坐仙標(biāo)原季點(diǎn)，DA，DC，DD1所在耀的直旬線分枯別為x軸，y軸、z軸建超立空穴間直迎角坐量標(biāo)系乖．設(shè)正魄方體眠棱長(zhǎng)描為2，則O(1其,1付,0鹿)，A1(2蝕,0輝,2撤)，G(0肌,2怠,1資)，B(2做,2私,0驚)，D(0廣,0強(qiáng),0碑)，[一點(diǎn)穩(wěn)通]證明商面面漏垂直刷通常燈有兩傾種方去法，憶一是演利用姜面面?zhèn)兇怪焙艿呐蟹€(wěn)定定控理轉(zhuǎn)繩化為新線面精垂直席、線語(yǔ)線垂隊(duì)直去差證明街；二臉是證稠明兩仙個(gè)平項(xiàng)面的四法向心量互客相垂譜直．5．在予正棱婦錐P－AB竹C中，王三條腫側(cè)棱侵兩兩拒互相波垂直瓜，G是△PA甚B的重煎心，E，F(xiàn)分別孫為BC，PB上的腥點(diǎn)，擇且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證躍：平寫面GE雀F⊥平介面PB桂C.證明籌：法蹲一：如圖燙，以狐三棱籌錐的木頂點(diǎn)P為原抖點(diǎn)，圖以PA，PB，PC所在傘直線音分別作暈為x軸，y軸，z軸建次立空攏間直很角坐淋標(biāo)系焰．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3啟,0叫,0繡)，B(0總,3鄙,0衰)，C(0幕,0萍,3腸)，E(0賽,2緒,1灘)，F(xiàn)(0，1,敘0)，G(1哈,1陣,0傍)，P(0散,0詞,0窯)，6．正代方體AB蛛CD－A1B1C1D1中，E、F分別烏是BB1、CD的中點(diǎn)，富求證途：平巖面AE亡D⊥平該面A1FD1.1．用敢向量縣法證務(wù)明線萄面垂爆直的墳方法脈與步吧驟2．利起用空映間向么量證雕明面將面垂民直，宜通常內(nèi)可以鏟有兩鍋個(gè)途鋸徑，咽一是仆利用輩兩個(gè)羽平面談垂直澤的判月定定非理將面面面枯垂直符問題腐轉(zhuǎn)化男為線殃面垂