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文檔簡介

第四章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題

一、平衡狀態(tài)、給定運動方程之原點考慮如下非線性系統(tǒng):式中x為n維狀態(tài)向量。在系統(tǒng)中,總存在:對所有t成立,則xe稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點。如果系統(tǒng)是線性定常的,當(dāng)A為非奇異矩陣時,系統(tǒng)存在一個唯一的平衡狀態(tài);當(dāng)A為奇異矩陣時,系統(tǒng)將存在無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng),可有一個或多個平衡狀態(tài)。任意一個的平衡狀態(tài)都可通過坐標(biāo)變換,統(tǒng)一化為擾動方程之坐標(biāo)原點。除非特別申明,我們將僅討論擾動方程關(guān)于原點處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題二、Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義系統(tǒng)

:之平衡狀態(tài)xe的鄰域為:存在鄰域:X0為初始狀態(tài),有如下成立:2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題X0為初始狀態(tài),有如下成立:(1)如果對應(yīng)于每一個,存在一個,使得當(dāng)t趨于無窮時,始于的軌跡不脫離,則式系統(tǒng)之平衡狀態(tài)稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。一般地,實數(shù)與有關(guān),通常也與t0有關(guān)。如果

與t0無關(guān),則此時平衡狀態(tài)稱為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。(2)如果平衡狀態(tài),在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的,并且始于域的任一條軌跡,當(dāng)時間t

趨于無窮時,都不脫離,且收斂于平衡點,則稱系統(tǒng)之平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的。(3)對所有的狀態(tài),如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性,則平衡狀態(tài)稱為大范圍漸近穩(wěn)定。顯然,大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。

(4)如果對于某個實數(shù)>0和任一個實數(shù)

>0,不管這兩個實數(shù)多么小,在內(nèi)總存在一個狀態(tài),使得始于這一狀態(tài)的軌跡最終會脫離開,那么平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定的。

2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題(a)穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡(b)漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡(c)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡(a)穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡(b)漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡(c)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題三、預(yù)備知識

1、純量函數(shù)的正定性

如果對所有在域中的非零狀態(tài)x≠0,有V(x)>0,且在x=0處有V(x)=0,則在域(域包含狀態(tài)空間的原點)內(nèi)的純量函數(shù)稱為正定函數(shù)。2、純量函數(shù)的負(fù)定性如果-V(x)是正定函數(shù),則純量函數(shù)V(x)稱為負(fù)定函數(shù)。3、純量函數(shù)的正半定形如果純量函數(shù)V(x)除了原點以及某些狀態(tài)等于零外,在域內(nèi)的所有狀態(tài)都是正定的,則稱為正半定純量函數(shù)。4、純量函數(shù)的負(fù)半定性如果-V(x)是正半定函數(shù),則純量函數(shù)稱為負(fù)半定函數(shù)。5、純量函數(shù)的不定性 如果在域內(nèi),不論域多么小,既可為正值,也可為負(fù)值時,純量函數(shù)稱為不定的純量函數(shù)。2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題三、預(yù)備知識

[例]

本例給出按照以上分類的幾種純量函數(shù)。假設(shè)x為二維向量。1、正定的2、正半定的3、負(fù)定的4、不定的2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題三、預(yù)備知識

5、二次型

建立在Lyapunov第二法基礎(chǔ)上的穩(wěn)定性分析中,有一類純量函數(shù)起著很重要的作用,即二次型函數(shù)。這里的x為實向量,P為正定實對稱矩陣。則V(x)是正定函數(shù)。2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題三、預(yù)備知識

5、二次型

二次型正定性可用賽爾維斯特準(zhǔn)則判斷。該準(zhǔn)則指出,二次型為正定的充要條件是矩陣P的所有主子行列式均為正值,即2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.1Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題[例5.2]

試證明下列二次型是正定的。因為矩陣P的所有主子行列式均為正值,所以是V(x)正定的。

2023/7/1第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4.擺2Ly未ap扒un作ov穩(wěn)定溝性理賞論一、Ly排ap醉un抗ov第一撞法(直纖接法葉)將系講統(tǒng)方鐮程在哲平衡泊點線夜性化仙得到亞系數(shù)計矩陣A,計廊算矩種陣的駝特征令值,乎若特放征值檔實部頓全都照小于暴零,賊系統(tǒng)普穩(wěn)定獨且為剩漸近車穩(wěn)定箏,否目則不熟穩(wěn)定猴。若志有等洲于零日,需梨要進(jìn)徹一步經(jīng)判斷B(x,t)。此賭方法哥需要禿取得妄系數(shù)浩矩陣A的特斗征值似,使扒用不貫多。20毯23幅/6覺/2粘6第二鼓章效控制施系統(tǒng)懲的狀細(xì)態(tài)空泳間描賞述4.跪2Ly店ap異un僚ov穩(wěn)定爹性理盲論二、Ly打ap聚un適ov第二集法(間殖接法言)由力兄學(xué)經(jīng)授典理旅論可規(guī)知,雖對于利一個五振動凈系統(tǒng)牙,當(dāng)扶系統(tǒng)爽總能捎量(賢正定摧函數(shù)想)連勾續(xù)減脊?。ò龠@意堪味著僻總能促量對銜時間和的導(dǎo)非數(shù)必伙然是建負(fù)定芹的)援,直準(zhǔn)到平甚衡狀憤態(tài)時狠為止宰,則開振則幣系統(tǒng)匠是穩(wěn)坑定的桐。Ly描ap牌un賺ov引出弦了一剩個虛響構(gòu)的辰能量咱函數(shù)合,稱拍為Ly題ap禾un狡ov函數(shù)樂。其棉對時錢間的騙導(dǎo)數(shù)沿的符輕號特飾征,鹽提供窗了判以斷平匆衡狀欲態(tài)處沈的穩(wěn)捧定性灶、漸賭近穩(wěn)席定性訊或不守穩(wěn)定說性的遼準(zhǔn)則貧,而艇不必粘直接甘求出摧方程使的解窮。20嫌23授/6散/2絞6第二肢章?lián)尶刂品料到y(tǒng)尤的狀呆態(tài)空秀間描天述4.右2Ly鞠ap且un鋪ov穩(wěn)定乒性理元論二、Ly肌ap我un提ov第二販法(間塌接法逆)定理5.蹈1考慮各如下千非線饑性系南統(tǒng)如果信存在煉一個文具有誼連續(xù)貪一階且偏導(dǎo)漿數(shù)的獨純量雅函數(shù)V(川x,梅t),且盯滿足雁以下魄條件耍:1、V(肚x,愉t)正定休;2、dV么(x猶,t肅)/奮dt負(fù)定則在隨原點奶處的仇平衡賽狀態(tài)址是(巾一致矮)漸蹈近穩(wěn)化定的勵。進(jìn)一扛步地云,若療,則綱在原屋點處饒的平駁衡狀阿態(tài)是嘆大范辛圍一暴致漸楚近穩(wěn)雁定的鹿。20鑄23斃/6靜/2凱6第二序章求控制到系統(tǒng)遲的狀蠶態(tài)空據(jù)間描蕉述4.斃2Ly礎(chǔ)ap眠un腹ov穩(wěn)定舌性理繡論二、Ly肯ap座un粥ov第二通法(間薪接法續(xù))[例5.化3]考慮納如下魚非線時性系能統(tǒng)顯然強原點逝是唯寧一的北平衡迎狀態(tài)歉。試嘆確定畫其穩(wěn)橡定性傭。如跡果定議義一然個正春定純考量函幻玉數(shù)v(醫(yī)x),而dv寨(x榆)/熟dt是負(fù)匙定的額,這廁說明管沿任狂一軌魚跡連害續(xù)地支減小欺,因盼此是澤一個Ly鞏ap獅un煎ov函數(shù)罩。由密于隨x偏離舊平衡牙狀態(tài)用趨于凡無窮檢而變勿為無彈窮,棍則按裕照定恒理5.籮1,該噴系統(tǒng)桂在原芒點處拿的平罩衡狀豬態(tài)是劃大范探圍漸拖近穩(wěn)冊定的璃。20睬23驢/6作/2只6第二型章挑控制壘系統(tǒng)吃的狀控態(tài)空答間描占述4.切2Ly鈴ap魂un喬ov穩(wěn)定肥性理垮論二、Ly毅ap慣un閑ov第二乓法(間騰接法恥)幾點槳說明期:(1錄)這里政僅給責(zé)出了撞充分舊條件奇,也襪就是盼說,占如果拋能構(gòu)皂造出兇了Ly兔ap匠un磨ov函數(shù)歇,那且么系細(xì)統(tǒng)是手漸近騾穩(wěn)定蔬的。淚但如德果找孝不到廣這樣秋的Ly棟ap錦un買ov函數(shù)剝,并脖不能償給出蜜任何盡結(jié)論死,例數(shù)如不甚能據(jù)雕此說盤該系乞統(tǒng)是公不穩(wěn)決定的強。(2芬)對于革漸近灣穩(wěn)定專的平泡衡狀蜻態(tài),誘則Ly么ap規(guī)un棉ov函數(shù)弄必存次在。(3捷)對于制非線綁性系才統(tǒng),名通過次構(gòu)造畏某個析具體表的Ly筆ap忙un牙ov函數(shù)僚,可栽以證勉明系益統(tǒng)在慶某個燥穩(wěn)定刷域內(nèi)慰是漸博近穩(wěn)興定的肯,但藏這并餓不意筑味著寨穩(wěn)定涂域外龍的運隨動是半不穩(wěn)允定的誼。對腰于線去性系悼統(tǒng),例如果薄存在地漸近巷穩(wěn)定冰的平暫衡狀嫁態(tài),虹則它喉必定址是大抗范圍舊漸近垃穩(wěn)定箱的。(4伯)這里控給出逗的穩(wěn)耕定性暢定理謀,既違適合蛛于線變性系馬統(tǒng)、默非線唐性系蜻統(tǒng),表也適呢合于掉定常羞系統(tǒng)怕、時嶄變系莖統(tǒng),餃具有迎極其它一般脆的普雕遍意紐奉義。20牲23晝/6葵/2描6第二飄章匹控制貓系統(tǒng)哲的狀風(fēng)態(tài)空副間描拴述4.王2Ly拉ap尸un毫ov穩(wěn)定罰性理投論二、Ly貧ap娛un旨o(jì)v第二冤法(間立接法國)定理5.殺2考慮錘如下鬧非線歐性系裕統(tǒng)如果訪存在孟一個教具有歷連續(xù)嗓一階愿偏導(dǎo)類數(shù)的榆純量征函數(shù)V(櫻x,種t),且排滿足寸以下螞條件焦:1、V(鑰x,親t)正定鐮;2、dV項(x恨,t雹)/該dt負(fù)半蓋定;3、對閱于任售意t0和任酷意x0,在t>胃t0時,dV屬[q經(jīng)(x0,t兔),匪t]欄/d稱t不恒衰等于父零,恢其中q(究x0,t懇),表示助在t0時從x0出發(fā)洋的軌流跡。錯則在車系統(tǒng)舍原點優(yōu)處的益平衡偏狀態(tài)混是大蛙范圍努漸近園穩(wěn)定膜的。20柴23耕/6砌/2蜜6第二港章射控制筍系統(tǒng)賭的狀納態(tài)空瀉間描乖述4.拉2Ly召ap刑un輸ov穩(wěn)定撫性理帶論二、Ly詞ap券un著ov第二龜法(間劣接法駝)[例5.裁4]考慮再如下羽非線舌性系泄統(tǒng)顯然鋪原點瓦是唯助一的掌平衡度狀態(tài)甜。試便確定末其穩(wěn)教定性諷。如屋果定叮義一蹈個正穗定純輸量函增數(shù)v(豪x),dv摟(x巡壽)/遠(yuǎn)dt是負(fù)腿半定伴的。若dv耗(x蓮)/銳dt腦≡0,則x2撒≡0,dx倆2/掃dt歇≡0,最號終x1首≡0,可熄見僅宴有原遮點符玻合要炸求,廊其他境點不駁可能競成立仿,所軌以系專統(tǒng)是膽大范桶圍漸皇近穩(wěn)奇定的帖。20牛23饅/6瓜/2頑6第二指章槍控制暗系統(tǒng)潛的狀約態(tài)空倚間描猜述4.號2Ly逆ap景un疑ov穩(wěn)定游性理撐論二、Ly盟ap攪un荒ov第二深法(間嬌接法同)定理5.璃3考慮豆如下齡非線律性系己統(tǒng)如果勵存在卡一個耽具有掘連續(xù)躁一階副偏導(dǎo)料數(shù)的攪純量腰函數(shù)V(魯x,末t),在攤平衡殲點xe的鄰芳域內(nèi)寄,且般滿足揪以下言條件導(dǎo):1、V(推x,駱t)正定任;2、dV念(x疑,t起)/碗dt正定稿;則在包系統(tǒng)雜平衡殖點xe的平臺衡狀薄態(tài)是叛不穩(wěn)勒定的壓。20嗎23安/6顛/2隊6第二康章芒控制混系統(tǒng)膊的狀帳態(tài)空膊間描善述4.諒2Ly乎ap槍un搭ov穩(wěn)定嫩性理康論二、Ly林ap數(shù)un腦ov第二知法(間架接法恢)[例5.葵5]考慮壘如下殲非線賓性系雕統(tǒng)顯然惕原點閘是唯爬一的算平衡維狀態(tài)雄。試督確定坑其穩(wěn)引定性沖。如釣果定瓦義一斥個正助定純照量函岸數(shù)v(壓x),dv能(x溝)/荒dt是正叫半定仍的。若dv宿(x矛)/緒dt班≡0,則x2搬≡0,dx嫌2/脹dt窯≡0,最鎖終x1效≡0,可寶見僅蕩有原登點符掃合要圓求,借其他承點不補可能婆成立芹,所型以系期統(tǒng)是英不穩(wěn)歪定的叉。20瀉23爆/6急/2燙6第二課章怎控制傷系統(tǒng)驗的狀謙態(tài)空擠間描浴述4.伶3線性叨定常像系統(tǒng)遲的Ly咬ap貓un霸ov穩(wěn)定超性分霸析利用Ly艷ap沒un限ov第二潤法對宵線性定常系統(tǒng)仗進(jìn)行注分析墨,有暴如下?lián)釒讉€茶特點沸:(1執(zhí))都是瞧充要它條件呈,而凈非僅框充分前條件擾;(2次)漸近科穩(wěn)定它性等棍價于Ly掙ap生un爭ov方程跨的存智在性甘;(3膀)漸近時穩(wěn)定維時,科必存繳在二蕉次型Ly察ap襖un驢ov函數(shù)計;(4箭)當(dāng)系亮統(tǒng)矩腔陣A非奇全異時廟,僅棗有唯紹一巾平衡懷點,改即原蜘點;(5富)漸近災(zāi)穩(wěn)定啄就是晶大范符圍漸胃近穩(wěn)抓定,福兩者融完全她等價原。20膠23胡/6攀/2劉6第二演章軍控制生系統(tǒng)基的狀烤態(tài)空具間描切述4.奏3線性鏟定常何系統(tǒng)枯的Ly漆ap既un活ov穩(wěn)定什性分玻析假設(shè)A為非求奇異定矩陣楊,則拋有唯鄉(xiāng)豐一的虹平衡乖狀態(tài)xe=含0,P為正定滋,則便:對于盞圖示亂系統(tǒng)乞,其鈴漸近刃穩(wěn)定弱的充奪分條呈件是Q正定碼。為圍了判挨斷nn維矩凳陣的偵正定旱性,濟(jì)可采再用賽樓爾維指斯特塵準(zhǔn)則苗,即微矩陣宰為正較定的適充要嘉條件需是矩胡陣的精所有悉主子占行列候式均變?yōu)檎椭?。譜在判稍別時牛,方片便的努方法傭,不演是先炎指定代一個痰正定靜矩陣P,然將后檢購查Q是否釣也是瀉正定膨的,連而是內(nèi)先指拔定一鳴個正集定的惹矩陣Q,然迷后檢早查由咱確定種的P是否疼也是錄正定辱的。藍(lán)這可般歸納華為如顧下定闊理。20愚23球/6暑/2督6第二位章歪控制藍(lán)系統(tǒng)牧的狀艷態(tài)空翅間描飽述4.衡3線性幼定常盟系統(tǒng)攔的Ly尸ap古un首o(hù)v穩(wěn)定憤性分主析幾點倦說明版:(1漢)如果虎系統(tǒng)牛只包劫含實向狀態(tài)峽向量x和實嬸系統(tǒng)拌矩陣A,則Ly械ap擾un缺ov函數(shù)腔為xTPx,且Ly齡ap噸un碧ov方程云為ATP+絮PA鄭=-亮Q(2饞)如果國沿任貓一條稅軌跡搜不恒夢等于漲零,夫則Q可取購正半霸定矩紡陣。(3幻玉)如果鹿取任隙意的端正定戚矩陣Q,或匙者如還果沿宰任一奸軌跡凡不恒它等于張零時閃取任吹意的址正半處定矩嘆陣Q,并緞求解杜矩陣厚方程ATP+跑PA再=-污Q以確液定P,則饞對于構(gòu)在平道衡點防處的舞漸近俘穩(wěn)定脂性,P為正低定是瀉充要備條件啦。(4容)只要沉選擇壟的矩眼陣Q為正臘定的啦(或賓根據(jù)解情況酷選為娛正半姨定的壩),躍則最晌終的漁判定區(qū)結(jié)果闖將與蘿矩陣Q的不獲同選秩擇無雅關(guān)。(5朗)在確求定是京否存擋在一奮個正斯定的民實對慢稱矩奴陣P時,在為方居便起毅見,祖通常飯取Q=齒I,這冠里I為單雕位矩疫陣。嚇從而ATP+織PA跟=-級I,P的各凍元素街可按趴下式膜確定然后臺再檢患驗P是否讀正定宇。20趕23鈴/6蔬/2欲6第二暗章味控制啞系統(tǒng)抄的狀朝態(tài)空庸間描湊述4.辮3線性送定常報系統(tǒng)斥的Ly杯ap姿un為ov穩(wěn)定針性分詳析[例]設(shè)二棄階線和性定樂常系增統(tǒng)的仗狀態(tài)咸方程頁為:顯然誘,平飾衡狀晨態(tài)是揉原點眉。試侵確定增該系贏統(tǒng)宴的促穩(wěn)定煎性。解:20刺23罵/6瞇/2魄6第二竭章鵝控制侄系統(tǒng)獸的狀膨態(tài)空貨間描坑述4.黨4基于Ly愚ap壇un亭ov第二蘋法的蝴控制巖系統(tǒng)秩最優(yōu)尤化Ly叨ap奧un孤ov函數(shù)抓和二鍬次型娘性能敬指標(biāo)窗之間崖的直戰(zhàn)接關(guān)珍系,巖可以油利用湖這種挽關(guān)系亮求解顛參數(shù)嫂最優(yōu)婦問題芽??几`慮如鼓下的殃線性的系統(tǒng):設(shè)系疼統(tǒng)在祝原點x=野0是漸黨近穩(wěn)厘定的升,假設(shè)袍矩陣A包括脅一個蹈(或彩幾個掌)可調(diào)調(diào)參數(shù)買。要俯求下撇列性蓋能指帆標(biāo):達(dá)到事極小要,式統(tǒng)中Q為正預(yù)定(拜或正銹半定癥)實淡對稱得矩陣摧。因俱而該醫(yī)問題暑變?yōu)檎x確定業(yè)幾個可裂調(diào)參流數(shù)值風(fēng),使零得性嫁能指倍標(biāo)達(dá)倚到極說小。嫩利用Ly舍ap邪un疑ov函數(shù)縮慧:根據(jù)Ly朝ap化un欲ov第二光法可族知,撫如果危系統(tǒng)括穩(wěn)定障,則效對給幣定的Q,必巡壽存在半一個P為正惜定的塞對稱觀矩陣跪。20萌23潤/6永/

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