函數(shù)的周期性、對(duì)稱性（解析版）

函數(shù)的周期性、對(duì)稱性

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/⑶=工一5+in-,若/（島）+/（嬴）+-

/cJuNU/U/U/U

+f（^^）+/（￡翳）=義羅*9+6），其中。＞。，則擊+苧的最小值為（）

4UNU4U4U4/|Q|。

A.總B.C.V2D當(dāng)

【答案】A

【解析】因?yàn)?(x)=x--+%%,

所以/(s)+f(e-x)=x--+In+(e-x)--|-+In—雪一&

ne—xze—(e—x)

=In-+=In(工?^^)=Ine?=2,

e-xx\e-xx/

令s"扇）+/（巍）+???+/（翳）+/（霸）

則2s=3扇）+/（黯））+（，（豳）+/（翳））+???+（/（黯）+/（鬲））=2X

2019所以S=2019

901Q，

所以---(a+b)=2019，所以a+b=2,其中匕>(),則a=2—b.

J_+M=J_+2z±=J_+A_1=M+2.).(a+6)

當(dāng)Q>()時(shí)1

2|a|b2Q丁b2ab12ab)

=/售+/+與)T>g4+2低萼)-1=4

4

當(dāng)且僅當(dāng)備=*即。=字匕=年時(shí)等號(hào)成立;

血+增

當(dāng)aV0時(shí)=，+n=，+—=，+△

—2ab—2Qh—2Qb

-2a

=/(生+下)?(a+b)+l='i(V+4++1

b

當(dāng)且僅當(dāng)_-=二^,即a=-2,b=4時(shí)等號(hào)成立;

一/Q0

因?yàn)楦！鯲號(hào)■，所以的最小值為巧■.

故選：A.

2.（2023春?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=ln（QTT—c）+1,正實(shí)數(shù)a,b滿足/（2a）+/

（b—4）=2,則羋+的最小值為（）

a。2ab八°+b.

A.1B.2C.4Df

【答案】B

【解析】f(x)+/(—x)=ln(Vx2+1—x)+1+ln(Vx2+1+c)+1=2,

故函數(shù)/(s)關(guān)于(0,1)對(duì)稱，又/Q)在R上嚴(yán)格遞增；

/(2a)+f(b-4)=2,2a+b—4=0即2a+6=4.

4bla=4ba=助a>2/電旦=2

a2ab+b2ab(2a+b)a46Va46

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=[■時(shí)取得.

故選：B.

3.(2023?全國(guó)?方三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/Q)的定義域?yàn)镽,/(2z+2)為偶函數(shù)，/設(shè)+1)為奇函數(shù),

：'I

且當(dāng)x€[0,1]時(shí)，/(工)=ax+b.若/⑷=1,則Zf(i+卷)=()

<=i'

A.占B.0C.—y-D.-1

【答案】C

【解析】因?yàn)?(2工+2)為偶函數(shù)，所以/(一2工+2)=f(2x+2),

用會(huì)+9代替。得：/(一/+1)=/3+3),

因?yàn)?(工+1)為奇函數(shù)，所以/(—z+1)=-f(x+1),

故/(立+3)=-f(x+1)①，

用0；+2代替z得：/(4+5)=—/(a;+3)②，

由①②得：f(x+5)=f(c+l),

所以函數(shù)/O)的周期7=4,

所以/(4)=/(0)=1,即。=1,

因?yàn)?(一。+1)=一/(/+1),令/=0得：/(1)=一/(1),故/(1)=0,

/(l)=a+b=0,解得：a=-1,

所以工€[0,1]Bt,f(x)=-x+1,

因?yàn)?(-/+1)=-/(c+1),

金人=—,得嗎)=T(孰

其中/信)=-+1=專(zhuān),所以/(得)=―｝，

因?yàn)?(—24+2)=/(2工+2),

令%=[得"(-2x：+2)=/(2x卷+2),即艱■)=/(*)=一'

因?yàn)門(mén)=4,所以,閨=嗚?-4)=d),

因?yàn)?(-?+1)=-f(x+1),

令葉I■得；/(+)=-/倍)=/

故/信)=方，

X/(i+y)=/(y)+./-(y)+/(y)=_y-y+y=-y-

?=1

故選:c

4.(2023?四川資陽(yáng).統(tǒng)考模擬fl(測(cè))已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)??,/(6一2)為偶函數(shù)，/(c—2)+

13

/(—T)=0,當(dāng)86［-2,-1］時(shí),/(x)=——QZ—4(Q>0且a/1),且/(—2)=4.則(fc)|=()

aAr=l

A.16B.20C.24D.28

【答案】C

【解析】因?yàn)?(①一2)是偶函數(shù)，所以/(一1-2)=/(①一2),所以/(x)=f(-x-4),

所以函數(shù)/(土)關(guān)于直線2=-2對(duì)稱，

又因?yàn)?(出一2)+/(—⑼=0,所以一—2)=/(-T),

所以/3)=—/(一］—2),所以/(⑼關(guān)于點(diǎn)(一1,0)中心對(duì)稱，

由/(力)=/(一％一4)及/㈤=-f(-x-2)得/(-n-4)=-/(-x-2)

所以/(一1-4)=一于［-x-2)=/(-x)

所以函數(shù)/(⑼的周期為4,

因?yàn)楫?dāng)a6［-2,-1］時(shí)JQ)=—QN—4(a>0且aH1),且/(—2)=4,

a

所以4=+2Q—4,解得：a=2或Q=-4,因?yàn)閍>0且Q#1,所以a=2.

a

所以當(dāng)cW［―2,—1］時(shí)，/(①)=(/y-2a:-4,

所以『(一2)=4,/(-1)=0,f(-3)=/(-1)=0,/(0)=-/(-2)=-4,

/(1)=/(1-4)=/(-3)=0,/(2)=/(-2)=4,/(3)=/(-1)=0,

/(4)=/(0)=—4,所以+|/(2)|+|/(3)|+|/(4)|=8,

所以⑻|=|/⑴|+3X8=24,

fc=l

故選：C.

5.(2023-全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(工),g(0的定義域均為R,且/㈤+g(2-工)=5,g3)-/(x

22

—4)=7.若夕=9(力)的圖像關(guān)于直線％=2對(duì)稱，g(2)=4,則Z/(k)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】因?yàn)閁=g(a)的圖像關(guān)于直線i=2對(duì)稱，

所以g(2-z)=g(x+2),

因?yàn)間(x)-f(x-4)=7,所以g(rr+2)—/(工一2)=7,即g(z+2)=7+f(x-2),

因?yàn)?(x)+g(2—①)=5,所以f(x)+g(①+2)=5,

代入得/(⑼+[7+f3-2)]=5,即f(x)+f(x-2)=-2,

所以〃3)+/(5)+-+/(21)=(-2)X5=-10,

f(4)+/(6)+…+/(22)=(-2)X5=-1().

因?yàn)閒(x)+g(2—⑼=5,所以/(0)+g⑵=5,即/(0)=1,所以/(2)=-2-/(0)=-3.

因?yàn)間(x)-f(x-4)=7,所以g(±+4)—/(z)=7,又因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得，g(2-6)+g(6+4)=12,

所以y=g(c)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(z)的定義域?yàn)镽,

所以g(3)=6

因?yàn)?3)+9(/+2)=5,所以/(1)=5—9(3)=-1.

22

所以Zf(k)=/(1)+/(2)+[/(3)+/(5)+-+/(21)]+[/(4)+/(6)+/(22)]=-1-3-10-

k=\

10=-24.

故選:1)

6.(2023-全國(guó)?高三+題練習(xí))設(shè)函數(shù)/Q)=/+ax2+bi+2(a,b€R)，若f(2+x)+/(2—n)=8,

則下列不等式正確的是()

A./(e)+/(1)>8B./(e)+/(2-V3)>8

C./(In7)+/(2+V3)>8D./(In5)+/(31n2)<8

【答案】C

【解析】由題?(2+a?),，+a(2+2：)2+b(2+：E)+2+(2—xY+a(2—s)'+6(2—IE)+2=8,

化簡(jiǎn)整理得(6+a)a;2+2(2a+b+3)=0,于是J；?=>/?。

(2a+b+3=0(o=9,

所以/(力=x3—6x2+9x+2,進(jìn)而/(⑼=3x2—12x+9=3(%—1)(x—3),

據(jù)此,人￡)在(-8,1),(3,+oo)上單調(diào)遞增，/3)在(1,3)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?(2+M+/(2—0=8,即/3)+/(4—0=8.

對(duì)于4由〃e)+_f(4-e)=8,又lV4-e<?V3,所以f(4-e)>/(9),

即/(e)+/(3)<8,故4錯(cuò)誤；對(duì)于B,

/(2—V3)=(2—V3)3—6(2—V3)2+9(2—V3)+2=4,

因?yàn)閘V2<eV3,所以f(2)>f(e),而f(2)=23—6X22+9X2+2=4,

所以/(e)+/(2—通)<8,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,

/(2+V3)=(2+V3)3—6(2+V3)2+9(2+V3)+2=4,而1VIn7V2,

所以Z(ln7)>/(2)=4,所以/(ln7)+/(2+J5)>8,故。正確;

對(duì)于D,由f(ln5)+/(4—ln5)=8,因?yàn)?V31n2<4—ln5<3,

所以/(31n2)>/(4-ln5),所以/(E5)+/(3In2)>8,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.(2023-全國(guó)?高三分題練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)/Q)滿足"2—①)=/(0，且在［0,1)上單調(diào)遞

減,若方程/(⑼=T在［0,1)上有實(shí)數(shù)根,則方程/Q)=1在區(qū)間［-1,11］上所有實(shí)根之和是()

A.30B.14C.12D.6

【答案】A

【解析】由/(2—a;)=/(x)知函數(shù)/(z)的圖象關(guān)于直線刀=1對(duì)稱，

,.7(2一⑼=fQ)JQ)是R上的奇函數(shù),

：.f(-x)=y(?+2)=-y(rr),

“(3；+4)=/3),

.-./(?)的周期為4,

考慮/3)的一個(gè)周期，例如［—1,3］,

由六工)在［0,1)上是減函數(shù)知/(工)在(1,2］上是增函數(shù)，

/(x)在(-1,0］上是減函數(shù),/(H)在［2,3)上是增函數(shù),

對(duì)于奇函數(shù)/(功有〃0)=(),/(2)=〃2-2)=/(0)=0,

故當(dāng)。€(0,1)時(shí)JQ)V/(0)=(),當(dāng)hC(1,2)時(shí)J3)V/(2)=0,

當(dāng)工e(-1,0)時(shí),>/(0)=0,當(dāng)z￡(2,3)時(shí)，/Q)>/(2)=0,

方程/(立)=-1在［0,1)上有實(shí)數(shù)根，

則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)椤ü?在(0,1)上是單調(diào)函數(shù)，

則由于f(2-X)=73),故方程人工)=-1在(1,2)上有唯一實(shí)數(shù)，

在(一1,0)和(2,3)上/(句>0,

則方程/(c)=—1在(—1,0)和(2,3)上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

從而方程/Q)=-1在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)工C［-1,3］,方程/(h)=—1的兩實(shí)數(shù)根之和為x+2—x=2,

當(dāng)a;€［-1,11］,方程/(工)=-1的所有6個(gè)實(shí)數(shù)根之和為x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-

①+8=2+8+2+8+2+8=30.

故選：A

8.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))對(duì)于三次函數(shù)/(工)=23+謁+,+或0#0),給出定義：設(shè)/3)是函

數(shù)y=/(i)的導(dǎo)數(shù)，/"(%)是r(N)的導(dǎo)數(shù)，若方程/"(%)=0有實(shí)數(shù)解◎),則稱點(diǎn)(x0tf(x0))為函數(shù)y

=/(力)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，

且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)9(C)=1/一呆？+3,—必則g(康)+g(端)+…

+,。(/2001189\)一/()x

A.2016B.2017C.2018D.2019

【答案】C

［解析］函數(shù)g(c)=4/一_1?工2+3工一合，

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'Q)=為一6+3,gf(x)=2z—1,

由g，Q())=0得2X()-1=0,

解得叫=十，而g居)=1,

故函數(shù)ff(x)關(guān)于點(diǎn)(方,1)對(duì)稱,

ff(x)+ff(l-x)=2,

故段g(2019)+9(2血)+…+g(2019)=%

..2018\,/2017\,,(

則。(t西W+。(西V+…+秋Ww^=m,

兩式相加得2X2018=2m，則m=2018,故選C.

9.(2023春?云南曲靖?高三曲靖一中?？茧A段練習(xí))定義在;?上的函數(shù)/⑺滿足/(F)+/(X)=0

,/(□;)=f(2-X)，且當(dāng)比e［0,1］時(shí),/(x)=X2.則函數(shù)y=7f(re)-z+2的所有零點(diǎn)之和為(j

A.7B.14C.21D.28

【答案】B

【解析】依題意，f(z)是奇函數(shù).又由.f(z)=/(2-⑼知，/Q)的圖像關(guān)于工=1對(duì)稱.

f(x+4)=/(1+(x+3))=/(1-(x+3))=/(-2-a;)=-f(2+a;)

=-/(2-(-?))=-f(-x)=/(x),

所以/(①)是周期為4的周期函數(shù).

7(2+x)=f(l4-(1+?))=,f(l-(l+s))=/(-x)=-7(x)=-/(2-x),

所以/(工)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱.

由于？Z=7/(c)—立+2=。0/(0；)=x~2

從而函數(shù)y=7，Q)—x+2的所有零點(diǎn)之和即為函數(shù)/(c)與9(工)=卬的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

之和.

而函數(shù)g(c)=與2的圖像也關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱.

畫(huà)出y=f(x),g(H)=-----的圖象如圖所示.由圖可知，共有7個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y=7/(±)—x+2

所有零點(diǎn)和為7X2=14.

10.(2023-全國(guó)?方三專(zhuān)題練習(xí))已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(切的導(dǎo)函數(shù)為/'(%),滿足/'(%)<f(x)且

/(x+3)為偶函數(shù),人工+1)為奇函數(shù)，若/(9)+/(8)=1,則不等式/(工)<e，的解集為()

A.(-3,+℃>)B.(l,+oo)C.(0,+°o)D.(6,+8)

【答案】C

【解析】因?yàn)?(工+3)為偶函數(shù)，/(c+1)為奇函數(shù)，

所以/(/+3)=f(-x+3),f(x+1)+/(-?+1)=0.

所以/(c)=f(-x+6),f(x)+f(—x+2)=0,所以/(一立+6)+y(-?+2)=0.

令t=-z+2,則/(t+4)+〃t)=0.

令上式中力取力-4,則-4)=0,所以f(t+4)=f(t—4).

令力取力+4,則/〃)=/〃+8),所以=/(./+8).

所以/(⑼為周期為8的周期函數(shù).

因?yàn)?3+1)為奇函數(shù)，所以/(工+1)+y(-T+1)=0,

令2=0,得：/(1)+/(1)=0,所以*1)=0,所以/(9)+/(8)=1,即為/(1)+/(0)=1,所以f(0)=L

/、f(x).yz(x)—f(x)

記g(T)=---，所以g(土)=------------

f(x}

因?yàn)閞(c)V/3),所以g'(c)V0,所以g(rr)=—「在A上單調(diào)遞減.

不等式.f(c)Ve，可化為JVI,即為g(o;)

e

所以rr>0.

故選:C

11.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/Q)的定義域?yàn)镽,/Q+l)為奇函數(shù),/3+2)為偶函數(shù)，當(dāng)，

e[1,2]時(shí),/3)=a/+b.若/(())+/⑶=6,則/(?1?)=()

A9R375

A?一1B.-彳Cr.]Dn-y

【答案】D

【解析】［方法一］:

因?yàn)?(/+1)是奇函數(shù)，所以/(一6+1)=-3(/+1)①；

因?yàn)?2)是偶函數(shù)，所以/Q+2)=/(一7+2)②.

令x=1,由①得:/(0)=-/(2)=-(4a+b),由②得:7(3)=/(1)=a+b,

因?yàn)?(0)4-/(3)=6,所以—(4a+b)+a+b—6=>a=—2,

令c=0,由①得：/(l)=—/(1)=/(1)=0=匕=2,所以

思路一：從定義入手.

Kf)=/(t+2)=/(-f+2)=/(-1)

/(，)=/(-y+1)=-/怎+1)=-/(y)

-/(T)=-/(I+2)=-/(-1+2)=-Af)

所以/(?)=-/(■|)=￡.

［方法二］:

因?yàn)?(c+1)是奇函數(shù)，所以/(一花+1)=-f(x+1)①；

因?yàn)閒(x+2)是偶函教，所以/3+2)=f(-x+2)②.

令。=1,由①得:/(0)=-/(2)=-(4a+b),由②得:/(3)=/(1)=a+b,

因?yàn)?(0)4-/(3)=6,所以一(4a+b)+a+6=6na=-2,

令工=(),由①得：/⑴=一/⑴n/⑴=0=b=2,所以/(z)=-2x2+2.

思路二：從周期性入手

由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)/(工)的周期T=4.

所以/患)=/4)=-/(9)=］.

故選：D.

二、多選題

12.(2023叁?云南?商三云南拜大酹中?？茧A盤(pán)練習(xí))己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(⑼在(-1,0］上單調(diào)遞

增，/(2+為=/(2—立)，且圖象關(guān)于(3,0)對(duì)稱，則f(工)()

A.周期T=4B.在(0,2］單調(diào)遞減

C.滿足了(2021)</(2022)</(2023)D.在［0,2023］上可能有1012個(gè)零點(diǎn)

【答案】48。

【解析】力選項(xiàng)：由/(2+f)=/(2-x)知/(①)的對(duì)稱軸為工=2,且/(4+⑼=/(一工)，又圖象關(guān)于

(3,0)對(duì)稱，即/(34-a;)=-/(3-x),故/(6+工)=-f(-x)，所以-/(4+x)=/(6+z),即-/(1)=/(2

+rc),所以/(⑼=/(。+4),/3)的周期為4,正確；

6選項(xiàng)：因?yàn)?(力在(-1,0］上單調(diào)遞增，7=4,所以/(工)在(3,4］上單調(diào)遞增，又圖象關(guān)于(3,0)對(duì)

稱，所以/(工)在(2,3］上單調(diào)遞增，因?yàn)殛P(guān)于1=2對(duì)稱，所以/(工)在(1,2］上單調(diào)遞減,/(1)=/(3)=

0,故73)在(0,2］單調(diào)遞減，B正確;

C選項(xiàng)：根據(jù)周期性,f(2O21)=/(1),/(2022)=/(2),/(2023)=/(3),因?yàn)?(?)關(guān)于/=2對(duì)稱，所以

/(1)=/(3)=0,/(2)</(1),故42022)<f(2021)=/(2023),錯(cuò)誤；。選項(xiàng)：在［0,4)上，/⑴=/(3)=

0,f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，所以,f(c)在［0,2020)上有101()個(gè)零點(diǎn)，在［2020,2023］上有2個(gè)零點(diǎn)，故/(⑼在

［0,2023］上可能有1012個(gè)零點(diǎn)，正確，

故選：ABD.

13.(2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)才階段練習(xí))已知函數(shù)/(z)、gQ)的定義域均為R,/(2)為偶函數(shù)，且

f(x)+g(2—x)=1,g(x)—f(x—4)=3,下列說(shuō)法正確的有()

A.函數(shù)g(z)的圖象關(guān)于±=1對(duì)稱B.函數(shù)/Q)的圖象關(guān)于(一1,一1)對(duì)稱

C.函數(shù)/(/)是以I為周期的周期函數(shù)D.函數(shù)g(,)是以6為周期的周期函數(shù)

【答案】

【解析】對(duì)于力選項(xiàng)，因?yàn)?(工)為偶函數(shù)，所以/(―工)=/(x).

由/(工)+g(2—7)=1,可得/(一工)+g(2+立)=1,可得g(2+工)=g(2-x),

所以，函數(shù)g(c)的圖象關(guān)于直線立=2對(duì)稱，4錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)間(x)-f(x-4)=3,則g(2-x)-f(-2-x)=3,

又因?yàn)閒⑸+g(2-工)=1,可得/⑺+f(-2-x)=-2,

所以，函數(shù)/(工)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,-1)對(duì)稱，B對(duì)；

對(duì)于。選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)/(c)為偶函數(shù)，且/(①)+/(-2—a;)=—2,

則/(］)+/(*+2)=-2,從而/'(±+2)+/(a;+4)=-2,J8i］f(x+4)=f(x),

所以，函數(shù)/(H)是以4為周期的周期函數(shù)，。對(duì)；

對(duì)于。選項(xiàng)，因?yàn)間(2)一/3-4)=3,且/3)=f(x-4),：.g(x)-/(re)=3,

又因?yàn)閒(c)+g(2—a?)=1,所以,g(x)+g(2-x)=4,

又因?yàn)間(2—c)=g(2+*),則g(*)+gQ+2)=4,所以，gQ+2)+g(a;+4)=4,

故g(:r+4)=ff(x),因此,函數(shù)g(c)是周期為4的周期函數(shù)，D錯(cuò).

故選：BC.

14.(2023春?湖南長(zhǎng)沙?方三次群中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)定義在R上的函數(shù)/3)與g(X)的導(dǎo)函數(shù)分別

為f'⑺和g，(rr),若/(c+2)—g(l—x)—2,/z(x)—g'(x+1),且g(c+1)為奇函數(shù),則下列說(shuō)法中

一定正確的是()

A.g(l)=0B.函數(shù)g，(立)的圖象關(guān)于4=2對(duì)稱

2()212()22

C.E/(/cW)=0D.fg(%)=0

k=\fe=l

【答案】AC

【解析】因?yàn)間(a:+l)為奇函數(shù)，所以9(工+1)=-g(—c+1)，取r=()可得g(l)=0,A對(duì)，

因?yàn)?(c+2)—g(l-z)=2,所以/'(工+2)+gz(l—a;)=0;

所以/'3)+g'(3-a:)=0,又/'㈤=g'(a;+l),g'(a:+l)+)(3—a;)=0,

故g'(2+工)+g'(2一±)=0,所以函數(shù)g'3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,B錯(cuò),

因?yàn)?'(工)=g'(c+l),所以[/(工)-g(c+1)]'=0,所以/(c)-g(x+l)=c,c為常數(shù),

因?yàn)?(z+2)—9(1一比)=2,所以/(立)-g(3一7)=2,

所以g(6+1)—g(3—x')=2—c,取4=1可得c=2,所以gQ+1)=g(3—x),

又g(c+1)=-g(-x+1),所以g(3—c)=-g(-x+1),所以g(rc)=-g(x-2),

所以g(rr+4)=-g(土+2)=g(z),故函數(shù)g(c)為周期為4的函數(shù)，

因?yàn)間(a；+2)=-gQ),所以g(3)=-<7(1)=0,g(4)=-g(2),

所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=0,

2022

所以￡g(k)=[g⑴+g⑵+g(3)+/4)]+[g(5)+g⑹+g⑺+g⑻]+…

fc=J

+[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)4-g(2022),

2022

所以Xp(fe)=505x0+9(2021)+9(2022)=g⑴+g⑵=g⑵,

k=l

2022

由已知無(wú)法確定g(2)的值，故Zg(A;)的值不一定為0,0錯(cuò)；

fc=l

因?yàn)?(H+2)—9(1一工)=2,所以/(入+2)=2—9(4+1),/(2+6)=2-g(x+5),

所以/(①+2)=/(工+6),故函數(shù)/(力為周期為4的函數(shù)，/(2+4)g(sc+4)=f(x)g(x)

所以函數(shù)/(i)g(t)為周期為4的函數(shù)，

又/⑴=2-5(0),/(2)=2-g(l)=2,/(3)=2-g⑵=2+g(0),/(4)=2-g⑶=2,

所以/(l)g(l)+/(2)5(2)+/(3)5(3)+f(4)g(4)=0+2g⑵+2g⑷=0,

2021

所以Z.f(k)9(k)=505[.f(l)g(l)+/(2)g(2)+/(3)g(3)+/(4)g(4)]+f(2021)g⑵)21)

k=l

2021

Zf(k)g(卜)=f(i)g(D=o，。對(duì)，

k=l

故選：4C.

15.(2Q23<全國(guó)?高三寺題練習(xí))設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,且滿足/⑻=/(2-,T),f(-x)=-/(x-

2),當(dāng)/€(—1,1]時(shí)，f\x)=一/+1,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(2022)=1B.當(dāng)/€[4,6]時(shí)，/(工)的取值范圍為[-1,0]

C.y=f(x+3)為奇函數(shù)D.方程/(立)=lg(x+1)僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解

【答案1BCD

【解析】依題意，當(dāng)一時(shí)，0<，(工)<1,當(dāng)O&zWl時(shí)，0&/(z)&1,函數(shù)y=/(a)的定義域

為凡有/(0=/(2—立)，

又/(一期)=-f(x-2),即/(x)=-f[-x-2),因此有/(2-s)=-/(-X-2),即f(x+4)=-/(x),

于是有/(±+8)=-/3+4)=/(0；),從而得函數(shù)/(3；)的周期T=8,

對(duì)于，,f(2022)=/(252X8+6)=/(6)=/(-2)=-/(0)=-L,A不正確;

對(duì)于當(dāng)4《工《5時(shí)，04Z一4<1,有0一4)41,則/(x)=—1f(x—4)€[—1,0],

當(dāng)540；&6時(shí)，-4W2-a;&-3,04(2—2)+441,有0W/[(2—立)+4]&1,

/(a:)=/(2-x)=-/[(2-x)+4]e[-1,0]，當(dāng)cC[4,6]時(shí)JQ)的取值范圍為[-1,0],B正確；

對(duì)于C,f(x+3)=-f[(x4-3)+4]=-f(x-l)=-/[2-(x-l)]=-f(-x+3),函數(shù)y=/(工+3)

為奇函數(shù)，。正確；

對(duì)于。，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)y=/(2)、y=lg(:r+1)的部分圖象,如圖：

方程/(4)=旭3+1)的實(shí)根，即是函數(shù)1==力與夕=lg(a;+1)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

觀察圖象知，函數(shù)？=/(工)與y=lg(a;+1)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，因此方程/(工)=lg(i+1)僅有5個(gè)不

同實(shí)數(shù)解，。正確.

故選：BCD

16.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知定義在R上的單調(diào)遞增的函數(shù)/Q)滿足:任意/CR,有/(1一立)

+/(1+乃=2,/(2+2)+/(2—2)=4,則()

A.當(dāng)/€Z時(shí)，/(f)=a:

B.任意xGR,/(—x)=一/(c)

C.存在非零實(shí)數(shù)T,使得任意xER,f(x+T)=/(x)

D.存在非零實(shí)數(shù)c,使得任意zCH,|/(工)一。引41

【答案】ABD

【解析】對(duì)于4令4=1—t,則/(t)+/(2T)=2,即/(c)+/(2-2)=2,

又*2+x)+f(2-x)=4,/.y(?+2)=4-J(2-=4-(2-/(x))=/(s)+2;

令x=0得:〃1)+/(1)=2,/(2)+/(2)=4,.-./(1)=1,/⑵=2,

則由/(立+2)=f(?)+2可知：當(dāng)zCZ時(shí)，/(宓)=x,A正確;

對(duì)于令4=1+力，則〃—t)+f(2+1)=2,即/(-rr)+/(2+z)=2,

"(一工)=2-/(2+S)=2-(4-/(2-x))=/(2-x)-2,

由A的推導(dǎo)過(guò)程知:/(2-7)=2-/(±),”(一工)=2-f(c)-2=-f(x),3正確；

對(duì)于。，?."(為為R上的增函數(shù)，

當(dāng)T>0時(shí)，：r+T>x,f(x+T)>/(x);當(dāng)TVO時(shí)，c+TV*,則f(x+T)</(x),

不存在非零實(shí)數(shù)T,使得任意工￡―/3+7)=/3),。錯(cuò)沃；

對(duì)于。，當(dāng)c=l時(shí)，|/(立)一聞=|/(立)一工|;

由f(1一4)+f(1+c)=2,/(2+力)+/(2—c)=4知:/(x)關(guān)于(1,1),(2,2)成中心對(duì)稱,則當(dāng)aW

Z時(shí)，(a,a)為/(c)的對(duì)稱中心；

當(dāng)cC[0,1]時(shí)，?."(￡)為R上的增函數(shù),/(0)=0,/(1)=1,：.f(x)W[0,1],

,1/3)一劍&1；

由圖象對(duì)稱性可知：此時(shí)對(duì)任意xER,|/(x)—cs|1,。正確.

故選：ABD.

17.(2023?全國(guó)?商三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(0定義域?yàn)镽,/Q—l)為奇函數(shù)，/(①+1)為偶函數(shù)，當(dāng):re

(-1,1)時(shí)，/(x)=一/+1,則下列結(jié)論正確的是()

A./(4)=-1B./Q+7)為奇函數(shù)

C./(T)在(6,8)上為減函數(shù)D.方程/(立)+1gt=0僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解

【答案】ABD

【解析】a+1)為偶函數(shù)，故心+1)=>一工+1),令工?得:*?)=/(一1+1)=/(一等),

f(x-1)為奇函數(shù)，故/3-1)=-/I-1),令立=/得：/(一方)=-/居-1)=一/(得)，其中

A_y)=T+1=■，所以/回=/(-|-)=-A-y)=-T,A正確；

因?yàn)?(①一1)為奇函數(shù)，所以/(%)關(guān)于(—1,0)對(duì)稱，又/Q+1)為偶函數(shù)，則/(①)關(guān)于z=l對(duì)稱，所

以/(^)周期為4x2=8,故/(立+7)=/(％—1),所以/(-x+7)=f(-x-1)=一于"-1)=

—J(x-1+8)=-/3+7),從而/(力+7)為奇函數(shù)，B正確;

f(x)=-d+1在IW(-1,0)上單調(diào)遞增，又f(x)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱，所以/(⑼在(-2,0)上單調(diào)遞增，

且73)周期為8,故人出)在(6,8)上單調(diào)遞增，。錯(cuò)誤；

根據(jù)題目條件畫(huà)出f(x)與g=-1g/的函數(shù)圖象，如圖所示：

其中V=Tg±單調(diào)遞減且一lgl2<-1,所以兩函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，故方程/(c)+lgz=O僅有6個(gè)實(shí)數(shù)

解，。正確.

故選：ABD

18.(2023.全國(guó)?方三專(zhuān)題練習(xí))已知.f(z)是定義域?yàn)?-00,4-00)的奇函數(shù)，/(1+1)是偶函數(shù)，且當(dāng)工€

(0,1]時(shí),f3)=一火工-2),則()

A./(?)是周期為2的函數(shù)B./(2019)+7(2020)=-1

C.f(x)的值域?yàn)閇-1,1]D.y=/(x)在[0,27c]上有4個(gè)零點(diǎn)

【答案】

【解析】對(duì)于4JQ+1)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于①軸對(duì)稱，把/Q+1)的圖像向右平移1個(gè)單位得到

/(x)的圖像，所以/(⑼圖象關(guān)于力=1對(duì)稱，

即f(1+工)=1(1一工),所以)(2+x)=f(-x),

/(工)為H上的奇函數(shù)，所以/(-X)=-/3),所以/(2+⑼=-/(X),

用2替換上式中的x得，/(4+s)=-f(x+2),

所以，.f(4+±)=/3),則/(①)是周期為4的周期函數(shù).故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,7(工)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(0)=(),

/(x)是周期為4的周期函數(shù),則f(2020)=/(0)=0;

當(dāng)2C(0,1]時(shí),/(①)=—x(x—2),則/(I)=-1x(1—2)=1,

則/(2019)=/(-1+2020)=/(-1)=一/⑴=-1,

則/(2019)+/(2020)=—1.故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)cW(0,1]時(shí),fQ)=-x(x-2),此時(shí)有0<f(x)V1,

又由/(,)為凡上的奇函數(shù)，則工e[—1,0)時(shí),-l^f(x)<0,

/(0)=0,函數(shù)關(guān)于工=1對(duì)稱，所以函數(shù)/(工)的值域[—1,1].故C正確.

對(duì)于，.."(())=0,且(0,1]時(shí),/(立)=-0；(2-2),

xE[Q4],/(sc)=—x(x—2),

x€[1,2],2-xE[0,1],/(x)=/(2—x)=—x(x—2)

①.?.cC[0,2]時(shí)，/(0=一工3—2),此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為0,2;

/(x)是奇函數(shù)，，工e[—2,0],/(x)=x(x+2),

(2)As￡(2,4]時(shí)，??"(￡)的周期為4,.?.力-46[—2,0],

f(x)=f(x-4)=(x-2)(x—4),此時(shí)函數(shù)零點(diǎn)為4;

(3)/.xG(4,6]時(shí)，x-4G[0,2],

/(a?)=/(x—4)=—(x—4)Q—6),此時(shí)函數(shù)零點(diǎn)為6;

?.-.x￡(6,2兀]時(shí)，；.①一4€(2,4],f(x)=/(x—4)=Q—6)(2—8),此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

綜合以上有，在(0,2兀)上有4個(gè)零點(diǎn).故。正確；

故選：BCD

19.(2023春?廣東廣州?高三廣州市昌山商級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知人乃是定義域?yàn)?一8,+8)的

奇函數(shù)，/(4+1)是偶函數(shù),且當(dāng)立e(0,1]時(shí),f(x)=—x[x-2),則()

A./(工)是周期為2的函數(shù)

B./(2019)4-7(2020)=-1

C./(re)的值域?yàn)閇一1,1]

D./(立)的圖象與曲線沙=cos/在(0,2兀)上有4個(gè)交點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】根據(jù)題意，

對(duì)于4/(工)為R.上的奇函數(shù)，/(/+1)為偶函數(shù)，

所以/(①)圖象關(guān)于(=1對(duì)稱,/(2+x)=f(-x)=-f(x)

即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

則/(c)是周期為4的周期函數(shù)，4錯(cuò)誤；

對(duì)于BJQ)定義域?yàn)镠的奇函數(shù)，則/(0)=0,

f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則/(2020)=/(0)=0;

當(dāng)rc€(0,1]時(shí),fQ)=一田(土一2),則/(1)=-1x(1-2)=1,

則7(2019)=/(-1+2020)=/(-1)=-f(l)=-1,

則/(2019)+/(2020)=—1;故6正確.

對(duì)于。，當(dāng)rre(0,1]8j-,f(x)=—x(x—2)，此時(shí)有0<f(x)&1,

又由/Q)為H上的奇函數(shù)，則工€[—1,0)時(shí),-l<f(x)<0,

f(0)=0,函數(shù)關(guān)于工=1對(duì)稱，所以函數(shù)/(立)的值域[—1,1].

故。正確.

對(duì)于。，?.?/(())=0,且26(0,1]at,f(x)=-x(x-2),

xG[0,1],/(x)=-x{x—2),

：.xE[1,2],2—xG[0,1],f(x)=/(2—x)=—x(x—2),

xE[0,2],f(x)=-x[x—2),

是奇函數(shù)，，]€[-2,0],f(x)=x(x+2),

,.'/(x)的周期為4,；.ce[2,4],/(x)=(x—2)(x—4),

x6[4,6],f(x)=-(.r—4)(a?—6),

xC[6,2TT],f(x)=(s—6)(s—8),

設(shè)9(工)=/(工)~cosx,

當(dāng)cC[0,2],g(x)——x2+2x—COST,

g'(JC)=—2x+2+sin①,

設(shè)九(1)=gr(x),hr(x)=-2+COSTV0在［0,2］恒成立，

-c)在［0,2］單調(diào)遞減，即g，Q)在［0,2］單調(diào)遞減,

且g'(1)=sinl>0,g'(2)=-2+sin2<0,

存在的6(1,2),g'(而)=0,

x6(0,的),gf(c)>0,gQ)單調(diào)遞增，

xW(血,2)O㈤V0,g(z)單調(diào)遞減,

g(0)=—=1—cosl>0,g(g)>g(l)>0,g(2)=—cos2>0,

所以g(c)在(0,網(wǎng))有唯一零點(diǎn)，在(廝2)沒(méi)有零點(diǎn)，

即化￡(0,2］,/(x)的圖象與曲線g=cosi有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)z€［2,4］時(shí)，，g(z)=f(x)—cosrr=x2—6x+8—cosrc,

則g'(力)=2i—6+sin/,=g，(x)=2c—6+sinc,

則-3)=2+cosrr>0,所以g'Q)在［2,4］上單調(diào)遞增，

且g'(3)=sin3>0,pr(2)=-2+sin2<0,

所以存在唯一的［2,3］U［2,4］,使得g，Q)=0,

所以年以(2,①1),g'Q)<0,g(x)在(2,電)單調(diào)遞減，

x6(X),4),gf(x)>0,g(x)在(電,4)單調(diào)遞增，

又g(3)="1—cos3<0,所以gQi)Vg(3)<0,

又g(2)=—cos2>0,g(4)=—cos4>0,

所以g(z)在(2,刈)上有一個(gè)唯一的零點(diǎn)，在(xi,4)上有唯一的零點(diǎn)，

所以當(dāng)iG［2,4］時(shí)，/(i)的圖象與曲線y=cosc有2個(gè)交點(diǎn)一

當(dāng)。G［4,6］時(shí)，同］G［0,2］,f3)的圖象與曲線沙=85力有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)力G［6,2兀］,/(2)=(4—6)(%—8)V0,y=cosx>0,

/(x)的圖象與曲線g=cos力沒(méi)有交點(diǎn)，

所以/(1)的圖象與曲線U=COSN在(0,2兀)上有4個(gè)交點(diǎn)，故。正確；

故選：8CD.

20.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(24+1)的圖像關(guān)于直線化=1對(duì)稱，函數(shù)0=/(力+1)關(guān)于

點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(I一為=/(1+/)B.f(x)的周期為4

c.7(l)=o

【答案】⑷3

［解析】/(2工)的圖像關(guān)于直線z="對(duì)稱，/(①)的圖像關(guān)于z=3對(duì)稱，

又關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱，所以周期為4,所以6正確而。錯(cuò)誤；

又/(3-7)=/(3+2)，其中宏換工+1得f(2—0=/(4+x)=f(x),

再將工換z+1得f(l—x)=/(1+工)，但無(wú)法得到/(I)=0所以A正確C錯(cuò)誤.

故選：AB.

21.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/Q)及其導(dǎo)函數(shù)分Q)的定義域均為R,記g(￡)=『(⑼，若

/(y-2x),g(2+工)均為偶函數(shù),則()

A./(0)=0B.g(-})=0C./(-1)=/(4)D.g(—l)=g⑵

【答案】

【解析】［方法一］：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/⑸，因?yàn)?《一2工)為偶函數(shù)，所以/償-2*=/償+2/)即/(1■-￡)=/(?+4)①，所

以/(3-x)=/(x),所以f(G關(guān)于a=*對(duì)稱，則/(-I)=/(4),故C正確；

對(duì)于g(ir),因?yàn)間(2+rc)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2—x),g(4—x)=gQ),所以g(±)關(guān)于t=2對(duì)稱，由

①求導(dǎo),和g(z)=f'(x),得-工)］'=［/傳+N)］'O-/傳-x)=/，(y+工)o-9(y-工)=

g得+z),所以g(3-z)+ff(x)=(),所以g(z)關(guān)于信,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镠,所以g(')=0,

結(jié)合g(c)關(guān)于c=2對(duì)稱，從而周期T=4x(2—3)=2,所以9(得)=9(年)=0,ff(-l)=g(l)=

-g(2),故B正確，。錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(c)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(工)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定/Q)的函數(shù)

值，故4錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(rc)周期為2,關(guān)于工=2對(duì)稱，故可設(shè)g(±)=cos(m),則f(x)=Jsin(m)+c,顯然A,

。錯(cuò)誤，選BC

故選：BC.

I方法三］:

因?yàn)?(?1一2*9(2+工)均為偶函數(shù)，

所以/(或■-2c)=/(?+2*)即/(■!■-2)=/(4+*),g(2+±)=g(2-a;),