不能只憑想象

不能只憑想象有些貌似簡單，似乎不需要通過計(jì)算就能得出結(jié)論的問題，往往容易使你判斷失誤，造成錯(cuò)解。我們先看例1。

例1有兩塊大小一樣的正方形鋼板，其中一塊沖出4塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1（甲）），另一塊沖出9塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1（乙））。問哪一塊鋼板所剩的下腳料多？

附圖{圖}

乍一看，圖1（甲）所剩的下腳料多一些，因?yàn)閳D1（甲）中的空隙大，而圖1（乙）中，每個(gè)圓的面積小，填補(bǔ)空隙的能力強(qiáng)，留下的空隙小，似乎很有道理，其實(shí)不然。我們先解決一個(gè)簡單的問題。如圖2，求正方形內(nèi)切圓的面積占該正方形面積的百分之幾？

a

不妨設(shè)這個(gè)正方形的邊長為a，則其內(nèi)切圓的半徑為──，

2

a

×（—）[2]

21

由────────────＝×──＝％，得正方形內(nèi)

a[2]4

切圓的面積占該正方形面積的％。

附圖{圖}

現(xiàn)將圖1中的（甲）（乙）兩圖添作輔助線，如圖3所示：

附圖{圖}

令正方形鋼板的面積為S，由上例立即得到，圖3（甲）中每個(gè)圓形

11

鋼片的面積為──S×％，所剩下腳料的面積為S－──S×％

44

1

×4＝％S。同理，圖3（乙）中每個(gè)圓形鋼片的面積為──S×

9

1

％，所剩下腳料的面積為S－──S×％×9＝％S。綜上所述，

9兩塊鋼板所剩的下腳料同樣多。

例2如圖4，兩只同樣大的硬幣，其中一只固定，另一只沿其周邊滾動（無滑動）。當(dāng)滾動的一只硬幣沿固定的一只硬幣周邊滾過一圈回到原來的位置時(shí)，滾動的那個(gè)硬幣轉(zhuǎn)了幾周？

附圖{圖}

對這個(gè)問題不仔細(xì)考慮，動幣好像轉(zhuǎn)了一周。但認(rèn)真加以分析，問題并不那么簡單。為了便于說明問題，在動幣圓周上取一點(diǎn)A（如圖4），考察A轉(zhuǎn)過的角度，每轉(zhuǎn)過一個(gè)360°為一周?，F(xiàn)將此運(yùn)動分解成兩種簡單運(yùn)動。第一種運(yùn)動，如圖5（甲），動幣的軸AB的方向始終指向定幣的圓心，B點(diǎn)在定幣周邊上滑動一周，此時(shí)，A轉(zhuǎn)過360°；第二種運(yùn)動，如圖5（乙），動幣沿著與定幣周長相等的一條線段滾動，A又轉(zhuǎn)過了360°。這樣，以上兩種運(yùn)動合起來，動幣轉(zhuǎn)了2周。本題，也可以用動幣圓心軌跡的長除以動幣的周長，求出動幣轉(zhuǎn)的周數(shù)。以上結(jié)果，可通過動手操作，直接得到驗(yàn)證。

附圖{圖}

由此看出，對一些似乎能一眼看出答案的題目，不能只憑想象，還要通過分析、計(jì)算或?qū)嶋H操作，從而得