在解亥姆霍茲方程時課件

第一章 光的電磁理論

光的波動理論是由惠更斯（Huygens）于1678年提出，并由菲涅耳（Fresnel）等人發(fā)展起來的。1864年麥克斯韋把電磁規(guī)律總結為麥克斯韋方程組，建立起完整的經(jīng)典電磁理論，同時指出光也是一種電磁波，從而產(chǎn)生了光的電磁理論。光的電磁理論的確定，推動了光學及整個物理學的發(fā)展，并使光學領域出現(xiàn)了許多分支，如：激光、付里葉光學、光學信息處理、全息術、纖維光學、光波導、集成光學、非線性光學、梯度折射率光學和二元光學等。雖然有些光學現(xiàn)象需用量子理論去解釋，但是光的電磁理論仍然是闡明大多數(shù)光學現(xiàn)象及掌握現(xiàn)代光學的一個重要基礎。故本章是全教材的理論基礎?！?－1麥克斯韋方程組一、電磁場微分形式的麥克斯韋方程組電磁場的麥克斯韋方程組有積分形式和微分形式，這里只列出微分形式的麥克斯韋方程組：

(1－1)方程組中:

——電感強度（電位移矢量）

——磁感強度

——電場強度；

——磁場強度；

——自由電荷密度；

——傳導電流密度方程組中第一式相當于庫侖定律；第二式表明除電流外，沒有其它磁源，即磁荷不存在；第三式是法拉第電磁感應定律；第四式表示磁場對傳導電流密度（電荷的運動速率）和位移電流密度（電場的時間變化率）的依賴關系

二、物質(zhì)方程在麥克斯韋方程組中,E和B是電磁場的本征物理量，D和H是引進的兩個輔助場量。E和D,B和H的關系與電磁場所在物質(zhì)的性質(zhì)有關。它們有如下關系：

(1---2)(1---3)式中

:和分別稱為介電常數(shù)（或電容率）和磁導率

.另外，在導電物質(zhì)中還有如下關系：（1－4）式中，稱為電導率。公式（1－2）、（1－3）和（1－4）稱之為物質(zhì)方程，它們描述物質(zhì)在電磁場作用下

的特性。

、和表征物質(zhì)本身的性質(zhì)，在各向同性均勻介質(zhì)中，它們?yōu)槌Ａ?。但在非均勻介質(zhì)中為張量。§1－2光的波動方程一、電磁場的波動性由麥克斯韋方程組可以證明電磁波的傳播具有波動性。對于無限大的各向同性均勻介質(zhì)，在遠離輻射源的區(qū)域內(nèi)，

常數(shù)

,常數(shù)，0，0麥克斯韋方程組變?yōu)椋海?－5）利用場論中有關公式，可以得出：（1－6）（1－7）式（1－6）和（1－7）為偏微分方程，這里稱為電磁波的波動方程。式中為電磁波在介質(zhì)中的傳播速度。二、電磁波由麥克斯韋方程組得出的電磁波理論后來已被人們通過實驗證實。電磁波在真空中的傳播速度為：（1－8）式中,和是真空中的介電常數(shù)和磁導率，

已知所以，這個數(shù)值與實驗中測得的真空中的光速非常接近,這又證明了麥克斯韋理論的正確性。光波是電磁波中的一部份，所以公式（1－6）和（1－7）亦是光波的波動方程。光波在真空中的速度與在介質(zhì)中速度之比稱為絕對折射率折射率），即：（簡稱

(1－9)其中（1－10）由（1－8）式和（1－9）式，得：(1－11)式中，和分別是相對介電常數(shù)和相對磁導率。除磁性物質(zhì)外，大多數(shù)物質(zhì)，

故

（1－12）三、光波的亥姆霍茲方程在多數(shù)情況下，電磁波的激發(fā)源以大致確定的頻率作正弦振蕩，因而輻射出的電磁波也以相同頻率作正弦振蕩。這種以一定頻率作正弦振蕩的波稱為定態(tài)波（單色波）。單色光波為定態(tài)波，則；

（1－13）（1－14）將（1－13）式和（1－14）式分別代入（1－6）式和（1－7）式，得到：（1－15）

（1－16）

（1－15）式和（1－16）式中

應為應為

，，這里省略下角標，r為波源至空間某一點距離，k為波數(shù)（1－17）上式中，為光波在介質(zhì)中的波長，為光波在真空中的波長，n為介質(zhì)折射率.

亥姆霍茲方程將定態(tài)波的時域和空域區(qū)分開來，

將偏微分方程變?yōu)槲⒎址匠獭沼蚪馕⒎址匠?，得出的解加上時間因子即可得到波動方程的全解，使問題簡化

四、單色光波在各向同性均勻介質(zhì)中自由傳播時的振幅表達式單色光波的波動方程（1－15）式和（1－16）式形式完全相同，在這里只研究電場

強度的波方程動.稱為電場復矢量（簡稱電場矢量），又稱為復振幅。

1單色平面光波在各向同性均勻介質(zhì)中自由傳播時的解析表達式解微分方程（1－15）式，得

(1－18)全解為

(1－19)式中

——光波傳播方向上的單位矢量；

——光源至空間某點的矢量。

稱之為波矢量。（1－19）式為單色平面波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播時的電場矢量的解析表達式。2、單色球面光波在各向同性均勻介質(zhì)中自由傳播時的解析表達式同樣解微分方程（1－15）式，得單色球面光波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播時電場矢量(1－20)

全解為(1－21)

3、輻射能光波為電磁波，電磁學里，電磁場的能量密度為（1－22）

上式中第一項為電場的能量密度，第二項是磁場的能量密度。一般情況下，兩者相等，故（1－23）為了描述電磁能量的傳播，引進輻射強度矢量，即玻印亭（Poynting）矢量其大小等于單位時間內(nèi)通過垂直于傳播方向的單位面積的電磁能量，

其方向為能量的流動方向。由于光波是頻率非常高的周期函數(shù)，用玻印亭矢量表征光的強度時，（1－24）

（1－25）

只能用標量

S的時間平均值。用符號<>表示對時間求平均值，則光波的強度為:

（1－26）§1－3不連續(xù)表面的邊值條件及光波在界面上的反射和折射一、不連續(xù)表面的邊值條件對于諸如公式（1－15）這樣的微分方程，應根據(jù)初始條件和邊值條件求解。光波遇到分界面時，折射率發(fā)生突變，兩介質(zhì)分解面上電磁量不是連續(xù)的，但它們之間仍存在一定的關系，通常把這種關系稱之為電磁場的邊值條件.在界面沒有自由電荷和面電流的情況下,和的法向分量及和的切向分量是連續(xù)的，這種邊值條件可以總括為：

(1－27)式中，n為界面法線上的單位矢量。二、光波在界面上的反射和折射1、反射定律和折射定律反射定律和折射定律是我們熟知的。當一個單色平面波射到兩種不同介質(zhì)的分界面上時，將分成兩個波；一個反射波和一個折射波。由電磁場的邊值條件可以證明這兩個波的存在，并求出它們的傳播方向以及它們和入射波的振幅關系和位相關系。假設介質(zhì)1和介質(zhì)2的分界面為無窮大的平面。

這種假設表明反射波和折射波仍滿足自由傳播的條件。

單色平面波從介質(zhì)1射到分界面上（圖1－1）顯然，入射波在界面上產(chǎn)生的反射波和折射波也是平面波。

設入射波、反射波和折射波的波矢量分別為、

和

，角頻率分別為、和

，那么三個波解析

表達式分別為（1－28）

圖1-1

式中，位置矢量的原點可取在分界面上某點（如圖1－1所示），

的終點可取在分界面上的任意點，在分界面上是任意的。

由邊值條件（1－27）式中的第三式，

（1－29）將（1－28）式中各項代入上式，并根據(jù)，得

（1－30）即

（1－31）

（1－32）由（1－31）式可得反射定律

（1－33）

由（1－32）式可得折射定律

（1－34）三、菲涅耳公式下面進一步導出表示反射光、折射光和入射光的振幅、位相關系的菲涅耳公式。1、S波（TE波）和P波（TM波）由上面幾節(jié)可以看出，描述電磁波可以用電場矢量

和磁場矢量，

兩者是垂直的。

僅就電場矢量而言，它可以在空間任意方向，但總可以分解成為垂直入射面（波矢量和界面法線構成的平面）和平行入射面的波.

前者稱為波，即波

顯然波的電強矢量垂直入射面而磁場矢量平行入射面。

后者稱為波，即波。波的電強矢量平行于入射面而磁場矢量垂直于入射面。

，符合右手規(guī)則。

圖1－2和圖1－3分別表示波和波兩種情況。

菲涅耳同樣利用邊值條件得出反射系數(shù)和透射系數(shù)?？紤]到光與物質(zhì)的作用，起主導作用的是電場而不是磁場。近代物理光學中，都把電場矢量定義為光波的光矢量，光的振動方向就是指光波電場矢量的方向。利用公式（1－3）和關系式

（1－35）將磁場矢量用電場矢量描述。

2S波的反射系數(shù)和透射系數(shù)（1－36）（1－37）3、P波的反射系數(shù)和透射系數(shù)

（1－38）

（1－39）4、反射率和透射率

光波在分界面反射和折射時，宏觀表現(xiàn)為能量密度之比，稱之為反射率和透射率.

由公式（1－23）知能量密度之比正比于T

.由公式（1－23）知能量密度之比正比于。即（1－40）根據(jù)能量守衡定律，應有（1－41）對于自然光同樣根據(jù)能量守恒定律，有（1－42）5、菲涅耳公式的討論由公式（1－36）－（1－39）可以看出，反射系數(shù)、透射系數(shù)是光矢量中標量間的比值，

與入射角成函數(shù)關系

（按折射定律由確定）。

不同的入射角，反射透射系數(shù)不同。系數(shù)和圖1－4分別給出光波

由空氣射向折射率n＝1.5的

介質(zhì)和光波由折射率n＝1.5的介質(zhì)射向空氣時，

反射系數(shù)、透射系數(shù)和入射角的關系曲線。

光波由空氣射向折射率n＝1.5的介質(zhì)時，反射率和入射角的關系曲線。

圖1－5給出系數(shù)和透射系數(shù)雖然是光矢量中標量間的比值由公式（1—36）－（1—39）可以看出，反射，但是不同的入射角比值可能出現(xiàn)正數(shù)、負數(shù)、零和復數(shù)。這些均有特殊的物理意義。1）光波由空氣垂直入射到介質(zhì)表面時的反射率（1－43）

圖1-52）偏振現(xiàn)象—布儒斯特角當時，

=0

即反射光中沒有P波，為線偏振光，

此結果稱之為（BREWSTER）布儒斯特定律。

起偏角或布儒斯特角，

此時的入射角稱為計為。

將代入折射定律得：（1－44）3）半波損失光波由折射率為的光疏介質(zhì)射向折射率為的光密介質(zhì)

（即）

時，反射波有π的位相變化，稱之為半波損失。4）全反射和倏逝波

光波由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)

（即）時，

根據(jù)折射定律，若折射角時，入射角有如下關系此時入射角用表示，即表示，即

(1－45)稱為全反射臨界角。凡是入射角大于的入射光波全部被界面反射，透射波消失，稱之為全反射。全反射時，界面處的光矢量中的波數(shù)k為復數(shù)

透射波是一個沿界面方向傳播，振幅沿界面法線方向按指數(shù)衰減的波，稱之為倏逝波?！?－4亥姆霍茲方程的物理意義

光波在介質(zhì)中的傳播最后可簡化為單色光波（定態(tài)波）的傳播。亥姆霍茲方程可解決單色波在介質(zhì)中傳播的問題。也就是說亥姆霍茲方程是現(xiàn)代光學發(fā)展的理論基礎。一、光波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播由亥姆霍茲方程已解出光波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播的平面波和球面波的振幅表達式：（1－19）式和（1－21）式二、光波在各向同性均勻介質(zhì)中遇到障礙物時產(chǎn)生光的衍射現(xiàn)象光波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播時，若遇到障礙物時，會發(fā)生衍射現(xiàn)象，這個問題由基爾霍夫利用數(shù)學中的格林公式解波動方程得出菲涅耳－基爾霍夫衍射積分公式，它是標量波衍射的有效工具。三、菲涅耳－基爾霍夫衍射積分公式在數(shù)學上是一個付里葉變換式，從而產(chǎn)生了付里葉光學、光信息處理、全息術及光學傳遞函數(shù)等現(xiàn)代光學分支。四、激光諧振腔是一種法——珀干涉儀，腔內(nèi)是駐波場，腔外為行波場，光在腔外均勻介質(zhì)中傳播時，其振幅為多光束干涉衍射，利用菲涅耳－基爾霍夫衍射積分公式可得出激光束的振幅表達式。五、亥姆霍茲方程中波數(shù)k是一個重要的物理量，它與介質(zhì)折射率n有關，n又與介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導率有關。若遇到界面時，折射率n發(fā)生突變，這時應首先根據(jù)邊值條件（1－27）式求出反射波和透射波的光矢量，然后再根據(jù)亥姆霍茲方程求解光波在各自介質(zhì)中的傳播振幅表達式。六、光波亦可能在各向異性介質(zhì)中傳播，如在石英等晶體中傳播，折射率為張量，三個方向的折射率不等，分別用表示。在解亥姆霍茲方程時，會得到偏振光，這便是晶體光學和光偏振的理論基礎。七、光波亦可能在非均勻介質(zhì)中傳播，此時折射率n為變量。如在強激光的照射下，介質(zhì)折射率n變成非線性的，這就產(chǎn)生了非線性光學。又如為了校正象差，需要將介質(zhì)折射率做成按梯度變化，即所謂的梯度折射率光學等。這些新的光學分支均是按亥姆霍茲方程，將折射率做為變量求解光矢量的。八、如果在介質(zhì)上加上聲場、電場或磁場，使介質(zhì)折射率在某一方向發(fā)生周期變化，則會產(chǎn)生聲光、電光和磁光效應。這時同樣可用亥姆霍茲方程求解有關問題。九、根據(jù)界面全反射及亥姆霍茲方程，形成了光波導理論及纖維光學，同時考慮電光效應等又產(chǎn)生了集成光學、光通訊等新的光學分支。十、光柵是一種衍射原件，當光柵溝槽和間距比較大時，可用標量波衍射理論解決。但是，當溝槽和間距為波長級時，則應用矢量波衍射理論進行設計。現(xiàn)在比較成熟的是模式理論和共軛波理論。但是無論是標量波衍射理論還是矢量波衍射理論，均可根據(jù)亥姆霍茲方程求解。十一、最近出現(xiàn)的二元光學這一新的光學分支，它是基于光波的衍射理論，運用計算機輔助設計和精密加工工藝，刻蝕和制造高效率的衍射光學元件。所以二元光學又稱衍射光學，顯然它的理論基礎仍然是亥姆霍茲方程。綜上所述，可以看出亥姆霍茲方程和邊值條件是解決所有光學問題的理論基礎?！?－5光波的疊加兩個（或多個）光波在空間相遇時，發(fā)生光波的疊加問題。一般說來，頻率、振幅和位相都不相同的光波疊加，情況是很復雜的。實際光源發(fā)出的光波不可能是完全的單色波（定態(tài)波）。但是任何復雜的光波，均可用付里葉級數(shù)有關定理分解成不同級次的用正弦或余弦函數(shù)表示的單色光波之和。所以討論單色波的疊加問題是有實際意義的。為使問題簡化，本節(jié)只討論頻率相同或頻率相差很小的單色光波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播時的疊加。圖1-6

一、兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波疊加建立定態(tài)波（單色波）的數(shù)學模型，和力學中的質(zhì)點及電學中的點電荷一樣，需用δ函數(shù)表示點光源。點光源發(fā)出的球面光波即為單色光波。如圖1－6中，和為標準的點光源，點相遇，

它們發(fā)出的光波在空間設p點至和距離分別為

和

則此二光波在P點產(chǎn)生的振動分別為:（1－46）（1－47）兩光波在P點疊加后，P點的合成振動則為:（1－48）式中，（1－49）（1－50）可見，p點的合振動也是一個簡諧振動，其振動頻率和振動方向與兩單色波相同，而振幅和位相分別由（1－49）式和（1－50）式確定。若兩單色光波在p點產(chǎn)生的振幅相等，且令表示兩光波在p點的強度；P點的位相差，則p點合成光強為表示兩光波在（1－51）上式表示在P點疊加的合振動光強取決于兩光波在疊加后的位。當位相時，

P點光強最大。而當（1－53）p點光強有最小值。位相差介于兩者之間時，在0至

之間。p點光強兩光波在P點的位相差又可寫為即用表示兩光波在P點的光程差，則

時，即光程差等于波長的整數(shù)值時，P點光強為最大值。而（1－56）（1－55）時，即光程差為半波長的奇數(shù)倍時，P點光強有最小值。二、兩頻率相同，振動方向相同、傳播方向相反的光波的疊加，駐波兩單色光波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播時，若在空間某點疊加，有一種特殊情況，即兩單色光波頻率相同、振動方向相同，但傳播方向相反，此時產(chǎn)生一種特殊光學現(xiàn)象－駐波圖1-7設反射面為x=0的平面（如圖1－7所示），并假定反射面反射率很高，可以認為入射波和反射波的振幅相等。入射波和反射波的光矢量分別為（1－57）式中，是反射時的位相變化。入射波和反射波疊加后的合成振動為：（1－58）上式表示，對于x軸上每一點，隨時間的振動是頻率為w的簡諧振動，相應的振幅則隨x而變，為：（1－59）不同的x值將有不同的振幅。一系列振幅為零的點（這些點始終不振動）稱為波節(jié)。在相鄰兩個波節(jié)之間的中點是振幅最大點，稱為波腹。由式（1－59）可見，波節(jié)的位置由下式確定

(m=1,3,5……)（1－60）而波腹的位置由下式確定(m=0,2,4……)（1－61）顯然，相鄰兩波節(jié)或波腹間距離為

密介質(zhì)分界面上反射時，。光波在光疏介質(zhì)一光。因此在x=0的點形成一個波節(jié)，如圖1－7所示。由（1－58）式可以看出，位相因子與x無關，這一點與前面討論的向某一方向傳播的波（也稱行波）不同，方向傳播，故稱為駐波。它實際上表示這種波不會在另外，由于位相因子都有相同的位相，但是因為振幅因子與x無關，似乎表示所有點在波節(jié)處經(jīng)零值改變符號，所以在每個波節(jié)兩邊的振動位相是相反的。三、兩個頻率相同、振動方向互相垂直的光波疊加1、橢圓偏振光如圖1－8所示，假設點光源和

發(fā)出的單色光波的頻率相同，但振動方向不同，在各向同性均勻介質(zhì)中傳播，且和均位于x軸上，一個波的光矢量的振動方向平行于y軸，另一個波的光矢量振動方向平行于軸，現(xiàn)在考察垂直于x軸的任意平面上P點兩光波的疊加。兩光波在該處產(chǎn)生的光振動分別為(1－62)根據(jù)疊加原理，P點處的合成振動為

(1－63)

圖1-8（因為兩個振動分別在y方向和z方向，所以兩個振動疊加作矢量相加）?？梢钥闯觯险駝拥拇笮『头较蛞话闶请S時間變化的。消去參數(shù)t，得合振動矢量末端運動軌跡方程（1－64）一般說來，這是一個橢圓方程式，表示合成矢量末端的軌跡為一橢圓。此橢圓內(nèi)接于一長方形，長方形各邊與坐標軸平行，邊長為和（圖1－9）。

圖1-9可以證明，橢圓的長軸和y軸的夾角由下式確定（1－65）式中，是振動方向平行于z軸的光波和振動方向平行于y軸的光波的位相差。如果引入輔助角，使得（1－66）那么，（1－65）式可以寫成

(1－67)由于兩疊加光波的角頻率為w，顯然，P點合成矢量沿橢圓旋轉的角頻率也為w。將光矢量周期性地旋轉，其末端運動軌跡為一個橢圓的光波稱為橢圓偏振光。一般來講，兩個在同一方向上傳播的頻率相同、振動方向互相垂直的單色光波疊加，得到的是橢圓偏振光。2、幾種特殊情況圖1-10

圖1－10是根據(jù)（1－63）式畫出的與幾種不同偏振橢圓形狀。

值相對應的橢圓的形狀由位相差和振幅比值決定。在兩種特殊情況下，合成矢量的運動軌跡為直線，為線偏振光。即1）

（1－58）式變?yōu)椋?－68）表示合成矢量端點的運動沿著一條通過坐標原點而斜率為的直線進行，如圖1－10（a）所示。2）（1－10） 式變?yōu)椋?－69）表示合成矢量端點的運動沿著一條通過坐標原點而斜率為的直線進行，如圖1－10（e）所示。此外，當及其奇數(shù)倍時，（1－63）式變?yōu)椋?－70）這是一個標準的橢圓方程，表示一個長短半軸和坐標軸、

、重合的橢圓（圖1－10c、g）。若同時，則（1－70）式變?yōu)?，表示合成矢量端點的運動軌跡為一個圓，稱為圓偏振光。根據(jù)合成矢量的旋轉方向不同，可將橢圓偏振光分為左旋和右旋兩種。通常規(guī)定對著光的傳播方向（即-x方向）看去，合成矢量順時針方向旋轉時，偏振光是右旋的，反之是左旋的。偏振光的旋轉方向可由位相差

3、左旋和右旋δ確定。即當時為右旋，如圖（1－10f、g、h）所示；當時為左旋，如圖（1－10b、c、d）所示。四、兩頻率不同、振幅相同、振動方向相同的單色波的疊加現(xiàn)在討論兩個振幅相同、振動方向相同、傳播方向相同，而頻率相差很小的兩單色波的疊加。此時會產(chǎn)生光學上有意義的“光學拍”現(xiàn)象。

1、光學拍兩不同頻率的單色光波可由下面兩式表示合成波表達式為（1－71）式中，令（1－72）則

（1－73）于是合成波是一個角頻率為，而振幅受到調(diào)制的波。其振幅值隨時間和位置從-2a到2a間變化，是一個低頻調(diào)制波（如圖1－11所示）。當時，

很小，

雖然因為光頻很大無法直接探測，但可以探測調(diào)制波的強度變化。合成強度為因而振幅A變化緩慢。（1－74）可以看出，合成波的強度隨時間和位置在0和這種強度時大時小的現(xiàn)象稱為“拍”。在光學上稱為“光學拍”。拍頻等于間變化。，即兩單色疊加光波角頻率之差。由于光波頻率很高，觀測它的拍頻現(xiàn)象不如無線電波和聲波那么容易。1955年弗列斯特（A·forrester）等人利用磁場分裂譜線（塞曼效應）首次得到頻率差Hz的兩個光波，并使它們在光電混頻管的表面疊加產(chǎn)生拍頻。激光器的出現(xiàn)提供了具有良好單色性的光源，使光學拍頻現(xiàn)象的探測容易多了。現(xiàn)在光學拍的探測已成為檢測微小頻率差的一種特別靈敏而且簡單的方法。

2、群速度和相速度討論單色光波的傳播問題時，其傳播速度是指等相面的傳播速度，即相速度。對于兩頻率不同的光波組形成的合成波，由（1－71）式可知，除等相面的傳播速度外，尚有等幅面的傳播速度（單色光波兩者相等）。合成波的相速度為（1－75）群速度為（1－76）群速度是振幅恒定點的移動速度。若疊加的兩個光波在無色散的真空中傳播，由于兩個波的速度相同，因而合成波是一個波形穩(wěn)定的拍，群速度和相速度相等。但若光波在色散介質(zhì)中傳播時，不同頻率的光的傳播速度不等，其合成波的波形在傳播過程中不斷發(fā)生微小變化，很難確定合成波的群速度。不，且時，合成波的波形變化緩慢，可仍

過當用合成振幅恒定點的移動速度定義群速度。顯然，合成波振幅最大點的移動速度即為合成波的群速度，可由求出，即按（1－76）式計算。當很小時，

（1－77）因此群速度和相速度的關系為（1－78）將代入，得（1－79）上式表明，越大，即光波的相速度隨波長的變化越大，群速度和相速度相差越大。若的波比波長短的波相速度大（正常色散），群速度小于相速度；即波長長若

（反常色散），群速度大于相速度。對于無色散介質(zhì)，群速度等于相速度。由于群速度是振幅最大點的移動速度，而光波的強度與振