截面的幾何性質(zhì)

關(guān)于截面的幾何性質(zhì)第1頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三I.1.1靜矩（面積矩）I.1截面的靜矩和形心1、定義dA對(duì)y軸的微靜矩:2、量綱：［長(zhǎng)度］3；單位：m3、cm3、mm3。dA對(duì)x軸的微靜矩:3、靜矩的值可以是正值、負(fù)值、或零。OxydA

xy第2頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三4、靜矩和形心的關(guān)系平面圖形的形心公式結(jié)論：

圖形對(duì)過形心的軸的靜矩為零。

若圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。靜矩和形心的關(guān)系xyO

dA

xyxCCyC第3頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三組合圖形:由若干個(gè)基本圖形組合而成的圖形基本圖形:面積、形心位置已知的圖形I.1.2組合圖形的靜矩：組合圖形對(duì)于某一軸的靜矩，等于圖形各組成部分對(duì)于同一軸靜矩之代數(shù)和。第4頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例Ⅰ-1

求圖示半圓形的靜矩Sx、Sy。解：由對(duì)稱性取平行于

x軸的狹長(zhǎng)條作為微面積dAORxyydy第5頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三I.2慣性矩慣性積1、定義：dA對(duì)x軸的慣性矩:dA對(duì)y軸的慣性矩:2、量綱：m4、mm4。3、慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩：（對(duì)O點(diǎn)而言）圖形對(duì)x

軸的慣性矩:圖形對(duì)y

軸的慣性矩:I.2.1慣性矩

OxydA

xy

圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。第6頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三bhxccyc⑴圓形截面的慣性矩：實(shí)心（直徑D）空心（外徑D，內(nèi)徑d）⑵矩形截面的慣性矩：bdyhdx6、慣性半徑：第7頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三1、定義：2、量綱：［長(zhǎng)度］4，單位：m4、mm4。3、慣性積是對(duì)軸而言。4、慣性積的取值為正值、負(fù)值、零。5、規(guī)律：

兩坐標(biāo)軸中，只要有一個(gè)軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零。I.2.2慣性積

OxydA

xy第8頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三I.3

平行移軸公式I.3.1平行移軸公式

圖形截面積A，形心坐標(biāo)xc、yc

，對(duì)形心軸的慣性矩和慣性積分別為Ixc、Iyc、Ixcyc，a、b已知。xc

軸平行于x軸；yc軸平行于y軸。求：Iz、Iy。xyOCbaycxcdAycxcxy同理第9頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三xyOCbaycxcdAycxcxy——平行移軸公式注意：xC、yC

為形心軸

a、b為圖形形心C在Oxy坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負(fù)第10頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三I.3.2組合截面的慣性矩慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得

組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：例I-2求T形截面對(duì)其形心軸yc

的慣性矩。解：將截面分成兩個(gè)矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對(duì)稱軸zc

上。取過矩形2的形心且平行于底邊的y軸作為參考軸形心坐標(biāo)zC第11頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三2014010020zcycy12zC第12頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例I-3

求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。解：xydycCxcb(y)取平行于

x軸的狹長(zhǎng)條作為微面積dA求對(duì)形心軸xc

的慣性矩由平行移軸公式得：第13頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例I-4試求圖示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。1、矩形對(duì)x

軸的慣性矩：2、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸的慣性矩xyCd=8040100a=10040

a+2d3p3、一個(gè)半圓對(duì)x

的慣性矩4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩第14頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三I.4.1轉(zhuǎn)軸公式

I.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸主慣性矩dA

在坐標(biāo)系Oxy的坐標(biāo)為（x，y

）慣性矩定義xyOxyAdAx1y1a已知：Ix、Iy、Ixy。

求：Ix1、Iy1、Ix1y1。ax1y1dA

在坐標(biāo)系Ox1y1的坐標(biāo)（x1，

y1

）BDEC第15頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三

利用二倍角函數(shù)，得轉(zhuǎn)軸公式：的符號(hào)為：從x軸至x1軸逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。表明:截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩前兩式相加第16頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三I.4.2主慣性軸和主慣性矩令可求得a0

和a0+90?

兩個(gè)角度，從而確定兩根軸x0，y0，且第17頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三由求出代入轉(zhuǎn)軸公式可得：2、主慣性矩（主矩）：

圖形對(duì)主軸的慣性矩Ix0、Iy0稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對(duì)過該點(diǎn)的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。由此引出幾個(gè)概念：1、主慣性軸（主軸）：

如果圖形對(duì)過某點(diǎn)的某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，則該對(duì)軸為圖形過該點(diǎn)的主慣性軸。（Ix0y0=0，x0，y0

軸為主軸）。第18頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三3、形心主慣性軸（形心主軸）：

如果圖形的兩個(gè)主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（Ixcyc=0。xc、yc

為形心軸。xc、yc

為形心主軸）。4、形心主慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。（Ixc、Iyc）。幾個(gè)結(jié)論:

若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。

若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。

若截面有三根對(duì)稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。第19頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三求截面形心主慣性矩的基本步驟1)、建立坐標(biāo)系。2)、求形心位置。3)、建立形心坐標(biāo)系，并求：Iyc

，Ixc

，Ixcyc4)、確定形心主軸位置——

0

：5)、求形心主慣性矩第20頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例I-5確定圖示截面的形心主慣性軸位置，并計(jì)算形心主慣性矩。解：(1)首先確定圖形的形心。矩形I：11707080801111IIIIII11Cxy

利用平行移軸公式分別求出各矩形對(duì)x

軸和