北京市房山區(qū)長(zhǎng)溝中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

北京市房山區(qū)長(zhǎng)溝中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)平面與平面相交于直線m，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分不必要條件參考答案：A【詳解】試題分析：α⊥β，b⊥m又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.2.如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有（

）種A．72

B．60

C．48

D．24參考答案：A3.甲、乙兩人約定上午7:20至8:00之間到某站乘公共汽車，在這段時(shí)間內(nèi)有3班公共汽車，它們開車的時(shí)刻分別是7：40、7：50和8：00，甲、乙兩人約定，見車就乘，則甲、乙同乘一車的概率為（假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻是互相不牽連的，且每人在7:20至8:00時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車站都是等可能的）

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．已知在平行四邊形ABCD中（如圖1），有AC2+BD2=2（AB2+AD2），則在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中（如圖2），AC12+BD12+CA12+DB12等于（）A．2（AB2+AD2+AA12） B．3（AB2+AD2+AA12）C．4（AB2+AD2+AA12） D．4（AB2+AD2）參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)，可以得到它的各個(gè)面以及它的對(duì)角面均為平行四邊形，多次使用已知條件中的定理，再將所得等式相加，可以計(jì)算出正確結(jié)論．【解答】解：如圖，平行六面體的各個(gè)面以及對(duì)角面都是平行四邊形，因此，在平行四邊形ABCD中，AC2+BD2=2（AB2+AD2）…①；在平行四邊形ACC1A1中，A1C2+AC12=2（AC2+AA12）…②；在平行四邊形BDD1B1中，B1D2+BD12=2（BD2+BB12）…③；②、③相加，得A1C2+AC12+B1D2+BD12=2（AC2+AA12）+2（BD2+BB12）…④將①代入④，再結(jié)合AA1=BB1得，AC12+B1D2+A1C2+BD12=4（AB2+AD2+AA12）故選C．5.已知(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點(diǎn),則l的方程是 （） A.x＋2y+8＝0 B.x＋2y－8＝0 C.x-2y－8＝0 D.x-2y+8＝0參考答案：B6.若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式＞0的解集是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B8.設(shè)α、β、γ為兩兩不重合的平面，l、m、n為兩兩不重合的直線．給出下列四個(gè)命題：①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；

②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，l?α，則l∥β；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：B略9.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于(

)A．13

B．35

C．49

D．63

參考答案：C10.已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O所得的截面面積為()A．

B．π

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，則一只小蟲從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到C1點(diǎn)的最短距離是

.參考答案：略12.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為______參考答案：13.已知，，且，則的最大值是

．參考答案：14.完成下列進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化：101101=

參考答案：6315.命題“存在有理數(shù)，使”的否定為

.參考答案：任意有理數(shù)，使略16.設(shè)x∈R，則“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的

條件．參考答案：充分而不必要【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由2x2+x﹣1＞0，解得，或x＜﹣1．即可判斷出．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，解得，或x＜﹣1．∴“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要條件．故答案為：充分而不必要．17.在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共

種（用數(shù)字作答）．參考答案：4186【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，至少有3件次品可分為有3件次品與有4件次品兩種情況，有4件次品抽法C44C461，有3件次品的抽法C43C462，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意，“至少有3件次品”可分為“有3件次品”與“有4件次品”兩種情況，有4件次品抽法C44C461有3件次品的抽法C43C462共有C44C461+C43C462=4186種不同抽法故答案為：4186【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，本題解題的關(guān)鍵是注意至少有3件次品包括2中情況，不要寫出三種情況的錯(cuò)解，即加上有5件次品，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.q:曲線參考答案：19.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）把f（x）用分段函數(shù)來表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值為f（），再根據(jù)f（）＜4a﹣2a2，求得a的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集為{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2有解，由（1）可得f（x）的最小值為f（）=﹣3?﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2，求得﹣＜a＜．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）證明：PA∥平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】證明題．【分析】（1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）證明：連接AC，AC交BD于O．連接EO．∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．∴在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO，∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）證明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線線、線面平行和垂直的相互轉(zhuǎn)化，通過中位線證明線線平行，再由線面平行的判定得到線面平行；垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化是由線面垂直的定義和判定定理實(shí)現(xiàn)．21.已知f(x)為定義在[－1,1]上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為.（1）求b的值，并求出f(x)在(0,1]上的解析式；（2）若對(duì)任意的，總有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為.所以，解得，即當(dāng)時(shí)的解析式，當(dāng)時(shí)，，所以又因?yàn)椋?----------------------------------（6分）（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則易得出當(dāng)時(shí)，y有最小值-2，即在上的最小值為-2，因?yàn)閷?duì)任意的，總有，所以.----------------------------------(12分)

22.2018年4月全國青少年足球超級(jí)聯(lián)賽火爆開啟，這是體育與教育的強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手，這是培養(yǎng)足球運(yùn)動(dòng)員的黃金搖籃，也是全國青少年足球的盛宴．組委會(huì)在某場(chǎng)聯(lián)賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了300名觀眾進(jìn)行對(duì)足球“喜愛度”的調(diào)查評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：[64，70），[70，76），[76，82），[82，88），[88，94），[94，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值并估計(jì)這300名觀眾評(píng)分的中位數(shù)；（2）若評(píng)分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現(xiàn)從“足球迷”中按區(qū)間[88，94）與[94，100]兩部分按分層抽樣抽取5人，然后再從中任意選取兩人作進(jìn)一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)間[94，100]的概率．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)所有小矩形的面積和為1，列方程求解可得，利用直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)表示中位數(shù)；（2）列舉出從5人中選取2人作進(jìn)一步的訪談的所有事件共有10個(gè)，以及這兩人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)間的基本事件有7個(gè)，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．設(shè)y為觀眾評(píng)分的中位數(shù)，由前三組的概率和為0.40，前四組的概率和為0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，則y＝84．（2）以樣本的頻率作為概率，評(píng)分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現(xiàn)從“足球迷”中按分層抽樣抽取5人，則從評(píng)分在區(qū)間[88，94)的“足球迷”中抽取3人，記為A，B，C，從評(píng)分在區(qū)間[94，100]的“足球迷”中抽取2人，記為a，b．從5人中選取2人作進(jìn)一步的訪談的所有事件為AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10個(gè)基本事件，這兩人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)間[94，100]的基本事件有Aa