湖南省郴州市桂陽東風中學2021年高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析

湖南省郴州市桂陽東風中學2021年高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中，若前10項的和S10=60，且a7=7，則a4=（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5參考答案：C【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由已知列關于首項和公差的方程組，求解方程組得到首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，∵S10=60，a7=7，∴，解得，∴．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的前n項和，是基礎的計算題．2.若變量x,y滿足約束條件

則z=2x+y的最大值為（A）1

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：C3.若樣本的方差是，則樣本的方差為

（

）A.3+1

B.

9+1

C.9+3

D.9參考答案：D略4.下列說法正確的是(

)A．a(chǎn)2＞b2是a＞b的必要條件B．“若a∈（0，1），則關于x的不等式ax2+2ax+1＞0解集為R”的逆命題為真C．“若a，b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)”的否命題為假D．“已知a，b∈R，若a+b≠3，則a≠2或b≠1”的逆否命題為真參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】綜合題；簡易邏輯．【分析】對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．【解答】解：A，當a=﹣2，b=1時，a2＞b2成立，但a＞b不成立，即“a2＞b2”是“a＞b”的不充分條件；當a=1，b=﹣1時，a＞b成立，但a2＞b2不成立，即“a2＞b2”是“a＞b”的不必要條件，故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要條件，故不正確；B，由命題p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集為R可得a＞0且4a2﹣4a＜0，或者a=0，解得0≤a＜1，故不正確；C，命題“若a，b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)”的否命題為：若a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)，正確；D，“若a+b≠3，則a≠1或b≠2”的逆否命題是：“若a=1且b=2，則a+b=3”是真命題，正確．故選：D．【點評】本題考查命題真假的判斷，四種命題的關系，以及原命題與它的逆否命題真假性相同的應用，屬于中檔題．5.已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，記為點，點與點分別為曲線上的點，則的最小值為（

）A．

B．8

C.

D．參考答案：B由題意得，解得由拋物線定義得,其中為拋物線準線，因此最小值為，選B.點睛：1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線距離處理．2．若為拋物線上一點，由定義易得；若過焦點的弦AB的端點坐標為，則弦長為可由根與系數(shù)的關系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結合的方法類似地得到．6.在等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．3

B．

C．–3

D．9參考答案：B略7.如圖，已知拋物線和圓，直線l經(jīng)過C1的焦點F，自上而下依次交C1和C2于A，B，C，D四點，則的值為A．

B．

C．1

D．2參考答案：C8.設集合A={x|lg（10﹣x2）＞0}，集合B={x|2x＜}，則A∩B=（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，﹣1） D．（1，3）參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中l(wèi)g（10﹣x2）＞0=lg1，得到10﹣x2＞1，解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），由B中不等式變形得：2x＜=2﹣1，得到x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1），則A∩B=（﹣3，﹣1），故選：C．9.已知函數(shù)f（x）=asinx﹣bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）的圖象關于x=對稱，則函數(shù)y=f（﹣x）是（）A．偶函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱B．偶函數(shù)且它的圖象關于點對稱C．奇函數(shù)且它的圖象關于點對稱D．奇函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱參考答案：D【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的對稱性求出b=﹣a，然后求出函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）的圖象關于直線對稱，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，則a+b=0，b=﹣a，則f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，則=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx為奇函數(shù)，且圖象關于點（π，0）對稱，故選：D．10.如圖，橢圓的焦點為，過的直線交橢圓于兩點，交軸于點.若是線段的三等分點，則的周長為（

）A．20

B．10

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角銹蝕，其中米，米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形內(nèi)截取一個矩形塊，使點在邊上.則矩形面積的最大值為____

平方米.參考答案：12.圓上動點到直線距離的最小值為_______．參考答案：略13.（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線x2=2py（p＞0）上縱坐標為2的一點到焦點的距離為3，則拋物線的焦點坐標為．參考答案：（0，1）【考點】：拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：先根據(jù)拋物線的方程求得準線的方程，進而利用點A的縱坐標求得點A到準線的距離，進而根據(jù)拋物線的定義求得答案．解：依題意可知拋物線的準線方程為y=﹣∵拋物線x2=2py（p＞0）上縱坐標為2的一點到焦點的距離為3，∴縱坐標為2的一點到準線的距離為+2=3，解得p=2．∴拋物線焦點（0，1）．故答案為：（0，1）．【點評】：本題主要考查了拋物線的定義的運用．考查了學生對拋物線基礎知識的掌握．屬基礎題．14.已知雙曲線的焦距為，右頂點為A，拋物線的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為。參考答案：由題意知，拋物線準線與雙曲線的一個交點坐標為，即代入雙曲線方程為，得，漸近線方程為.15.

.ks5u

參考答案：無略16.數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是

▲

參考答案：(2,3)17.由一個數(shù)列中部分項按原來次序排列的數(shù)列叫做這個數(shù)列的子數(shù)列，試在無窮等比數(shù)列，，，…中找出一個無窮等比的子數(shù)列，使它所有項的和為，則此子數(shù)列的通項公式為__________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C丄側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H為棱CC1的中點，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求證：D為BB1的中點；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法．【專題】方程思想；向量法；空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）建立坐標系，求出向量坐標，利用線面垂直的性質(zhì)建立方程關系即可證明D為BB1的中點；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：連接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中點，∴AH⊥CC1，從而AH⊥AA1，∵側(cè)面AA1C1C丄側(cè)面ABB1A1，面AA1C1C∩側(cè)面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A為原點，建立空間直角坐標系如圖，設AB=，則AA1=2，則A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），則=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1?丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，則?=（，2，0）?（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D為BB1的中點；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），設平面C1A1D的法向量為=（x，y，z），則由?=x﹣y=0），?=﹣y+z=0，得，令x=3，則y=3，z=，=（3，3，），顯然平面A1DA的法向量為==（0，0，），則cos＜，＞===，即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．【點評】本題主要考查空間直線和平面位置關系的判斷以及二面角的求解，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．綜合性較強，運算量較大．19.（12分）已知函數(shù)f（x）=x2++alnx（x＞0，a為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)g（x）=f（x）﹣x2的單調(diào)性；（2）對任意兩個不相等的正數(shù)x1、x2，求證：當a≤0時，．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）構造，求出t（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1），∴．①當a≤0時，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；②當a＞0時，，當時，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；當時，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．∴當a＞0時，g（x）在上為減函數(shù)，g（x）在上為增函數(shù)．（2）證明：以x1為自變量，構造．∴，又，=，∵，∴．故當x∈（0，x2）時，t'（x）＜0，t（x）為減函數(shù)；當x∈（x2，+∞）時，t'（x）＞0，t（x）為增函數(shù)．故對一切x∈（0，+∞），t（x）≥t（x2）=0．當且僅當x=x2時取等號．題中x1≠x2，故t（x1）＞0恒成立．得證．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．20.已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）當時，函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求數(shù)a的取值范圍參考答案：（Ⅱ），∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，只需2a不大于在上的最小值即可． 8分而，則當時，，∴，即，故實數(shù)a的取值范圍是． 10分（Ⅲ）因圖象上的點在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，即當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可．由，（?。┊敃r，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．（ⅱ）當時，由，令，得或，①若，即時，在區(qū)間上，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上無最大值，不滿足條件；②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．（ⅲ）當時，由，因，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立． 14分

略21.設是數(shù)列的前n項，點在直線。

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記，數(shù)列的前n項和為Tn，求使的n的最小值；

（3）設正項數(shù)列滿足求數(shù)列中的最大項。參考答案：解：（1）依題可得：，且當時，………1分

兩式相減可得：

……2分

又時，

………3分

∴

………………4分（2）由（1）可知，∴

……………5分

由…………6分

∴當…8分

∴使的n的最小值為：1007。（3）由（1）和可知：

…9分∴…10分令

∴當時，11分

∴當時，單調(diào)遞減，

∴當時，單調(diào)遞減，∴，

又，

∴，

∴數(shù)列中的最大項為：

……12分略22.已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是邊長為2的等邊三角形，．（Ⅰ）求證：平面PAM⊥平面PDM；（Ⅱ）若點E為PC中點，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明DM⊥AM．DM⊥PA，推出DM⊥平面PAM，即可證明平面PAM⊥平面PDM．（Ⅱ）以D為原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，過D且與PA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面PMD的法向量，平面MDE的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角P﹣MD﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵△ABM是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，∴，又，∴CM=3，