高三數(shù)學第1講集合與常用邏輯用語講義

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?？夹☆}的幾種類型

第1講集合與常用邏輯用語

「考情研析」1.集合多以給定的集合、不等式解集為載體，以集合語言和

符號語言為表現(xiàn)形式，考查集合的交、并、補運算，常利用韋恩(Venn)圖或數(shù)軸

表示集合的關(guān)系及運算.2.常用邏輯用語部分多與其他知識結(jié)合，考查含有邏

輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，及充分、必要條件.主要以選擇題或填空題形式出

現(xiàn)，分值一般為5分.

核心知識回顧

1.集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論

⑴AUA=RH~|A,AU0=畫A,AUB=BUA；

⑵AAA=?A,AA0=畫巴AnB=BAA;

⑶40(［以)=畫巴電(［以)=畫0；

(4)AC8=A臺畫倏5AUB=A臺麗8NA.

2.四種命題及其關(guān)系

(1)四種命題

若原命題為“若P，則4"，則其逆命題是畫若4,則〃;否命題是阿若㈱

P,則^如逆否命題是畫若㈱9,則㈱，

(2)四種命題間的關(guān)系

3.命題“八夕、pVq、㈱〃的真假判斷

PqpAqpvq球

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

4.充分條件與必要條件

(1)如果〃今4,則〃是4的叵］充分條件,4是〃的網(wǎng)必要條件.

(2)如果〃=q,q=p,則〃是4的函］充要條件.

(3)充分條件與必要條件的三種判定方法

正、反方向推理，若pOq,則，是4的充分條件(或4是〃的必要條件)；

定義法若且4書P，則〃是4的充分不必要條件(或夕是〃的必要不充分

條件)

利用集合間的包含關(guān)系.例如，若則A是8的充分條件仍是A

集合法

的必要條件)；若A=8,則A是8的充要條件

等價法將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題

熱點考向探究

考向1集合的概念及運算

例1(1)(2020?河北省衡水中學一模)設(shè)集合A=合,2,4},B={x\^-4x+m=

0}.若AC8={1},貝IJ8=()

A.{1,-3}B.{1,0}

C.{1,3}D.{1,5}

答案C

解析集合A={1,2,4},8={x*—4x+m=0},An8={l},是方程

x2-4x+/*=0的解，即1一4+"?=0,.'.m=3,B={A|X2-4x+z/z=0}={x\x2-

4X+3=0}={1,3}.

(2)(2020.湖南省頂級名校高三第七次大聯(lián)考)已知全集U=Z,A={1,2,3,4},

B={x|(x+l)(x-3)>0,x€Z},貝ljAn([uB)=()

A.{1,2}B.{2,3}

C.{1,2,3}D.{1,2,3,4)

答案C

解析由于{x[(x+1)(無一3)忘0,xWZ}={x|-1WXW3,x€Z}={-

1,0,1,2,3},貝IJAA([M)={1,2,3},故選C.

(3)已知集合加={比；=園一回，N={x|y=ln(f—x)},則MCN=()

A.RB.{x|x>l}

C.{x|x<0}D.或x<0}

答案B

解析-：M={y|y=W-x}=(y\y^0},N={x|y=In(x2-x)}=[x\x2-A：>0)=

{x|x>l或x<0},.,.MnN={4r>1},故選B.

(4)(2020.湖南省長郡中學高三第三次適應(yīng)性考試)已知集合A={x}x2-

2xW0},B={x|l<3x<81},C={x\x=2n,n€N},貝女AU8)CC=()

A.{0,2,4}B.{2,4}

C.{0,2}D.{2}

答案C

解析由/—2x〈0,得0WxW2,.,.A={x|0WxW2}.由1<3'<81,得0<r<4,

.?,B={x|0<x<4},：.AUB={x\Q^x<4},又C={x\x=2n,/JEN},/.(AUB)nC

={0,2}.

方法指導]

正確理解集合中元素的含義，確定集合的元素，理清運算順序，尤其是含有

補集的混合運算，應(yīng)先求補集，有些集合是可以化簡的，應(yīng)先化簡再研究其關(guān)系

并進行運算.

臉對點精練

1.設(shè)集合A={九斤+3%-4忘0},B={x|log3x<0},貝1]ACB=()

A.[-4,1]B.[-4,3]

C.(0,1]D.(0,3]

答案C

解析由題意得人=[-4,1],8=(0,1],所以AnB=(0』].故選C.

2.(2020.山東省煙臺市高三適應(yīng)性訓練)已知集合M={x€N|x<6},A={-2,

-1,0,1,2},3={y|y=/,xEA},則[”8=()

A.{2,5,6}B,{2,3,6}

C.{2,3,5,6}D.{0,2,3,5,6)

答案C

解析根據(jù)題意，B={y|y=/,xWA}={0,1,4},所以[“8={2,3,5,6}.

3.已知集合人4出2—2》卡〉。},8=3>=f+三，則AnB=()

A.I，+8)B.(1,+8)

C.1)D.1)U(1,+8)

答案D

解析,--/I={X|J?-2A+l>0}={x|x^l},B=p1y=x2+||=1,y|>1>|j,：.AC\B

=；小鳥且無#1]=J,1)U(1,+8).故選D.

考向2命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞

例2(1)(2020?山東師范大學附中月考)已知命題p："mxoWR,寸。-耳-

IWO”，則命題㈱.為()

A.Vx€R,ex-x-l>0B.Vx^R,e^-x-l>0

C.Vx€R,cv—x—1^0D.5xo€R,evo—xo_1>0

答案A

解析二.特稱命題的否定是全稱命題，并且改量詞，否結(jié)論，..?命題P："三

xo€R,e'o一四一1W0”的否定為“\/x€R,，故選A.

(2)(2020?陜西西安中學3月線上考試)已知命題p：若&>步|,則命題或

m,〃是直線，a為平面，若〃?//a,〃<=%則根//〃.下列命題為真命題的是()

A.p/\qB.pA(㈱q)

C.(㈱p)AqD.(㈱p)A(A第q)

答案B

解析對于命題P，由。>族|20,可得到aa泌2,故命題。為真命題；對于命

題以由直線〃z//a,〃Ua,可得直線加，〃可能為異面直線，也可能為平行直線,

故命題q為假命題，所以㈱4為真命題，利用真值表可知p/\(㈱/為真命題，故

選B.

方法指導］

(1)看到命題真假的判斷，想到利用反例和命題的等價性.

(2)看到命題形式的改寫，想到各種命題的結(jié)構(gòu)，尤其是特稱命題、全稱命題

的否定，要改變的兩個地方.

(3)看到含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，想到聯(lián)結(jié)詞的含義.

(4)已知含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟：

①求出當命題P，4為真命題時所含參數(shù)的取值范圍；

②根據(jù)復合命題的真假判斷命題P，4的真假性；

③根據(jù)命題P，4的真假情況，利用集合的交集、并集和補集的運算求解參數(shù)

的取值范圍.

勵對點精練

1.若命題P：3XO€R,使得蝠+OW)+1W0為真命題，則實數(shù)。的取值范圍

是（）

A.[2,+8）B.（-8,,2]

C.[-2,2]D.（-8,-2]U[2,+8）

答案D

解析解法一：（間接法）因為命題p：mxoWR,使得"+axo+lWO為真命題，

所以㈱p：V尤6R,*+以+1>0為假命題，而"V九6R,/+以+1〉0”的充要

條件為層-4<0,即-2<。<2,所以要使〃為真命題，只需aW-2或故選

D.

解法二：（直接法）令/）=f+如+1,由于三光o€R,使得"+OTO+1W0為

真命題，故只需[=層一420,解得“W-2或。22,故選D.

2.（2020.湖南長沙明德中學3月月考）下列說法正確的是（）

7T1Jri

A.“若a=不則sina=￡"的否命題是"若a=4,則sinaW]”

B.若命題p,㈱q均為真命題，則命題“八夕為真命題

C.命題p：“mxoWR,焉一次一5>0”的否定為㈱p：“VX€R,X2—X-5W0”

TT

D.在△ABC中，"。=]”是“sim4=cosB”的充要條件

答案C

7rl7TI

解析“若。=不則sina=,'的否命題是“若aW不貝心inaW,',所以A

不正確；若命題P，㈱q均為真命題，則q是假命題，所以命題p/\q為假命題，

所以B不正確；命題p：“mxoWR,而-次-5>0”的否定為㈱p：aX/xER,x2

兀兀7E

—X—5W0”，所以C正確;在△ABC中，C=2OA+B=50A=2—8=>siiL4=cosB,

,JIJITT

反之，siiM=cosB0A+B=5或A=E+B,貝IJC=]不一定成立，所以“C=i”是

“sin/l=cos3”的充分不必要條件，所以D不正確.故選C.

考向3充要條件的判斷

例3⑴（2020?山東省聊城市高三聯(lián)考）已知兩個平面a,p,直線K則“/

W是“alls”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由“a//￡,/Ua”一定得到“///4”，即必要性成立；反之，根據(jù)平

面與平面平行的判定定理，可知由“///4，lUa”不一定得到“a///?”，即充分

性不成立.所以“IW是“all0”的必要不充分條件.

(2)“a=0”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析./U)的定義域為3x#0},關(guān)于原點對稱，當。=0時，危)=siar-

；(-x)=sin(-x)-'7=-sinx+；=—(siiir-一八九)，故人幻為奇函數(shù)；反之，

當於)=sim+a為奇函數(shù)時，.八—x)+危)=0,又.八-x)+段)=sin(一x)-」二+

人—X

a+siru_：+a=2凡故a=0,所以“〃=0”是“函數(shù)於)=sinx-《+a為奇函數(shù)”

的充要條件.故選C.

(3)已知條件p：|x-4|W6;條件q:(x-l)2-m2^0(m>0).若。是q的充分不

必要條件，則〃?的取值范圍是()

A.[21,+8)B.[19,+8)

C.[9,+8)D.(0,+8)

答案C

解析由題意，得P：-2&W10,夕：1-加《+/九由〃是q的充分不必

\—mW—2,

要條件，得[l-m,1+m],所以，且等號不可以同時取

1+機孑10

得，所以根29,故選C.

方法指導］充要條件的判斷方法

（1）定義法：分三步進行，第一步，分清條件和結(jié)論；第二步，判斷p=＞q及

的真假；第三步，下結(jié)論.

（2）等價法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個等價且容易判斷真假的命題，一般地，這類

問題由幾個充分必要條件混雜在一起，可以畫出關(guān)系圖，運用邏輯推理判斷真假.

（3）集合法：寫出集合A=｛x|p（x）｝及8=｛x|q（x）｝,利用集合之間的包含關(guān)系加

以判斷.

■對點精練

1.設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,貝是"｛z｝是遞減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案D

nn｝n

解析an+\-an=a\q-a\q~=a\q~\q-1）,而ai的正負性未定，故無法判

斷數(shù)列伍”｝的單調(diào)性，因此"0＜夕＜1”是“｛“，｝是遞減數(shù)列”的既不充分也不必要條

件.

2.（2020?遼寧省沈陽市三模）設(shè)函數(shù)於）=cos2%+加加,則*=0"是"外）

的最小正周期為?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

.、1+cos2x

解析當。=0時，函數(shù)y（x）=cos-x+加iiu=cos2x=2，所以函數(shù)的最

2兀-1+cos2r

小正周期為受=兀，.*x）=cos~x+Asiax=j+bsinx,當8W0時，函數(shù)的最

小正周期為兀和2兀的最小公倍數(shù)，即為2無，當函數(shù)的最小正周期為兀時，可得

人=0,故函數(shù)於）=cos2“+加inx,則*=0”是"於）的最小正周期為無”的充要

條件.故選C.

3.（2020.河南六市第二次聯(lián)合調(diào)研）南北朝時期的偉大科學家祖唯在數(shù)學上有

突出貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖晅原理：“帚勢既同，則積不容異”，其含

義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意平

面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如

圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為%,%,被平行于這兩個

平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為S,S2,則“S,S2不總相等”是“0,

V2不相等”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析如果“Si,S2不總相等”，那么“也，W不相等”的等價命題是：如

果“口，％相等”，那么“Si,S2總相等"，根據(jù)祖唯原理，當兩個截面的面積

S,S2總相等時，這兩個幾何體的體積%相等，所以逆命題為真，則是必要

條件，當兩個三棱臺，一正一反的放在兩個平行平面之間時，此時體積相等，但

截得截面面積未必相等，故不是充分條件，所以“S,S2不總相等”是“Vi,V2

不相等”的必要不充分條件.故選B.

真題“押題

『真題檢驗』

1.(2020.新高考卷I)設(shè)集合A={x|lWxW3},B={x|2a<4}』ljAU8=()

A.{x|2<rW3}B.{尤|2WxW3}

C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

答案C

解析AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4),故選C.

2.(2020?全國卷II)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A=[-1,0,1},8={1,2},

則[u(AUB)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3)

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

答案A

解析由題意可得AUB={-l,0,l,2},則[u(AUB)={-2,3}.故選A.

3.(2020?全國卷III)已知集合A={(x,y)\x,y€N*,y^x],B={(x,y)\x+y

=8},則AA8中元素的個數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.6

答案C

解析由題意,ACB中的元素滿足。且x,yWN*,由x+y=822x,

[x+y=8,

得xW4,所以AC8中的元素有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4個.故選C.

4.(2020?全國卷I)設(shè)集合A={x*—4W0},B={x|2x+aW0},且AC8={x]

-2&W1},貝【Ja=()

A.-4B,-2

C.2D.4

答案B

解析?.,A={x|f_4W0}={\_2WxW2},B={x\2x+a^0}

AnB={x|-2WxWl},.?.-?=1,解得a=-2.故選B.

2

5.（2020.天津高考）設(shè)a€R,則“a＞l”是“a〉a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析求解二次不等式片〉。,可得。＞1或。＜0,據(jù)此可知，，＞1”是“/

＞，'的充分不必要條件.故選A.

6.（202。全國卷II）設(shè)有下列四個命題：

0：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

0：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/U平面a,直線初1平面a,則加1/.

則下述命題中所有真命題的序號是_______.

①piAP4,②piApi,③㈱P2Vp3,④女弟P3V㈱P4.

答案①③④

解析對于命題0,可設(shè)4與/2相交，這兩條直線確定的平面為a,設(shè)/3與

Z1,/2的交點分別為A,8（如圖），貝IjACa,BEa,所以ABUa,即Fa,命題

p\為真命題；

對于命題P2,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，命題P2為假命題;

對于命題P3,空間中兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行或異面，命題P3為假

命題；

對于命題P4,若直線加1平面a,則機垂直于平面a內(nèi)所有直線，因為/U

平面a,所以加1/,命題P4為真命題.

綜上可知，piAP4為真命題，piA“2為假命題，

令第P2vp3為真命題，女弟P3V㈱04為真命題.

『金版押題』

k（x+2）,xWO,

7.已知函數(shù)外）=,,c貝1了%<1”是“段）單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案D

解析若?r）單調(diào)遞增，則Q0且40+2）或2。+%,解得0<ZWl,因為"<1"

與"0<AWl”沒有包含的關(guān)系，所以充分性和必要性都不成立.

8.已知函數(shù)段)=e",g(x)=x+l.則關(guān)于於)，g(x)的語句為假命題的是()

A.Vx€R,_/U)>g(x)

B.3xi,%2€R,J(xi)<g(x2)

C.3xo€R,於0)=g(xo)

D.mxoCR,使得Vx€R,Aw)-g(xo)Wy(x)-g(x)

答案A

解析依題意，記F(x)=/(x)-g(x),則月'(*)=/'(x)-g'(x)=eJ1.當x<0

時，F(xiàn)'(x)<0,F(x)在(-8,o)上單調(diào)遞減；當x>0時，F(xiàn)'(x)>0,Rx)在(0,+

8)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)=/U)-ga)有最小值F(0)=0,即?r)2g(x),當且僅當x=0

時取等號，因此A是假命題，D是真命題；注意到.*0)=l<g(l)=2,因此B是真

命題；注意到HO)=l=g(O),因此C是真命題.綜上所述，選A.

專題作業(yè)

一、選擇題

1.（2020全國卷II）已知集合4={萬國<3,x€Z},B={x||x|>l,x€Z},貝IJACB

=（）

A.。B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

答案D

解析因為A={x||x|<3,xCZ}={-2,-1,0,1,2},B={X||A|>1,XWZ}=

{xb>l或X<-1,xWZ},所以AC3={2,-2}.故選D.

2.命題“存在實數(shù)xo,使lnxoa8-l”的否定是（）

A.對任意的實數(shù)x,都有1

B.對任意的實數(shù)，都有

C.不存在實數(shù)尤o,使Inxo21

D.存在實數(shù)xo,使Inxo2焉-1

答案B

解析存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將存在量詞改為全稱量詞后還

要對結(jié)論否定，故選B.

3.已知集合A={2a,3}和8={a,b},若AA8={2},則AU8=()

A.{1}B.{1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2,3,4)

答案C

解析由A={2a,3}及AAB={2},得2a=2,解得a=l;由8={1,切及4門8

={2},得分=2,所以AUB={1,2,3},故選C.

4.已知集合A={x|『一3x+2=0,xCR},8={x|0vxv5,xWN},貝"滿足

條件ACCGB的集合C的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析因為A={1,2},3={1,2,3,4},AUCQ3,則集合C可以為{1,2},{1,2,3},

(1,2,4},{1,2,3,4},共4個.

5.已知全集。=區(qū)，集合AMbdyMlogzOf+Zx)},B={y\y=\+^],那么

AA([M)=()

A.{x[0令<1}B.{x|x<0}

C.{x\x>2}D.{x\l<x<2]

答案A

解析由-V+ZxX)得oa<2,所以集合A={x[0<x<2},因為集合8為函數(shù)

y=1+五的值域，所以8={小21},貝IJ[M={A|A<1},所以AA([u3)={x[0<x<l},

故選A.

6.(2020.廣東華附、省實、深中、廣雅四校聯(lián)考)原命題為“若zi,Z2互為共

輛復數(shù)，則①|(zhì)=|Z2|"，其逆命題，否命題，逆否命題的真假性依次為（）

A.真，假，真B.真，真，假

C.假，假，真D.假，假，假

答案C

解析原命題：“若zi,Z2互為共匏復數(shù)，則閡=0|"是真命題，因此其逆

否命題為真命題，而其逆命題：“若E|=|z*則ZI與Z2互為共軌復數(shù)”不是真

命題，如zi=2+i,Z2=l-2i,盡管|zi|=|Z2|=#,但Z1與Z2不互為共輛復數(shù)，因

此逆命題為假命題，從而原命題的否命題也為假命題，故選C.

7.對于直線相，〃和平面a,"2_La成立的一個充分條件是（）

A.m]_n,nIIaB.mil/],fi]_a

C./i±aD.〃_1_夕，￡_La

答案C

解析對于C,因為加1人〃1人所以mil*又〃la,所以mla,故選C.

8.已知集合4={（匚y）|f+VW3,x€Z,yEZ],則A中元素的個數(shù)為（）

A.9B.8

C.5D.4

答案A

解析由d+y2W3知，-小WxW小，-小WyW仍.又x€Z,y€Z,所

以x€{-l,O,l},y€{-1,0,1},所以A中元素的個數(shù)為C3C4=9,故選A.

9.（多選）（2020.衡陽一中模擬）下列命題中，真命題是（）

A.Vx€R,e'>0

B.

C.a+b=0的充要條件是六一1

D.%>1,人>1”是“帥>1”的充分條件

答案ABD

解析因為產(chǎn)e*>0,xWR恒成立，所以A正確；因為當x=-5時，2~5<（-

5汽所以B正確；=-1”是“。+匕=0”的充分不必要條件，C不正確；當

a>l,>1時，顯然必>1,D正確.故選ABD.

10.(2020.吉林長春質(zhì)量監(jiān)測二)命題P：存在實數(shù)X0,對任意實數(shù)尤，使得

a+x

sin(x+xo)=-situ:恒成立；q:Vcz>0,/x)=ln二一"為奇函數(shù)，則下列命題是

tZ-A

真命題的是()

A.pNqB.(㈱p)V心弟q)

C.pA(㈱q)D.懶p)Aq

答案A

解析對于命題p,由于sin(x+7t)=-siax,所以命題，為真命題.對于命題

a+xa-x缶+R,a+x

q,由于a>0,由>0,解得-a<x<a,且*一x)=In=Inr=-In

a-xa+xa-x

=-/U),所以次x)是奇函數(shù)，故4為真命題.所以為真命題，(㈱P)V(㈱

q),PAq),(㈱p)A4都是假命題.故選A.

11.(2020?北京市門頭溝區(qū)高三3月綜合練習)向量a,8滿足⑷=|臼=1,且

JT

其夾角為。，貝卜'M—加=1”是'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由I4一加=1得M-例2=1,得⑷2+網(wǎng)2_2a-b=1,即1+1-2ab=1,

1

-

21

兀

0兀

立

忖

之

成

當

即

反

夕n

?6-----=-o

回1X233

得2ab=1,EPab=2,貝llcos。1611

ab=i貝lj|a—力F=|32+|^|2_2a.8=1+1-2Xg=1+1-1=1,即|a-=1成立.

7T

綜上，“仙-加=1”是“0=丁'的充分必要條件，故選C.

12.已知S”是等差數(shù)列｛z｝的前〃項和，則“S<〃z對心2恒成立”是“數(shù)

列他"｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要