高中數(shù)學(xué)競賽真題12復(fù)數(shù)（學(xué)生版+解析版50題）

競賽專題12復(fù)數(shù)

（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

I.（2021?全國高三競賽）已知z為復(fù)數(shù)，且關(guān)于x的方程4/一8〃+4i+3=0有實(shí)數(shù)

根，則|z|的城小值為

2.（2018?遼:宇高三競賽）設(shè)“、b均為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)4=6。-1+（6-班與

4=2-6“+4的模長相等，口2月為純虛數(shù)，貝ij"b=.

3.（2020?江蘇?高三競賽）已知復(fù)數(shù):滿足上|=1,則:的最大值為

4.（2018?山東?高三競賽）若復(fù)數(shù)二滿足|z7|+|z-3-2i|=2夜，則目的最小值為

5.（2019甘肅?高三競賽）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z1f，H對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為若

同=國=①函.四=0,k+z「zj=2,則%|的取值范圍是.

6.（2018.福建?高三競賽）設(shè)發(fā)數(shù)二滿足|z-i|=2,則|z-司的最大值為.3為

虛數(shù)單位，云為復(fù)數(shù)2的共枕復(fù)數(shù)）

7.（2018?全國?高三競賽）己知定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)/（2）=（4+/）/+火+40q

為復(fù)數(shù)）.若/■⑴與/⑺均為實(shí)數(shù)，則|〃|+M的最小值為.

8.（2021?全國?高三競賽）設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

儂次為卬4…,4,則復(fù)數(shù)2產(chǎn),#*\…,所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

9.（2021?全國?高三競賽）設(shè)尸（z）=±±!,其中i為虛數(shù)單位，zwC.設(shè)

iz-l

%=；+i.工“川=〃（2”）,〃eN，則2必0的實(shí)部為------------

10.（2021?全國?高三競賽）設(shè)復(fù)數(shù)A-、4滿足閔=憶|=%|=2,則

II.（2021?浙江?高三競賽）復(fù)數(shù)4，z?滿足㈤=同=3,卜-馬|=36,則

12.（2021?浙江?高二競賽）設(shè)復(fù)數(shù)二=x+.vi的實(shí)虛部JF所形成的點(diǎn)（X.V）在橢圓

《+￡=[上.若三U為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z=______.

916z-i

13.（2021?全國?高三競賽）已知z€C,z+[=l,則|z|的取值范圍為.

14.（2021?全國?高三競賽）已知復(fù)數(shù)2=在+五i（i虛數(shù)單位）,則

22

\a2+ab+b2=1,

5（2021?全國?高三競賽）已知復(fù)數(shù)〃、/人c滿足"+〃c+c、2=_1,則,心+慶

|<2+ca+（i2=i.

16.（2021?全國?高三競賽）若復(fù)數(shù)目、Ez>z,滿足條件

z）z,+z,zt=I,z,z4+z4z,=-1,2,+z4€R,則（Z|-z3）（z,+z4）=.

17.（2021?全國?高三競賽）若復(fù)數(shù)二滿足423-312-劉9-g"-4=0,則

（三生）+E3：的取值范圍為

18.（2021?全國?高三競賽）若非零復(fù)數(shù)二），滿足/+“+./=0,則

（工產(chǎn)，+（上產(chǎn),的值是_________

A+yx+y

7—9

19.（2020?全國?高三競賽）設(shè)Z為復(fù)數(shù).若「為實(shí)數(shù)（，為虛數(shù)單位），則lz+31的

z-t

最小值為.

20.（2019?浙江?高三競賽）設(shè)為復(fù)數(shù)，凡滿足k|=5,3=2+i（其中，為虛數(shù)單

位），則B-Zzl取值為

21.（2019?貴州?高三競賽）已知方程f-丁+5=（）的五個(gè)根分別為4J』,4飛,

XA）=A-+1,則口/（3）=

22.（2019?四川?高三競賽）滿足3+6）6=。一陽其中“,力K,尸=-1）的有序數(shù)組b）

的組數(shù)是.

23.（2019?福建?高三競賽）已知復(fù)數(shù)z,Z1，4（z產(chǎn)4）滿足Z：=Z；=-2-24,且

2-22

|I|=|-22|=4,貝I]|Z[=.

24.（2019?山東?高三競賽）已知虛數(shù)z滿足w=z+1為實(shí)數(shù)，且-l<w<2,“=了，

Z1+Z

那么卜。-“斗的最小值是

25.（2019重慶?高三競賽）已知復(fù)數(shù)與吃小使得至為純虛數(shù)，聞=|22kl.

z2

歸+4+Z3|=1,則|zj的搔小值是

26.（2019.上海?高三競賽）若復(fù)數(shù)z滿足|z-7J|+|z+班|=4,則|z+"的最大值為

27.（2019?江蘇?高三競賽）在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)3—八2-2/\1+5，分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B、

C,則△人8c的面積是

28.（2018?河南?高三競賽）已知i為虛數(shù)單位，則在（G+i『的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)

的和是.

29.（2018?全國?高三競賽）設(shè)復(fù)數(shù)馬=sina+2i，z,=I+cos</?/（?6

f=\k+乳的最小值為__________

lzl-?ll

3（）.（2019?全國?高三競賽）設(shè)方程—+（13、-1廣=。的10個(gè)復(fù)根分別為人三，…….則

31.（2019?全國?高三競賽）若〃為大于I的正整數(shù)，則

244zr6zr

cos—+cos—+cos—+…+cos

nnn

32.（2018.全國?高三競賽）已知復(fù)數(shù)Z1,Z2，z$滿足|zjsl,㈤41,

|2馬-（4+z?z].則㈤的最大值是

33.（2019.全國?高三競賽）在復(fù)平而上，復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在聯(lián)結(jié)1和i兩點(diǎn)的線段上

運(yùn)動(dòng)，復(fù)數(shù)弓乂寸應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).則復(fù)數(shù)4+Z時(shí)應(yīng)的點(diǎn)

所在區(qū)域的面積為.

34.（2018?廣西?高三競賽）設(shè)"、〃為正整數(shù)，且|（"+'）（2+胃=|蕓.則。+方

=.

35.（2019?全國?高三競賽）化筒arctan石-）arcsi/=.

23------

jz

36.（2019?全國?高三競賽）復(fù)數(shù)列z",??滿足闖=1,2向=蘭?若、“=1,則z0可

4“

以有種取值.

37.（2019?全國?高三競賽）設(shè)復(fù)數(shù)馬=-34不。z?=，+f法?.立網(wǎng)+，，3。+.

則Iz-zJ+lz-zJ的鼓小值是.

38.（2021?全國?高三競賽）若。為自然時(shí)數(shù)的底，則滿足爐=三二，口同＜1（X）的復(fù)數(shù)

2+11

::的個(gè)數(shù)為.

39.（2019.上海?高三競賽）設(shè)〃是實(shí)數(shù)，關(guān)于z的方程（z2—2z+5）（z?+2?z+l）=0有4個(gè)

互不相等的根，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

二、解答題

40.（202（全國?高三競賽）設(shè)“eR.6€[0,2;r）,復(fù)數(shù)

q=cose+isin6.Zz=sin6+iccsg、23=“（1-i）.求所有的（4.6）,使得Z|、與、4依次成等

比數(shù)列.

41.（2021?全國?高三競賽）設(shè)點(diǎn)Z是單位圓『+./=1上的動(dòng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)卬是復(fù)數(shù)Z的

函數(shù)：卬=-7?，試求點(diǎn)W的軌跡.

（1+2）

42.（2021,全國?高三競賽）已知zwC,存在唯一的“eC,使得

z?+（2-?）z2+（1-3ci）z+（r-a=0,求I+z'+z'-t---卜z2020.

43.（2021,全國?高三競賽）求證：存在非零復(fù)數(shù)，與實(shí)數(shù)4,使得對(duì)于一切模氏為I的

復(fù)數(shù)｛‘小苧］均有="

44.（2021?全國?高三競賽）若關(guān)于2的整系數(shù)方程z-'+pz-+（P+r=0的三個(gè)復(fù)數(shù)根在

復(fù)平面內(nèi)恰好成為一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)等腰直用三角形的面積的

最小值.

45.（2021?全國?高三競賽）已知實(shí)數(shù)〃＞（）房eC.若方程『+3加+6+1=0的三個(gè)復(fù)

數(shù)根在復(fù)平面上構(gòu)成邊長為J二的正三角形，求。、/，的值.

46.（2019?全國?高三競賽）4、z：、z?為多項(xiàng)式戶（z）=i+az+0的三個(gè)根，滿足

匕『+,『+憶『=25（）,且復(fù)平面上的三點(diǎn)4、4、4恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形.求該直角

三形的斜邊的長度.

47.（2019.全國?高三競賽）設(shè)。、b、c是正實(shí)數(shù)，-2＜（＜2.證明:

_彳“〃+//）（//-入be+c，）+J"-+（））卜2-Aca+（/）+^c2-Aca+a2^a2-Aab+b2'j

48.（202（全國?高三競賽）設(shè)z”5“，z20M和嗎.茨，…、?乃為兩組復(fù)數(shù),滿足：

2020,2020

Ekr＞Ei^r.求證：存在數(shù)組（卬勺,…,（其中￡,￡（-□｝），使得

,一I?一，

2＜?2OX?20

Z&z＞E引《；.

i=lJ=l

49.（2019?全國?高三競賽）設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列匕〃｝滿足：聞=1,旦對(duì)任意正整數(shù)”，均有

4z3+2"z+z：=0.證明：對(duì)任意正整數(shù)%均有憶+z?+...+幻＜竽.

5（）.（2021?全國?高三競賽）設(shè)｛〃,,｝、｛七｝是無窮復(fù)數(shù)數(shù)列，滿足對(duì)任意正整數(shù)〃，關(guān)

于*的方程的兩個(gè)復(fù)根恰為4、%（當(dāng)兩根相等時(shí)4=4“）.若數(shù)

列｛kJ｝恒為常數(shù)，證明:

（1）同。；

（2）數(shù)列恒為常數(shù).

競賽專題12復(fù)數(shù)

（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

1.（2021?全國?高三競賽）已知二為復(fù)數(shù)，且關(guān)于x的方程4/-8z\+4i+3=0有實(shí)數(shù)

根，則同的破小值為

【答案】1

【解析】

【詳解】

解析：X為實(shí)數(shù)根，

若x=0,則4i+3=0,矛盾；故XHO,

故z=%±+-Li,于是我們可以得

8x2.v

忖=佗叩由書+品+在岳=

當(dāng)且僅當(dāng)x=±正時(shí)等與成立，故所求的最小值為I.

2

故答案為：1.

2.（2018?遼寧高三競賽）設(shè)“、b均為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)4=#〃-1+（瓜-班與

々=2-6“+份的模長相等，且2左為純虛數(shù)，則"+b=.

［答案】召±1

【解析】

【詳解】

由題設(shè)知三=1,且F=ze為純虛數(shù)，故F=±L因此，或

2：/V3—b=2—>j3a.

小a-1=-b,6_]、出+]「

=

rr解得。=〃二—=一或a=6=—----?故a+匕=士1.

6-b=?-2.22

故答案為*±1

3c.

3.（2020?江蘇?高三競賽）已知復(fù)數(shù)z滿足忖=1,則一三亮的最大值為

z-1-v3i

【答案】3

【解析】

【詳解】

解析：由題意可得

Z2-2Z+4("廳+3(z-l)2-3i2,IT.

-----i—7T-------；一百---------；一百一-z-IZ31

Z-I-J3】z-l-43i

表示復(fù)平面上點(diǎn)到「的距離.

則|z-l+>/3i|=|z-（l-Z（16）

如圖所示，c（i.->/3）,由此可得iqzq?3.故的最大值為3.

故答案為：3.

.（2018?山東?高三競賽）若復(fù)數(shù)z滿足|z-l|+|z-3-2i|=20,則卜|的最小值為

【答案】1

【解析】

【詳解】

設(shè)人（1Q）,8（3.2）,|/叫=26,則點(diǎn)z的軌跡為線段A8.

因此WL為膜點(diǎn)。到A的距離，即4n=|。4|=1.

5.（2019.甘肅?高三競賽）在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)44小對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z「Z〉Zj.若

|2||=|z2|=72.OZ；-OZ,=0,|2|+z:-z,|=2,則㈤的取值范圍是

【答案】[0,4]

【解析】

【詳解】

因?yàn)樯蟶=|zj=0,OZ[OZ?=().所以k+zj=+=2?

因?yàn)閗+z；!-zj=2,所以ZTZi+Zj-zjNhi+zJTzJIXIz.J-Z，

從而一2W|zJ-242,()4總區(qū)4.

6.(2018?福建?高三競賽)設(shè)復(fù)數(shù)二滿足|z-i|=2,則|z-W|的最大值為.(i為

虛數(shù)單位，5為復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù))

【答案】6

【解析】

【詳解】

設(shè)2=*+3(%了€對(duì)，

則三=x-yi,z-I=(.v+.)i)-(A--3i)=2.vi,|z-z|=2|y|,

由|z-i|=2,知|(x+yi)-i|=2,.d+(.y-iy=4.

所以(.y-爐“，~\<y<3.所以|z-可=2卜區(qū)6.

當(dāng)且僅當(dāng)』=3,即z=3i時(shí)，等號(hào)成立.故|z-司的最大值為6.

7.(2018?全圜高三競賽)已知定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)/(z)=(4+)2+/*+q(p、q

為發(fā)數(shù)).若/(1)與/⑺均為實(shí)數(shù)，則|/)|+卜/|的最小值為

【答案】y/2

【解析】

【詳解】

設(shè)〃=“+〃，，q=c+di(a、b、c、deR).

由/(l)=(4+“+c)+(l+〃+d)i,/(/)=(-4_〃+<')+(_]+“+4)，為實(shí)數(shù)

知a=l-d,b=-\-d.

則|“+1(/|=V?：+b'+y/c2+d2=j2+2d，+>Jc'+d''

故當(dāng)c="=()(即“=1,h=-\)時(shí)，用+卜/|取最小值&-

8.(2021.全國高三競賽)設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所時(shí)應(yīng)的復(fù)數(shù)

依次為不"…,",則復(fù)數(shù)z：叫…,z7所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

【答案】4

【解析】

【詳解】

因?yàn)閦,w=（z5廣，故考慮Z*.…看的不同個(gè)數(shù).

由z廣=l,則O=z『-l=（z；T（z：+l）（z；-i）侈+i）,可知Z；只有4個(gè)取值,而

*=（z：）'的取值不會(huì)增加，故應(yīng)為4個(gè)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù).

故答案為：4.

J7+1

9.（2021?全國?高三競賽）設(shè)尸（2）==；，其中i為虛數(shù)單位，zeC.設(shè)

12-I

%=g+i,z“*尸戶（z“）.〃eN,則的實(shí)部為.

【答案】最

【解析】

【詳解】

%）=蕓=3,故/（%））=遷-2￡￥：T=iU，

12-124-1-J-—--十,I:Z\（14-i/）~）-1Z-1

z+i

.N+1

故F（尸（F（Z）））=￡-1=Z,

i-——+i

z-l

J+f-'ii

故為”=F（Z2nl9）=F（2j=去----=--,從而實(shí)部為正.

Li+i6，+l37

3

故答案為：

10.（2021?全國?高三競騫）設(shè)復(fù)數(shù)哥、立、弓滿足匕|=同=匕|=2,則

Z/?+ZQ；+ZR_

Z（+Z,+z}

【答案】2

【解析】

【詳解】

故答案為：2.

II.（2021?浙江?高三競賽）復(fù)數(shù)4，4滿足匕|=憶|=3,卜-馬|=36,則

卜寸+同。

【答案】330

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖所示，設(shè)不力在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z「Z-

由已知得|。蜀=|。圉=3.|4-Z,|=3百.

由余弦定理得向量區(qū)，區(qū)所成的角為笄?

=3(c<>s(?+與)+isin

不妨設(shè)4=3(cos0+zsin,z2

cos(一。一與)+isin(-9—整)

=3(cos(-0)+(sin(-0)),z,=3

3引+?中引）.亂=9（c。弓+『si弓］

同“卜（-駕+呵-豹|,（引》?竽+麗g

（4寸"+國J”=3%x2xcos拳=3隈2xcos與=3?

（再0+（薪）1=3”

故答案為:320.

12.（2021?浙江?高二競賽）設(shè)復(fù)數(shù)二=x+.yi的實(shí)虛部X,F所形成的點(diǎn)（、,.丫）在橢圓

在"上若十為實(shí)數(shù)，

則復(fù)數(shù)二=

【答案】主叵+i或一3而

--------4-1.

44

【解析】

【分析】

【詳解】

由二：,T-----4―q,所以.y=L貝!JA,=±M^,

Z-I.v+（y-］）i4

所以z=Ml+i或z=-3叵+i.

44

故答案為：2=￡5+［或2=-￡叵+1.

44

13.（2021?全國?高三競賽）已知ZGC,Z+!=1,則因的取值范圍為

【答案】2^Z1<|Z|<^±1

2112

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)2="〃（廠￡1<）,則:

八..八/sin0cos。

=rcost/+/rsin6/-----------F------

=（〃+，）c?s20+（?,一!）sin20

=r2+-T+2COS20.

故產(chǎn)+4=1-2cos2"3,解得士1或4/4士電,即由二墾1.

廠2222

故答案為：號(hào)，鋁.

14.（2021?全國高三競賽）已知愛數(shù)z="+無iC?虛數(shù)單位），則

22

【答案】36

【解析】

【分析】

【詳解】

由已知Iz1=1、上[=1z「=1"wN,故4=再結(jié)合?馬,及知

所求式子為F+/

<2=—+—z=是8次單位根.

22

當(dāng)A三1,3,5,7(mod8)時(shí)，F(xiàn)=1(mod8).

當(dāng)人三2,6(mod8)時(shí)，k2=4(mod8).

當(dāng)A三48(mod8)時(shí),k2=8(mod8),

所以卜「+z*+..?+zn2|=|6z+3z4+3zs|=|6z|2=36.

故答案為：36.

[a2+ab+h2=1.

15.(2021?氽國,高三競賽)已知復(fù)數(shù)“、b、c滿足《〃+/"+。2=-1.則"，+灰+的=

[c2+ca+a2=i.

【答案】i

【解析】

【分析】

【詳解】

由題意曲/-?―/?,b3—c-c-h.c3-a3=i（c-a）,

三式相加有〃=苫^〈'+甘^〃，代入第一個(gè)式中有（1-""?+苫3'C+；C2=I，

與/J+ac+c、2=i聯(lián)立，即有a、c均不為0B.c=--（1-i）^,

a

故有+i=0,所以"=|或i.

當(dāng)a=1時(shí)，有一仔,力=0,此時(shí)原式為i.

當(dāng)a=-l時(shí)，有＜=-i,〃=0,此時(shí)原式為i.

當(dāng)〃2=川寸，有，+讓.=0,又CHO,所以（=-iJ"""=—,得〃=],矛盾.

aa

綜上所述，原式僅有i?個(gè)值.

故答案為：L

16.（2021?全國?高三競賽）若復(fù)數(shù)年%均、入滿足條件

Zj^+Z,Z^=l,Z3Z^+Z4^=-l,Z2+Z4eR,則（馬一工3）（22+4）=.

【答案】0

【解析】

【分析】

【詳解】

對(duì)4公+2々可=一|取共4,Z：4+Z,14=-|.

再與々W+KKR相加，并結(jié)合Z^+Z^eR得：

?=z,(z,+z4)+Z|(z,+z4)=(z,+Z,)(Z,+Z4).

若與+Z_,=(),則所求式;為().否則，4+1=。.

則4=-4，從而々u-Zj.代入條件:J得4(z」-zJ=-1.

=

即4=—」9f/.

z4-z4211mz4

故4是純虛數(shù).有4-4=4+z、=0.

從而,所求式也為().

故答案為：0.

17.(2021?全國詢?nèi)傎?若復(fù)數(shù)2滿足423°-3泛-劉9一3反-'-4=0，則

(平)+而麗的取值范圍為^

【答案】卜10，10]

【解析】

【分析】

[詳解】

4Z320-3iz-202_3iz“_4=0。z--wo(4-3iz)=4+3iz"

。4-3iz=z2。20(4+3iz-i)=z如9(4z+3i).

設(shè)z=a+bi(a,b€R),則：

|4-3/z|2-|4z+3/12=|(4+3b)-3(ii|2一|4a+(4〃+3)/|2

=(4+3*)2+9a2-\6a2-(4b+3)2

=7(I-r/2-ft2)=7(l-|z|2).

若1工1>1,則|4-3i=|>|4z+3i|=>|4-3izF-|4z+3iF>(),而7(l-|z『)<0矛盾.

同理1水1，亦不可能，所以忖=1.

iStz=cosa+isina,3+4i=5(cos/y+isin/?),則：

，I-3_-4-i1l+(-3--+--4--i-)-z-=^3+^4i-(3--+--4--i-)--z-

=51cos(￡+&)+isin(/7+a)〕+5cos(/7+c)+isin(￡+a)

=10cos(/7+c),

所求取值范圍是[-10,10].

故答案為；[-IQ10].

18.(2021?全國?高三競賽)若非零復(fù)數(shù)xj?涉足/+4，+)；=0，則

(-_產(chǎn)$+(上產(chǎn)的值是_______.

,v+y,v+y

【答案】I

【解析】

【分析】

【詳解】

(-)2+~+1=0f4—=<y=--+—/或2=

yyy22y22

、i，x?G.?

(i)=1一=a=一二+■—，時(shí),

y22

=(」_嚴(yán)+(」_產(chǎn)=(」嚴(yán)+(，嚴(yán)5

原式]+上二+]]0+1

xy(o

=(__1尸3+(!產(chǎn))$=_($+—)

CD-ft?(0Ct)

=—(―+L=-(石+69)=I.

(0CO

(2)當(dāng)式=而=-'-巫：時(shí)，同理可得原式=].

)，22

故答案為：I.

7—9

19.(2020?全國?高三競賽)設(shè)z為復(fù)數(shù).若上」為實(shí)數(shù)(，為虛數(shù)單位)，則I2+31的

z-t

最小值為

【答案】5

【解析】

【分析】

設(shè)z="+/"(a〃wR),由已知條件計(jì)算出“、〃的數(shù)量關(guān)系，然后運(yùn)用不等式求解出結(jié)

果：

【詳解】

設(shè)ZR),由條件知

(z-2)((a-2)+〃i]-(a-2)(b-\)+aba+2b-2

叫二尸叫許而尸’3+(H)L==01

故a+2b=2.從而

>/5Iz+31=^(l3+22)((?+3)2+/r)>|(a+3)+2/?|=5,

即|z+3巨4.當(dāng)。=-24=2時(shí)，|z+3|取到最小值布.

故答案為：5

【點(diǎn)睹】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解答本題的關(guān)鍵是緊扣已知條件，it算出滿足條件的數(shù)量關(guān)系，繼而可

以求出結(jié)果.

20.(2019?浙江?高三競賽)設(shè)不均為發(fā)數(shù)，且滿足㈤=5,五=2+/(其中，為虛數(shù)單

位)，則B-z?l取值為.

【答案】Vio

【解析】

【詳解】

由k|=5,i殳4=5(cosa+isina),由二■=2+i得z,=(2-i)(cosa+isina).

Z7-

于是，-z,|H(3+/)(cosa4-isina)|=-JlO.

故答案為：Vio.

5

21.(2019?貴州?高三競賽)己知方程.v-F+5=0的五個(gè)根分別為.Uy,工4,15，

/x)=r+l,則[!/(.")=

【答案】37

【解析】

【詳解】

設(shè)8&)=X'-V+5,則g(.i)=PK.v-.vJ.

A-I

又41)=『+1=(工一根工旬，所以

riJE)=汴(&-i).n(&+1)=*(i)&(T')

I7

=(i5-i-+5)[(-i)5-(-i)3+5]

=(6+i)(6-i)=37.

故答案為：37.

22.(2019.四川.高三競賽)滿足3+〃爐=”一陽其中a,尸=-1)的有序數(shù)組(小〃)

的組數(shù)是.

【答案】8

【解析】

【詳解】

令2="+加.則/'=三，從而|2『=R|=|Z|.

于是|z|=0或者|z|=1.

當(dāng)|z|=0時(shí)，z=0,即”=〃=0,顯然(0,0)符合條件:

當(dāng)|z|=l時(shí)，由Z“=三知Z，=Z-f=|zF=l,

注意到二7=1有7個(gè)復(fù)數(shù)解.即有7個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a份符合條件.

練上可知,符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)(小加的對(duì)數(shù)是8.

故答案為：8.

23.(2019.福建?高三競賽)已知父數(shù)z,z.Z2(z產(chǎn)方)滿足z；=z；=—2-2",且

|z-zj=|z-Z；j|=4,貝11=.

【答案】26

【解析】

【詳解】

先求更數(shù)-2-2也，的平方根.

設(shè)(x+.vi)2=-2-2^3/(x,yeR).則(d-)『)+2))彳=-2-2-^i.

由zr=z；=-2-23，Z尸人，知4,分為發(fā)數(shù)-2-2?的兩個(gè)平方根.由對(duì)稱性，不妨設(shè)

Z1=l-6i,z2=-l+y/3i.

于是，歸一引=4,卜-zJ=|z-Z|卜卜-24=4,復(fù)數(shù)z.z”:對(duì)應(yīng)的點(diǎn)ZWZ構(gòu)成邊長

為4的正三角形.

又復(fù)數(shù)不々對(duì)應(yīng)的點(diǎn)乙〃2關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，所以0Z為AZZ/Z?的高，

故|z|=[O2|=26.

故答案為：2G.

11--

24.(2019川|東?高三競賽)已知虛數(shù)z滿足u，=z+-為實(shí)數(shù)，fl.-l<vv<2,?=—.

Z1+Z

那么忖-"1的最小值是.

【答案】I

【解析】

【詳解】

設(shè)z=.v+y/(.v.yE/?),易知工*+y2=I.

22

則w-ir=2x+—:v—j-=2(.v+l)+-----3..J,

("1尸A+1

當(dāng)A-0時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：1.

25.(2019?重慶?高三競賽)已知復(fù)數(shù)馬金小使得一為純虛數(shù)，匕|=同=1,

k+馬+z,|=1,則㈤的最小值是.

【答案】72-1

【解析】

【詳解】

設(shè)Z=ZI+Z2+Z,,則|z|=l,由已知五+(至=0.

所以Z,2,+2齊|=0.

所以忖+訂=(Z|+2,)(2]+Z,)=2,2(+Z2：2+ZtZ2+ZtZ2=2.

所以k+Z』=0.

所以昌|=歸+K-2|..卜|+2卜|2|=0_|.

、萬一2

當(dāng)4=|,z,=i,z,=七一(l+i)時(shí)，最小值能取到.

-32

故答案為：JI-I.

26.(2019?上海?高三競賽)若復(fù)數(shù)z滿足|Z-Q|+|Z+6|=4,則|z+，|的最大值為

【答案】更

3

【解析】

【詳解】

由乂數(shù)的幾何意義知，二任復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的曲線是橢畫：—+y2=l.

4

設(shè)z=2cos8+isin〃、(),，0<2n,

則Iz+il'dcosZ'+Gine+lf=-3(§析8—1]-4--,,—,

I3j33

所以|z+i|,,生巨，當(dāng)Sin0="即z=*也+L時(shí)等號(hào)成立.故最大值為生g.

33333

故答案為：士更.

3

27.(2019?江蘇?高三競賽)在復(fù)平而中，復(fù)數(shù)3—八2—2八1+5/分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)人、B、

【答案】4

【解析】

【詳解】

如圖所不，△ABC的面積為：5△,]℃=SCDKF1S-S41tFC-S4Alic'

即△A8C的面積是2x7-'-Z-6=4.

22

故答案為：4.

28.（2018?河南?高三競賽）已知i為虛數(shù)單位，則在（6+i『的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)

的和是.

【答案】512

【解析】

【詳解】

易知（陰+i廣的展開式中,所有奇數(shù)項(xiàng)的和是復(fù)數(shù)的實(shí)部.

10

又(G+i『=(-2i)(-2i)，n

-鴻i《+爭

(I后］

=(-IO24)x----b---1=512-5126.

22

故填512.

29.(2018?全國?高三競賽)設(shè)亞數(shù)z產(chǎn)sina+2i,=1+cosai(awR).則

/=普*小值為

【答案】2

【解析】

【詳解】

令匕-氏|=J&ina+cosaf+l?=j2+sin2a=/.則

22

且此時(shí)有上?+/z2|=(sina-cosrzy+3=10-sin2a=12-r.

|z「G|z

當(dāng)f=l.即a="r-?(AGZ)時(shí)，/的出小值為2.

30.(2019?全國?高三競賽)設(shè)方程—+(131-11=0的10個(gè)復(fù)根分別為中占，…“小.則

111

--=+---=>+-??+---="=

X2X2X5.v5?

【答案】850

【解析】

【詳解】

設(shè)e=cos本+zsin卡.則30=-1.

由于方程""+(131-1)'°=0的10個(gè)復(fù)根分別為\名.…小。，不妨設(shè)其為』、公、與、

-1&、工、、I、人1、.“3、'=、.

由(13K-1)'°=-.v'°，知13項(xiàng)一1=2￡2??=|,2…,5).

于是，

V

I1[5

故」=+-L+…+」==f(l3-￡*T)(l3-…)

占占X2X20“仁'八'

=￡[170-13卜"T+屋1)]=850-13^(4-21'+￡-22)=850.

ILE

31.(2019全國高三競賽〉若“為大于1的正整數(shù),則

2＞兀446乃2〃乃

cos—+cos—+cos——+???+cos-----=

nnnn

【答案】0

【解析】

【詳解】

32.(2018?全國?高三競賽)已知復(fù)數(shù)馬,無、4滿足聞41,卜2仁1，

%-5+z,)|土-z,|.則㈤的最大值是

【答案】0

【解析】

【詳解】

注意到|24|一忖十4|^|2z3-(zt+z2)|<|z1-z2|.

則2閭4匕+z4+區(qū)-44g+z4y+(B-zJ)，=4(常+同2)<2夜.

當(dāng)Z2=±i-Z](KJ=l),Z3=4+Z2時(shí)，|zj取城大值近.

33.(2019?全國?高三競賽)在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在聯(lián)結(jié)1和i兩點(diǎn)的線段上

運(yùn)動(dòng)，復(fù)數(shù)入對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為留心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).則復(fù)數(shù)4+4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

所在區(qū)域的血積為.

【答案】2&+“

【解析】

【詳解】

設(shè)Z1=r+i(lT)(()<r<l),z,=cos0+/sin/9.

則z,+z2=.v+y/=/+cos0+/(l-/+sin0).

故(.\-"+[)，-(1-/)了=1為圜心在「=1-x上的一組圓，該區(qū)域面積為2&+萬.

?

34.(2018?廣西?高三競賽)設(shè)〃、〃為正整數(shù)，且|("+。(2+4=拶?則

【答案】8.

【解析】

【詳解】

由題意得(2“-1)一+(“+2y+(42)=>(A>+5?)(b-5?)=24.

仿+5〃=12.彷+5〃=6,

又因?yàn)椤?5〃后〃-5〃為奇偶性相同的倍數(shù)，所以，，；城，,,

Ih-5ca=2\b-5a=4.

解得〃=1,〃=7.

故a+〃=8.

35.(2019?全國?高三競賽)化簡arctan6-Larcsii'=.

23------

【答案】7

4

【解析】

【詳解】

令Z]=l+6i，4=一百+2"則有

argz1+^argz2=|arg(z；z2)=；arg]—4+26i)(—6+2i)]=yarg(-l8i)=y.

.2

從而，I￡71aicsin3兀，故arclan^-arcsin—0=—.

aig^i+-argz^=arctan75+2=—234

224

36.(2019?全國?海三競賽)復(fù)數(shù)列卬卬…滿足聞=1,z,“=三.若2刖=1,則z0可

以有種取值.

【答案】2M"

【解析】

【詳解】

顯然，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)"均有上|=1.

設(shè)4=產(chǎn)（仇6[0,2兀））.則

e%=\na,.L2q+/

+=2+,,

y^yj=---=2^0+yj.

由力”=1,得%”=24萬伏wZ),即2""(％+])=2Xr+].

由470.2萬),得2"巳<2A”+9<2mmx5”

因此，滿足條件的4共有5x23UW_2MW=22""（個(gè)）.

故答案為2功,

37.（20⑼全國?高三競賽）設(shè)復(fù)數(shù)4=一34幣2zj=—+f力=，由矽+i「”捫+.

則|2-2||+卜-22|的最小值是.

【答案】2+2收

【解析】

【詳解】

|z-zl|-?-|z-z,|>|z-zl-（z-z:）|=|zl-z,|=2+2^/3,

其等”成立的條件是<"g(z-zJ=arg(z;-z).

即辰。S*=瓜江。+2+括化簡得sinO-^cosO=2,即"〃幽-6，。)=1,6=150。.

3sin0--j3存〃冶+3

因此卜-41+|z-2,|的城小值是2+2幣.

38.(2021?全國?高三競賽)若e為自然對(duì)數(shù)的底，則滿足"=三，口目<100的復(fù)數(shù)

z的個(gè)數(shù)為.

【答案】32

【解析】

【分析】

【詳解】

記i為虛數(shù)單位.設(shè)z是一個(gè)滿足題意的復(fù)數(shù)，且z=x+>i(xy€R)

首先，容易直接驗(yàn)證zxO.1,-1.

由網(wǎng)水"+知|三1Me：|=e]

Z+1

若K<0,則

Z+I

in|z-l|2-|z+l|2=(z-l)(z-l)-(z+l)(z+l)=-2(2+z)=-4x>0,

則|三二》|,矛盾.

Z+I

7一1

若.1>0,則|3

z+1

fn.lz-H2-|z4-l|2=(z-l)(z-l)-(z+l)(z+l)=：-2(z+z)=~4.v<0.

W1!I--1<1，矛質(zhì).

z+1

故只能有工=0,于是，z=.yi("O).

注意到2滿足題意當(dāng)Fl僅當(dāng)-2滿足題意，故不妨設(shè)y>0.卜求滿足e、'=」E的正

實(shí)數(shù)｝?的個(gè)數(shù).

—1*4*vi

由以上討論，知/與丁0~在復(fù)平而中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓上，故Y應(yīng)使兩者的輻

用主值相等.

當(dāng)V從0連續(xù)遞增變動(dòng)到+8時(shí)，-1+.yi的輻知主值從n連續(xù)遞減變到(1)-,1+.)1的輻

用主值從0連續(xù)遞增變到(J〉故寺口的輻加主值從“連續(xù)遞減變到0,

2I+vi

另一方面，對(duì)丁?〃￡N.考察e”在丫€[2”乃,(2〃+2);?0時(shí)的變化情況.

當(dāng).v從2mr連續(xù)遞增變動(dòng)到(2"+時(shí)，d的輻加主值從0連續(xù)遞增變到萬：當(dāng).v從

((2”+1)萬)'連續(xù)遞增變動(dòng)到((2〃+2)同一時(shí)，e”的耨角主值從二連續(xù)遞增變到

(21)二

由以上分析，知對(duì)每個(gè)〃eMe'；=^號(hào)在［2〃萬.(2，，+1)句上恰有一個(gè)解，在

((2〃+1)兀.(2〃+2)萬)上無解.

那么，注意到()<)y100，凡33<100<32”.故〃《乂/=三得在(0.100)上有16

個(gè)解，

故答案為32.

故答案為：32.

39.(2019?上海?高三競賽)設(shè)。是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程(z2-2z+5)(z2+2“z+l)=()有4個(gè)

互不相等的根，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是________.

【答案】

【解析】

【詳解】

由z-=0,得Z1=l+2i.Zz=l-2i.

因?yàn)閦2+2r/2+1=0有兩個(gè)不同的根，所以△=4(.2—1)刈,故4科L

若△=4(加一|)<0,即一1<“<1時(shí)，ZU=-“±J1-4.因?yàn)?；在?fù)平面上對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)構(gòu)成等腰梯形或者矩形.此時(shí)四點(diǎn)共圓，所以，滿足條件.

若△=4(〃-1)>0,即此1時(shí)，4」=_“±43工是實(shí)根,在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸

上，僅當(dāng)Z八Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以、4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為直徑的畫周上時(shí)，四點(diǎn)共圓，此圓方程

整理得f-k+zJx+ZR+)?=.,K|l.r+2ra+l+vJ=0,將點(diǎn)(I,±2)代入得《=-3.

綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)。的取值范圍是⑷-131}UJ-3|.

故答窠為：劃一1<?<1)"—3}.

二、解答題

40.(2021?全國高三競賽)設(shè)“eR,-2乃),復(fù)數(shù)

4=cosO+isinaz2=sin8+icos由馬=a(l-i).求所打的(〃,9),使得引、句、個(gè)依次成等

比數(shù)列.

【答案】答案見解析

【解析】

【詳解】

因?yàn)閆|Zj=2；,所以：＜7(I-/)(cos/?+isin0)=(sin4-icos0\,

整理得：o(cos+sin(sin-cosi=sin2^cos29+2isin8cos6.

〃(cos0+sin9)=(cos0+sin〃)(sin0-cos6),

所以,

'a(sin0-cos。)=2sinOcosO.

(I)co、0+sin9=0=?=三或上，

44

。=當(dāng)時(shí).代入得〃=一^^：

42

。=7時(shí),代入得”且：

42

(2)若cos，+sin8/0,則有：

(sin6?-cos0)2=2sin8cos8=tan2^-4tan6^+1=0,

故tan。二2士,故夕的值為三或■或號(hào)F或"-y-?

對(duì)于的“分別為-立、―,—..

2222

故所有的(小。)為：

[也工丫立至丫一正網(wǎng)If也包丫_也17^Y屈衛(wèi)、

、一石工JH'耘