高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)常用邏輯用語(yǔ)

第一章集合與簡(jiǎn)單邏輯

1.2常用邏輯用語(yǔ)

”命題探究曾

1.關(guān)于存在性命題與全稱(chēng)命題：一般考查命題的否定.

2.充要條件：高考對(duì)命題及其關(guān)系和充分條件、必要條件的考查，主要命題形式是選擇題.由于知識(shí)載體豐

富，因此題目有一定綜合性，屬于中、低檔題.命題重點(diǎn)主要集中在以函數(shù)、方程、不等式、立體幾何線

面關(guān)系、數(shù)列等為背景的充分條件和必要條件的判定.

*真題歸納

題型一?命題的真假判斷

1.（2017?新課標(biāo)I）設(shè)有下面四個(gè)命題

pi：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足工￡R,則2金口：

Z

P2:若復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足z2gR,則z￡R;

〃3：若復(fù)數(shù)Zl,Z2滿(mǎn)足Z1Z2WR,則21=藥；

P4：若復(fù)數(shù)z￡R,則

其中的真命題為（）

A.pi,P3B.pi,〃4C.P2,P3D."2，〃4

【答案】B.

【解析】解：若復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足工CR,則z￡R,故命題pi為真命題；

Z

P2：復(fù)數(shù)z=i滿(mǎn)足z?=-1WR,則z￡R,故命題P2為假命題；

P3：若復(fù)數(shù)zi=i,Z2=2i滿(mǎn)足ZIZ2WR，但ZIH藥，故命題P3為假命題；

P4：若復(fù)數(shù)ZER,則，=z￡R,故命題P4為真命題.

故選：B.

2.（2016?新課標(biāo)II）a,。是兩個(gè)平面，加，〃是兩條直線，有下列四個(gè)命題：

①如果加_1_〃，機(jī)_La,〃〃仇那么a_Lp.

②如果m_La,n//a,那么加

③如果a〃0,機(jī)ua,那么《7〃仇

④如果加〃“，a〃|J,那么m與a所成的角和〃與0所成的角相等.

其中正確的命題是②③④（填序號(hào)）

【答案】②③④

【解析】解：①如果m_La,〃〃,不能得出a，。，故錯(cuò)誤；

②如果〃〃a,則存在直線/ua,使，?〃/,由，w-La,可得那么故正確；

③如果a〃p,〃?ua,那么AW與。無(wú)公共點(diǎn)，則m〃p.故正確

④如果，“〃〃，a//p,那么〃?，〃與a所成的角和〃i,〃與p所成的角均相等.故正確;

故答案為：②③④

題型二?命題的否定

1.（2016?浙江）命題“VxGR,力PN*,使得〃*”的否定形式是（）

A.VA-GR,m〃GN*,使得B.VxGR,VnGN*,使得〃

C.HxeR,3nSN*.使得D.3xSR,VnEN*.使得〃</

【答案】D.

【解析】解：“VxCR,3nGN*,使得"寸”的否定形式是FxGR,VnSN*.使得〃</”

故選：D.

2.（2015?新課標(biāo)I）設(shè)命題p：3/?eN,n2>2",則-'p為（）

A.VnGN,M2>2"B.劫GN,?2<2nC.V〃dN,n2<2?D.最GN,n2^2n

【答案】C.

【解析】解：命題的否定是：V/?eN,n2<2",

故選：C.

題型三.充分必要條件

1.（2021?天津）已知aGR,則“a>6”是、2>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A.

【解析】解：①：a>6,.?./>36,...充分性成立,

②?.,/>36,；.4>6或“V-6,...必要性不成立，

.,.a>6是a2>36的充分不必要條件，

故選：A.

2.(2019?浙江)若“>0,b>0,貝！|"a+匕*''是七區(qū)4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A.

【解析】解：Va>0,〃>0,：.4>a+h>2Vab，

2>>［ab,ab<4,即a+b<4=>ab<4,

若。=4,6=*，貝iJ〃b=lW4,

1

但a+b—4+-^>4,

即ab<A推不出a+b<4,

a+b<4是ab<4的充分不必要條件

故選：A.

3.(2021?北京)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,1］,貝IJ“函數(shù)f(的在［0,1］上單調(diào)遞增''是"函數(shù)f(x)在［0,

1］上的最大值為/(1)”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A.

【解析】解：若函數(shù)f(x)在［0,I］上單調(diào)遞增，

則函數(shù)f(x)在［0,1］上的最大值為/(I),

若/(x)=(x-1)2,則函數(shù)f(x)在［0,1］上的最大值為了⑴，

但函數(shù)/(x)在［0,1］上不單調(diào)，

故選：A.

4.(2019?北京)設(shè)函數(shù)=cosx+bsiiu(b為常數(shù)),則*=0"是'了(x)為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C.

【解析】解：設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+〃sinx1為常數(shù))，

則“八。0"/*)為偶函數(shù)”，丁(x)為偶函數(shù)"=*=0"，

函數(shù)/(X)=cosx+加iiv"為常數(shù))，

則“=0”是，了(%)為偶函數(shù)”的充分必要條件.

故選：C.

5.(2021?浙江)已知非零向量；，b,c,則=%?+是嗎=獲的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【解析】解：當(dāng)Q1展且bl",則3?六=b?c=0,但［與b不一定相等，

故a?b=b?"不能推出之=b,

則％t是％=+的不充分條件；

,T—,T—T

由。=b,可得Q—b=0,

則(Q-/?)-c=0,即a-b=b-cf

所以Q=b可以推出Q?b=bc,

故"Q?C=b?c”是“a=b”的必要條件.

綜上所述，ua*c=b?不是％=b”的必要不充分條件.

故選：B.

6.(2019?北京)設(shè)點(diǎn)A,B,6不共線,則“法與后的夾角為銳角”是“|成+品|>|品廠的()

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C.

【解析】解：點(diǎn)A,B,C不共線，

222

BC=AC-AB,：.BC=AC+AB-2AC-ABf

T2f2T2

當(dāng)n與A的夾角為銳角時(shí)，AC-AB=AC+A^~BCX),

：.（iAB與扇的夾角為銳角"n斗市+AC\>\BC\',,

li\AB+后與正的夾角為銳角”,

設(shè)點(diǎn)4,B,C不共線，則“幾與成的夾角為銳角”是“向+啟>|而廠的充分必要條件.

故選：C.

7.（2020?浙江）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線I,m,n.則m,〃共面"是in,〃兩兩相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【解析】解：空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線/“，n,I,若mn,/在同一平面，則n,/相交或/“，n,

/有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行.

而若“〃?，n,/兩兩相交”,則“加，”，/在同一平面”成立.

故"?，”，/在同一平面”是"明,小/兩兩相交”的必要不充分條件，

故選:B.

8.（2018?浙江）已知平面a,直線施，”滿(mǎn)足和ta,〃ua,則是"》t〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A.

【解析】解：，唇a,，丘a,

是""?〃a"的充分不必要條件.

故選：A.

9.（2016?天津）設(shè)｛〃”｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則七<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)〃，如一1+〃2"<0”

的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C.

【解析】解：是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,

若"q<0”是"對(duì)任意的正整數(shù)n,“2”—1+42"<0"不一定成立，

111111

例如：當(dāng)首項(xiàng)為2,q=時(shí)，各項(xiàng)為2,-1,-i,止匕時(shí)2+（-1）=1>0,-+（一力=>0；

而“對(duì)任意的正整數(shù)，7,前提是％<0”,

則“4<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,“2"1+。2”<0”的必要而不充分條件，

故選：C.

10.（2021?甲卷）等比數(shù)列｛〃”｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S”.設(shè)甲：q>0,乙：｛5｝是遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B.

【解析】解：若“1=7,q=1>則5"=M=-",則｛%｝是遞減數(shù)列，不滿(mǎn)足充分性;

??3尸言（1-八

則a+1=言（1-g"+l）,

1,.S?+i-S,,=言（/一q'*）=mq"，

若｛%｝是遞增數(shù)列，

?**Sn+l~S”=aId'>0,

則ai>0,q>0,

滿(mǎn)足必要性，

故甲是乙的必要條件但不是充分條件，

故選：B.

題型四.邏輯推理問(wèn)題

1.（2019?新課標(biāo)H）在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).

甲：我的成績(jī)比乙高.

乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.

丙：我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)椋ǎ?/p>

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

【解答】解：由題意，可把三人的預(yù)測(cè)簡(jiǎn)寫(xiě)如下:

甲：甲>乙.

乙：內(nèi)>乙且丙>甲.

內(nèi)：丙〉乙.

?.?只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，

...分析三人的預(yù)測(cè)，可知：乙、丙的預(yù)測(cè)不正確.

如果乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)正確，不符合題意.

如果丙預(yù)測(cè)正確，假設(shè)甲、乙預(yù)測(cè)不正確，

則有丙〉乙，乙〉甲，

?乙預(yù)測(cè)不正確，而內(nèi)〉乙正確，

.?.只有丙〉甲不正確，

二.甲〉丙，這與丙>乙，乙>甲矛盾.

不符合題意.

...只有甲預(yù)測(cè)正確，乙、丙預(yù)測(cè)不正確，

甲>乙，乙>丙.

故選：A.

單選題（共6小題）

1.已知命題p：3?eN,2?>n2-1,則為（）

A.2〃=/一1B.3neN,-1

2

C.2ri>r^-1D.W幾WN,2n<n-1

【答案】D.

【解析】解：因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，所以命題p：2n>rr-1,則一1P為：V〃仁N,2n

故選：D.

2.已知命題“MCR,使4/+（。-2）乂+/￡0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-8,0）B.[0,41C.[4,+oo）D.（0,4）

【答案】D.

【解析】解：因?yàn)槊}FxCR,使4/+（。-2口+]30"是假命題，

所以命題“VxWR,使4/+（a-2）x+今＞0”是真命題，

即判別式2\=（a-2）2-4x4x*V0,解得0＜?＜4,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（0,4）.

故選：D.

3.在ZiABC中，“A=60°”是“cos4=：”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C.

【解析】解：在MBC中，若“cos4=*”成立，則有“4=60。成立：

反之在NBC中，若％=60。成立則有“cosA=（成立，

所以，“A=60?！笔恰癱osA=*”的充要條件.

故選：C.

4.已知■為非零向量，則%工＞0”是靖與7的夾角為銳角”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【解析】解：：與「都是非零向量，則“向量；與,夾角為銳角反之不成立，可能同向共線.

因此G）＞0”是“向量:與％夾角為銳角”的必要不充分條件.

故選:B.

5.設(shè)/,〃?為兩條不同的直線，a為一個(gè)平面，相〃a,則7J_a"是'7_1_加'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A.

【解析】W-：,：m//a,則“/_La”時(shí),“/_LW成立,

時(shí)，I與a可能平行也可能相交,

故“La”是“U"?”的充分不必要條件

故選：A.

6.設(shè)xWR,若“l(fā)og2(x-1)<1”是“x>2”2-1”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[-V2,V2]B.(-1,1)C.(-V2,V2)D.[-1,1J

【答案】D.

【解析】解：由k>g2(x-1)<1得0<x-1V2,即l〈x<3,

若“l(fā)og2(x-1)<1”是r>2病-1”的充分不必要條件，

貝I」(1,3)9(02膽2-1,+8),

即27M2-1<1,得nr<\,得-

即實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是l-l,1],

故選：D.

二.多選題(共1小題)

7.下列說(shuō)法正確的是()

A.命題p：Vx,yG(0,1),x+y<2,則-'p：mxo,y