高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)比大小問題題型總結(jié)（解析版）

導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)比大小問題題型總結(jié)

【典型例題】

此函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)#3)=1—舞，當(dāng)力e(O.e)時(shí),f\x)>o,故/(,)為增函數(shù)，當(dāng)0；e

vC

(e,+8)時(shí),r(c)Vo,故/Q)為減函數(shù)，當(dāng)z=e時(shí)，/(x)取得極大值為f(e)=十，且*4)=竽=

野=野=/(2),此結(jié)論經(jīng)常用來把函數(shù)轉(zhuǎn)化到同一邊進(jìn)行比較

【例0(2022?廣東?佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二階段練習(xí))若&=工,b=萼,。=等，則a,b,c的大小關(guān)

系為()

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c

【答案】A

【解析】

通過對(duì)三個(gè)數(shù)的變形及觀察，可以構(gòu)造出函數(shù)/(乃=等，通過求導(dǎo)分析其單調(diào)性即可得到答案

【詳解】

解：a=；=萼,6=竽=苧,。=粵，設(shè)/(/)=警則①〉e時(shí)，/'⑺V0,

eez4oxx

故/(z)在(e,+8)上單調(diào)遞減，則/(e)>7(3)>/(4)，即普>野>號(hào)，所以a>c>b.

故選：A.

【例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)a=±U左，b=等，。=」,則()

e~ne

A.a<c<6B.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】c

【解析】

結(jié)合已知要比較函數(shù)值的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可考慮構(gòu)造函數(shù)/3)=苧，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分析

出c=e時(shí)，函數(shù)取得最大值/(e)=9，可得c最大，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.

【詳解】

設(shè)/(7)=苧，則/3)二一叫

當(dāng)a;>e時(shí),/'(￡)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)OVzVe時(shí)J'(a:)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

故當(dāng)z=e時(shí)，函數(shù)取得最大值,/(e)=5

2

ln2

2(2-ln2)l~/e\,ln2ln4門八1

因?yàn)閍=----------=—^―=-=f(4),c=-=/(e),

~2

9

TeV導(dǎo)V4,

當(dāng)/>c時(shí)/(0<O,函數(shù)單調(diào)遞減，可得/(4)</(苧)</(e),

即bVaVc.

故選：C

1例31(2022?吉林?高二期末)下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是()

①ln3<V31n2；②IrurV￡；③2底V15；④3eln2>472.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

本題首先可以構(gòu)造函數(shù).fQ)=竽，然后通過導(dǎo)數(shù)計(jì)算出函數(shù)/(乃=帶的單調(diào)性以及最值，然后

通過對(duì)①②③④四組數(shù)字進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過函數(shù)/(工)=祟的單調(diào)性即可比較出大小.

【詳解】

解：構(gòu)造函數(shù)/Q)=華，則/'(工)=1二？"

XX

當(dāng)0V/Ve時(shí)J'(c)>0,%>e時(shí)，/'(rr)<0,

所以函數(shù)/(i)=在(0,e)上遞增，在(e,+8)上遞減，

所以當(dāng)％=e時(shí)/(①)取得最大值

1113VV31n2o2111^/3VV31n2o~~V

v32

由，5V2Ve可得八6）</（2）,故①正確；

lii7c<、層o上嗓<電咨，由6<JFVe,可得/（五）</（正）,故②錯(cuò)誤；

VeV7Uve

2^<15o灰1112<lnl5=萼<ln/^o當(dāng)V

2V154715

因?yàn)楹瘮?shù)f(z)=在(e,+oo)上遞減,

所以/(4)</(V15),故③正確；

因?yàn)?—>e,所以f(2/)V/(e),

即”嘴〈華，即坐嚶V；，則3elnV2<272,

2V2e2V2e

即3eln2V4毒，故④錯(cuò)誤，

綜上所述，有2個(gè)正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查如何比較數(shù)的大小，當(dāng)兩個(gè)數(shù)無法直接通過運(yùn)算進(jìn)行大小比較時(shí)，如果兩個(gè)數(shù)都可以轉(zhuǎn)化

為某個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù)值，那么可以構(gòu)造函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷兩個(gè)數(shù)的大小，考查

函數(shù)思想，是難題.

【例4】(202卜陜西漢中?高二期末(理))已知a,b,c均為區(qū)間(0,e)內(nèi)的實(shí)數(shù)，且aln5=51na,61n6=

61n6cln7=71nc,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

構(gòu)造函數(shù),f(2)=竽，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性即可求解.

【詳解】

解:令/3)=乎，則/3)=，

當(dāng)0Vlec時(shí)，/'(re)>0,函數(shù)FQ)在(0,e)上單調(diào)遞增,當(dāng)c>e時(shí)，/'(%)V0,函數(shù)/(%)在

(e,+oo)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?>6>5>c,所以/(7)</(6)</(5),

所以/(a)>/(b)>/(c),

所以。>b>c,

故選：B.

【例5*2022?江西?高三階段練習(xí)(理))設(shè)。=萼，b=2，c=嚅，則()

oe

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

根據(jù)Q、b、C算式特征構(gòu)建函數(shù)/（%）=上￥■，通過求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性即可比較Q、6、c的大小關(guān)系.

X

【詳解】

令/（1）=崢，則[3）=/2；lnc=0=吐=逐,

x~X

因此，（工）=*竽?在[Ve,H-oo）上單調(diào)遞減，

x

m乂ln2ln4“八心1Ine、ln6lnV6〃不、

又因?yàn)椤?丁=而=/（4）,b=￡=-^-=/（e）,C=N=—=/（/6）,

因?yàn)?>€>遍>，^,所以。<?）<0.

故選：B.

【題型專練】

1.（2022?四川省資FH中學(xué)方二期末（/））若&=野,6=小=駕,則（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

令/（工）=竽，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,即可得到函數(shù)的最大值，再利用作差法判斷a、c,即可

得解；

【詳解】

解：令/（土）=上處，則f'^x）=--9生，所以當(dāng)0<6<e時(shí)/'3）>0,當(dāng);r>e時(shí)/'（立）<0,

xX"

所以/（力）在（o,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減，

所以/（初皿=上）=臂=《，所以春》等

此一駟=別n2-41n3=In2fn3：=]n512二ln91

29181818

故選:A

2.（2022?浙江臺(tái)州?南二期末）設(shè)a=上"，b=曝，c=ln耨，則（）

c/

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.bVcVa

【答案】B

【解析】

]rx■一?,

由題設(shè)a=—r-,b=卑，c=等，構(gòu)造f（工）=乎并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而比較它們的大

e-46X

2

小.

【詳解】

1—

i._4—ln4n2,hi2ln4,3耐ln3

ee24J

T

令/㈤=乎且。>0,可得/'㈤=」一呼,

土x~

所以/'（c）>0有0V%Ve,則（0,e）上/3）遞增;

1f㈤V0有H>e,則（e,+8）上/（1）遞減；

e2

又4>*>3>e,故c>a>b.

故選：B

3.（2022-四川廣安?模擬泰測（理））在給出的⑴6-ln3>百⑵e力n3<4⑶e?>/三個(gè)不等式中,

正確的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【解析】

根據(jù)題目特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)/（工）=祟，則可根據(jù)函數(shù)/Q）=乎的單調(diào)性解決問題.

【詳解】

首先,我們來考察一下函數(shù)/（乃=竽，則

令/'（］）>0,解得0ViVe,

令/'（1）<0,解得%>e,

故/（乃=等在區(qū)間（0,e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e,+8）單調(diào)遞減，

所以，⑴/（6）<f（V3）,即上嚶<上嚶，即&Tn3>遮，則正確;

veV3

±

（2才（房）</（3）,即叵舁V粵，即。?ln3>4,則錯(cuò)誤；

eyJ

（3）/（e）>J（7r）,即=7rlne>eln7c=Ine"〉ln7rc,

G5T

所以,e*>*則正確

故選：C.

4.（2022.四川資西.高二期末（文））若。=萼，6=工，0=挈，則（）

J6o

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

設(shè)函數(shù)/3)=萼,3>0),求出其導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷出答案.

【詳解】

設(shè)/(M=乎,3>0),則r(x)=上等，

XX

當(dāng)0V2Ve時(shí)，當(dāng)3)>0,/(x)遞增，當(dāng)%>e時(shí)J'3)<0,f(x)遞減，

當(dāng)c=e時(shí)，函數(shù)取得最小值，

由于eV3<8，故野〉增■，即b>a>c,

e3o

故選:A

5.(2022?山東日照?南二期末)兀是圓周率，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，在3,，e\33,ee,eS33兀。八個(gè)數(shù)

中，最小的數(shù)是，最大的數(shù)是.

【答案】ee3s

【解析】

分別利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出底數(shù)同為3,e以及n的數(shù)的大小關(guān)系，再由賽函數(shù)的單調(diào)性，找

出最小的數(shù)，最后利用函數(shù)/(c)="的單調(diào)性，判斷出最大的數(shù).

【詳解】

顯然八個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是e°.

,/函數(shù)y=3,是增函數(shù)，且eV3V7u,.?.30<33<3";

函數(shù)y=e"是增函數(shù)，且eV3V兀，e°<e:i<e,t;

函數(shù)夕=兀，是增函數(shù)，且e<3V7T,7iC<7C3；

函數(shù)U=c0在(0,+8)是增函數(shù)，且e<3<兀，ee<3e<7te,則八個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是e。

函數(shù)g=爐在(0,+8)是增函數(shù)，且e<3,eff<3\

八個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為?；?、構(gòu)造函數(shù)/Q)=竽，

求導(dǎo)得了'3)=上野?，當(dāng)工￡(e,+8)時(shí)/3)V0,函數(shù)/3)在(e,+8)是減函數(shù),/(3)>/(兀)，

X-

即>上手,即7rln3>31117：,即ln3K>hi7C3,/.3K>兀:

o7C

則八個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是3".

故答案為：e。；3".

6.(2022?安徽省宣城中學(xué)高二期末)設(shè)a=±里,b=',c=ln2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【解析】

設(shè)=萼3>0),利用導(dǎo)數(shù)求得/3)的單調(diào)性和最值，化簡可得a=/(與)"=/(e),c=/(2),

根據(jù)函數(shù)解析式，可得/⑷=苧=/⑵且eV與<4,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分析比較，即可得答案.

【詳解】

設(shè)/(￡)=萼包>0),

—?X-Inx11

x1—Inx

則/'㈤

s2

當(dāng)zW(0,e)時(shí),f(x)>0,則f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),

當(dāng)①e(e,+8)時(shí)vo,則/(H)為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以73)111ax=f(e)=看,

；e2

v4-ln42(lne-2-ln2)lnT./e2\,1門、、內(nèi)1.“a

又a=——=-----------=—^5—=f[-2)，^=-=/(e),c=lnV2=qln20=/(2),

~2

又J'(4)=上F=￥-=￥*=/(2),6<*<4,且/(工)在?+8)上單調(diào)遞減，

所以/(2)=f(4)V/(號(hào))，

所以b>a>c.

故選:D

7.(2022?黑龍江?大慶實(shí)險(xiǎn)中學(xué)商二期未)已知實(shí)數(shù)a",c滿足詈=半=—萼VO,則a,b,c的

大小關(guān)系為()

A.5<c<aB.c<5<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】C

【解析】

判斷出OVaVl,O<bVl,c>l,構(gòu)造函數(shù)/3)=等，3>o),判斷OVcVl時(shí)的單調(diào)性，利用其

單調(diào)性即可比較出a,b的大小，即可得答案.

【詳解】

由.=嵯=一近<()得OVavio〈b<ic>l,

eabc

設(shè)/3)=警，3>0)，則r(/)=嚴(yán),

xx"I

當(dāng)0V3JV1時(shí)J'Q)>o,f3)單調(diào)遞增,

因?yàn)?VaVI,所以

、，InaIna?>InaInbInaL、???,j*/、nii

所以丁>丁，故丁=丁>.，?J‘(/b)>/(a),則6>a,

即有OVaVbVlVc,

故QVbVc.

故選：C.

題型二:利用常見不等式關(guān)系比較大小

1.常見的指數(shù)放縮：e*>x+1(二=O);e?>ex(x=1)

證明：設(shè)/(c)=e”一力-1,所以rQ)=e"-l,所以當(dāng)(-8,0)時(shí)，7(①)V0,所以/(力)為減函

數(shù)，當(dāng)當(dāng)cW(0,+8)時(shí)，#Q)>0,所以/Q)為增函數(shù),所以當(dāng)。=0時(shí)，fQ)取得最小值為。0)=

0,所以/(力)>0,即ex>x+l

2.常見的對(duì)數(shù)放縮：1-Inx<c—l(x=l);lna;W=e)

3.常見三角函數(shù)的放縮:xE(0,-^-),sin:r<x<tana;

【例l】(2022?湖北武漢?高二期末)設(shè)a=a，b=Ini.04,c=e。。J1,則下列關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>h>a

【答案】D

【解析】

分別令,f(c)—e1—1—x(x>0)、gQ)=ln(l+z)—x(x>0)、h(x)—ln(l+x)—1；工(a:>0),利

用導(dǎo)數(shù)可求得/Q)>0,gQ)<0,h(x)>0,由此可得大小關(guān)系.

【詳解】

令/(□;)=e”一1—x(x>0),則f'(x)=ex-1>0,

在(O.+oo)上單調(diào)遞增，二f(7)>f(0)=0,即e3：-1>工，則e0<M-l>0.04;

令gQ)=ln(l+x)-x(x>0),則g'(x)=---1=一了￡7<0,

?LIJUJ.IJU

：.g{x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，，g(i)<g(0)=0,即ln(l+x)<x,則lnl.04Vo.04;

o()4

???e-l>lnl.O4,^c>fe;

令g)=皿1+/)一備3>0)，則"(/)=高一五看=Q/>0,

工h(x)在(0,+8)上的單調(diào)遞增，，無(％)>h(0)=0,即ln(l+部)>j；成,

則lnL04>?，即b>a;

綜上所述：c>b>a.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系的比較問

題，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性后，即可得到函數(shù)值的大小.

【例2】(2022?山東荷澤?高二期末)已知a=告，匕=e或c=1+In書，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】

首先設(shè)/⑺=e"—z—1,利用導(dǎo)數(shù)得到ez>x+1(x^0)，從而得到.>，設(shè)g(z)=Inir-x+1,

利用導(dǎo)數(shù)得到IniVi-1(1W1),從而得到InmV三y和c>a,即可得到答案.

【詳解】

解:設(shè)/(①)=€，—力一1,/3)=ex—1,令/'(①)=0,解得1=0.

x6(-oo,o),f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xG(0,+8),「(X)>0,/(x)單調(diào)遞增.

所以/(%)>/(0)=0,即e，一c-1>0,當(dāng)且僅當(dāng)①=0時(shí)取等號(hào).

所以e①>為+1(①￥0).

又J-=e">4+1=,Q>0,b>0,故］>~，所以bVQ;

b99aba

設(shè)g(z)=\nx—x+lyg'(i)=-1=■，令g'(i)=0,解得力=1.

(0,l),『Q)>0,g⑺單調(diào)遞增,

xE(l,+oo),g\x)<0,g{x}單調(diào)遞減.

所以g(%)Kg(l)=0,即\nx—i+1<0,當(dāng)且僅當(dāng)c=1時(shí)取等號(hào).

所以Inj?<Cx—故ln-p^-V—1—,

又c-a=In-jj-+*>=Ini=0,所以c>a,

故bVaVc.

故選：B.

【例3】(2022?四川涼山?南二期末(文))己知a=e。?b=1.01,c=1-In需，則().

A.c>a>bB.a>c>6C.a>fe>cD.b>a>c

【答案】C

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(々)=er—1—x,由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進(jìn)而即得.

【詳解】

設(shè)/(1)=e”-1—x,則/3)=ex-1>0,在④>0時(shí)恒成立，

所以/（①）在（0,+8）上是增函數(shù)，

所以1—1—c>/（0）=0,即e"；>1+。，1>0,

??.e°M>L01,又lnl.01>0,

...0I,|lnl>i+1nl.01,即1.01>1—In；；；：,

所以a>b>c.

故選：C.

【例4】（2022.四川綿用?商二期末（理））若a=In9,b=4,c=In］,則（）

IOV

A.a<c<6B.c<a<bC.c<b<aD.bVaVc

【答案】D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/（力）=1】】力+1?一1,其中:r>1,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（力）的單調(diào)性，可比較得出a、b的大小

x

關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出c、a的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)/（力）=11］啰+工一1,其中①>1,則r（7）=--!=":1>o,

XXXX

所以，函教/3）在（1,+8）上為增函數(shù)，故/（乃>/（1）=0,

則/仔）—Iny+看-1=ln-y_/>0,即Q>b,

?；In卷>In—，因此,bVQVc.

故選：D.

【例5】（2022?全國?高考真題（理））已知Q=b=cos：,c=4sin1/ij（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>&

【答案】A

【解析】

由［-=4tanJ結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>b;構(gòu)造函數(shù)/⑵=cosx+-1-x2-1,TG（0,+8），利用

04Z

導(dǎo)數(shù)可得b>a,即可得解.

【詳解】

因?yàn)镾=4tanW~,因?yàn)楫?dāng)aE（0,^-）,sin.T<tanj;

o4'2/

所以tan-y>-y,即多>1,所以c>b;

44o

亍殳/（力）—cosx+-^-x2—lyXE（0,+8）,

=-sinx+0>0,所以/(n)在(0,+8)單調(diào)遞增，

則/田>/(0)=0,所以cos'一器>0,

所以b>Q,所以c>b>a,

故選:A

【題型專練】

1.(2022?福建?帝田一中商二期末)設(shè)a=lnl.01,b=*，。=焉>則()

?uexux

A.a<b<cB.a<c<bC.c<6<aD.c<a<fe

【答案】D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(n)=Inx—x+l(rc>0),證明InzW工一1,令c=LOI,排除選項(xiàng)A,B,再比較a,b大小，

即得解.

【詳解】

解：構(gòu)造函數(shù)/(X)=ln/—立+1(工>0),/(1)=O,/'(jc)=!一1=與工，

所以/(⑼在(0,1)Jzf,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，/Q)在(1,+8)Jzf'(x)<o,f(x)單調(diào)遞減,所以/

(Mmax=/(1)=0,Inx—1+1V0,工In%<加-1,

T111

令力=1.01,則a=Inx,b=-^-—,c=1----，考慮到Ini&c-1,可得In—<----1,—Inx^1—

<5UCXXX

工等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取到，故1=1.01時(shí)a>c,排除選項(xiàng)A,B.

x

下面比較Q,b大小，由lnx<rr-1得lnl.01<1.01<,故b>a,所以cVaVb.

故選：D.

2.(2022?吉林?長春市第二中學(xué)高二期末)已矢口a=cos-^-,b=,c=5sin-i-，貝|()

OOUo

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>6

【答案】D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(工)=COSX+-ys2-1,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)/3)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行求解.

【詳解】

解：設(shè)/(4)=cosx+-ys2—1,(0<立V1),則/'(s)=x—sins,

設(shè)g(z)=x—sine,(0VzV1),則g'(x)=1—cosx>0,

故g(rr)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，即g(x)>5(0)=0,

即f'(x)>0,故/(⑥在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,

所以/?）>/（0）=0,可得cos[>41,故a>b,

'J，OOU

利用三角函數(shù)線可得（0,-^-）時(shí)，

所以5sin-1->cos；，故c>Q

綜上，c>a>b

故選：D

3.(2022?湖北武漢二期末)設(shè)&=備，6=11.04,。=€°&-1,則下列關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>6D.c>b>a

【答案】D

【解析】

分別令/(①)—e”-1—T(T>0)>gQ)=ln(l+x)—x(x>0)、h(x)=ln(l+z)—Q>0),利

J[L1I-X

用導(dǎo)數(shù)可求得/(⑼>0,g(z)<0,h(x)>0,由此可得大小關(guān)系.

【詳解】

令/(%)——1—x(x>0),則/'(①)=eI—1>0,

???/(%)在(O,+o0)上單調(diào)遞增，??"Q)>/(0)=0,即靖一1>/則e004-l>0.04;

令gQ)=ln(l+⑼-x(rr>0),則g'Q)=-1=-yj—<0,

i.IJUxIJu

g[x)在(0,+?o)上單調(diào)遞減，.，g3)Vg(0)=0,即ln(l+c)V+,則lnl.04Vo.04;

0()<1

...e-l>lnl.04,^c>6;

令M")=ln(l+z)一言行3>0)，則”(工)=T^一不士產(chǎn)=五看？>°，

/.h(x)在(0,+oo)上的單調(diào)遞增、，八(①)>九(0)=0,即ln(l+x)>1,

0044

則lnl.O4>蟹=儡，即b>a;

J..U41,U4

綜上所述：c>b>a.

故選：D.

題型三：構(gòu)造其它函數(shù)比大小(研究給出數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，合理構(gòu)造函數(shù))

【例1】(2022?河南河南，南二期末(理))已知a—=ln2a,b-1-=ln36,c—e=In—，其中aWJ,b

#J,cWe,則a,b,c的大小關(guān)系為().

J

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(7)=/—ln；r(c>0),并求/'(二)，利用函數(shù)/(c)的圖象去比較a、b、c三者之間的大小順

序即可解決.

【詳解】

將題目中等式整理，得a—lna=9-1吟，6—ln6=y—lily,C-

Inc=e-Ine,

構(gòu)造函數(shù)/(%)=x—lnx(x>0),f(x)=1一十=x-1

-X，

令/'(力)=0,得方=1,

所以/Q)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

函數(shù)了(%)的大致圖象如圖所示.

因?yàn)?(a)=/(4-),/(b)=『(g),/(c)=/(e),且c#e,

,乙'O/D

則由圖可知OVcVl,所以cVaVb.

故選：A.

【例2】(2022?重慶市萬州第二商級(jí)中學(xué)高二階段嫉習(xí))設(shè)a=e?,b=?,c=ln3,其中e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)，則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>6D.a>b>c

【答案】D

【解析】

可判斷Q=e"">2,fe=-|-<2,c=ln3V2,再令/(力)=ln%—壬xE[e,+8),求導(dǎo)判斷函數(shù)的單

調(diào)性，從而比較大小.

【詳解】

解:a=dm>2,b=^V2,c=ln3V2,

令/(力)=Inx-x€[e,+?>),

e-I

加)="<0,

ex

故/(z)在[e,4-oo)上是減函數(shù),

故/(3)V/(e),

3

即ln3--1-<0,

故In3V/〈即即c<6<a,

故選：D.

【例3】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知。=等"=』，。=粵,則如仇。的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】

根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)/3)=T腎(立>e),再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.

【詳解】

?1—Inx——1

令函數(shù)加)=普ge),求導(dǎo)得r?=(.lJ，令g(")-e，則g，Q)=1—x

x~9

<0,(3；>e),故gQ)=1—Ina—5，(％>c)單調(diào)遞減，又g(l)=1—Ini—十=0,故g(%)<0,(x>

e),即r(0)VO,g>e),而eV3V4,則/(e)>/⑶〉/⑷，即粵，所以b>a>c,

e—1乙o

故選：A

【例4】(山東省洛博市2021-2022學(xué)年方二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)設(shè)a=上，6=lnl.1,c=屋告,則

()

A.a<b<cB.c<a<bC.fe<c<aD.fe<a<c

【答案】D

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較Q,C的大小，再構(gòu)造函數(shù)/(%)=1—111(1+0,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)

性，再利用其單調(diào)性可比較出Q,b,從而可比較出三個(gè)數(shù)的大小

【詳解】

因?yàn)間=e，在7?上為增函數(shù)，且一IV-4，

所以e~l〈?一，

因?yàn)榈谩鯲e)所以擊vef,即aVc,

令,3)=j：-ln(l+x)(x>0),得［(H)=1-—=7^—>0,

yxjIXIJU

所以/(C)在(0,+oo)上遞增，

所以/3)>/(0)=0,所以?>ln(l+x),

令力=0.1,則0.1>lnl.1,即擊Alnl.1，即a>b,

所以bVaVc,

故選:D

【例5】(2022?四川南充?高二期末(理))設(shè)a=0.01en(n,6=-^-,c=-ln0.99，則()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<6

【答案】A

【解析】

根據(jù)給定數(shù)的特征，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性比較函數(shù)值大小作答.

【詳解】

令函數(shù)夕=力6。匕=]：%,“=-ln(l—4),xE(0,V2—1),

顯然y>O,t>0,則Ing—\nt=Inx+z—[Inx—ln(l—z)]=z+ln(l—x),

令/(%)=x+ln(l—x),xE(0,A/2—1),

求導(dǎo)得r(G=i+w，=vo,即/㈤在(o,V2-1)上單調(diào)遞減，

VxE(0,V2—1),/(x)</(())=0,即IngVhitoy<t,

因此當(dāng)iE(0,2一1)時(shí)，力,

1-x

取力=0.01,則有Q=O.Ole001<=熹='，

1—u.uiyy

令g(i)=y—u=呢4+ln(l-x),xE(0,V2-1),g\x)=(c+l)e*+力1[=色/L

令九(7)=(x2—l)ex1+1,xE(0,V2—1),h!(x)=(爐+26一l)ex<0,

h(力在(0,V2-1)上單調(diào)遞減，

Vx€(0,V2—1),h(x)<h(0)=0,有g(shù)'(z)>0,則g(x)在(0,V2—1)上單調(diào)遞增,

r

VxE(0,V2—1),g(x)>g(0)=0,因此當(dāng)cG(0,V2—1)時(shí)，xe>—ln(l—x)>

?、?0.01，則有a=O.Ole001>-ln(l-0.01)=-ln0.99=c,

所以cVQVb.

故選：A

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：涉及某些數(shù)或式大小比較，探求它們的共同特性,構(gòu)造符合條件的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)

性求解即可.

【例6】(2022?全國?方三專題練習(xí))已知a=&@,b=&?,c=sin(M,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是

7T7T

()

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.6>a>c

【答案】B

【解析】

作差法比較出a>b,構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較出c>a,從而得出c>a>b.

【詳解】

_0.30.90.37T-0.90.3x3-0.9八”…L、”、L-L、.今

a—bL=-----------寸—-------$------>----------$-----=（）,所以a—故a>。，又1（％）=兀sinz—6x,

兀7LTC7T

則/'（力）=TTCQSI-3在（0,-^-）上單調(diào)遞減，又r（。）=兀一3>0,/'峰）=^^--3〈0,所以存

在的6（0,光）,使得,［（土0）=0,且在2€（0,的）時(shí),/'（①）>0,在（g倩）時(shí)JQ）V0,即/（①）=

7rsinc-3?在c6（0誨））上單調(diào)遞增，在c6（的,/）單調(diào)遞減，且/'（右■）=":涯兀-3>0,所以

區(qū)）〉需，又因?yàn)?（0）=0,所以當(dāng)“G（0,與）時(shí)，/（i）=7rsinz-31>0,其中因?yàn)椤丁幢?，所以?/p>

*1.4XV/人4X\J

E（O,xo）,所以/（焉"）=7csinO.l-0.3>0,故sinO.l>，即c>Q>b.

故選:B

【例7】（2022-河南洛陽?三模（理））已知Q=81°,b=913,c=KA則。"，c的大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/（%）=（18—x）lnx,c>8,求其單調(diào)性，從而判斷a,b,c的大小關(guān)系.

【詳解】

構(gòu)造/（1）=（18—x）lnx,?>8,

（⑼=-Ina;+牛-1,

ff（x）=~\nx+——1在［8,+8）時(shí)為減函數(shù)，且1（8）=-ln8+1—1=-^—ln8<—lne2=

X4444

-2<0,

所以/'（①）=—Inc+與-1V0在［8,+00）恒成立，

故/（c）=（18—x）lnx在［8,+8）上單調(diào)遞減，

所以/（8）>/（9）>/（10）,

即101n8>91n9>81nl0，所以>爐>10',即a>b>c.

故選:D

【點(diǎn)睛】

對(duì)于指數(shù)式，對(duì)數(shù)式比較大小問題，通常方法是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小，稍復(fù)雜的可能需

要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行比較大小，要結(jié)合題目特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，比較出大

小.

【例8】（2022?河南?模擬fl測（理））若a=e02,b=VE2,C=ln3.2，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>6C.b>a>cD.c>6>a

【答案】B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/3)=統(tǒng)一工一1(3；>0),利用導(dǎo)數(shù)可得a=e°">1.2>6,進(jìn)而可得目2>3.2,可得a>c,

2(x—1)

再利用函數(shù)g(z)=Inx-，可得E3.2>1.1,即得.

【詳解】

令/(6)=e*—立一1(Z>0),則/'(re)=e*—1>0,

.?./(工)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

/.a=en'2>0.2+1=1.2>V1.2=6,

a=en2>1.2=Ine12,c=ln3.2,

...(ei2)5=e6>(2.7)6=387.4,(3.2)5k335.5,

el,2>3.2,故a>c,

2fx—n]2(c+1)—lx3T產(chǎn)

設(shè)g(c)=Inz-----,則g\x}=-->(),

x1("I)?x(x+l)2

所以函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

2(/—,1)

由g(l)=0,所以c>1時(shí)，g(rr)>0,即ln:r>丁+],

7"一z12(2-1)2(1.6-1)55一1

..1113.2—ln2+In1.6>-.----1---——1>1-zyr-1.1,

n2+11.n6+13950

又1V1.2V1.21,1Vb=V1.1,

.,.c>l.l>6,

故a>c>b.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是構(gòu)造了兩個(gè)不等式e:l>a;+1(±>0)與Imr>2H)Q>1)進(jìn)行放縮，需要學(xué)生

對(duì)一些重要不等式的積累.

【題型專練】

1.(2022?山東州臺(tái)?高二期末)設(shè)a=0.9,b=J旃，c=ln(備e),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/Q)=x—\nx—l,g(x)=c—G,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再由單調(diào)性可比較大小.

【詳解】

令/'㈤=s-In?-1,因?yàn)閒'(x)=1一卷=工L

所以，當(dāng)ovcvi時(shí),/3)<0,/(力單調(diào)遞減,

所以/(0.9)=0.9-ln0.9-1>/(1)=0,即0.9>ln0.9+1=In(^j-e),a>c;

令g3)=a;-因?yàn)間\x)=1-萬為=]

所以，當(dāng)時(shí)，g'Q)>0,g(c)單調(diào)遞增，

所以g(0.9)Vg(l),即0.9-vO<0,0.9<70?9,即aVb.

綜上，c<a<6.

故選:B

2.(2022*山東青島.高二期末)已知a=ln-1-,b=2，^—2,c=sin0.04-—1)，貝!Ia,b,c的

大小關(guān)系是()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

【答案】C

【解析】

構(gòu)造函數(shù)得出a,b大小，又c<0即得出結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)/(c)=21nx—2(x—1)=2(1111—*+1),則a—b=

/(1)=0,則b>a>0,

與=1+*3>0)，則(1+c)

?5oJ

由對(duì)于函數(shù)g(rr)=sini—i(0V%<￡■),g'(0)=cos①一1V0,(0V1V晉)恒成立，

所以，gQ)=sinx—x<g(O)=0即sinx<x^L(0,-y)上恒成立.

所以，sin0.04—^-Vl+x—1<sinx—^-Vl+x—l=sinx—<x——<0

(注:0.04<x<0.09,0.2V6Vo.3V0.5)

所以，b>a>c

故選:C

3.(2022?湖北夏FB?誨二期末)設(shè)&=3看,6=看武。=卷,則()

A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】

根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/⑺=(0<6V1),利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,得到/(y)>/(j),即可判

斷出a>b.記g(rc)=e”-2z,(0VrcVI),推理判斷出b>c.

【詳解】

eJ

記/(4)=(()<3;<1),則/'(①)=*(12DVO,所以/(1)=9-在(0,1)上單調(diào)遞減.

所以/(看)>/信),所以a>6.

6—=看/一卷=看(/-2*魯).

xT

記g(4)=e—2xy(0<x<1),則g'(rc)=e—2.

所以在6E(0,ln2)上，g\x)<0,則g(x)單調(diào)遞減;在cE(ln2,l)上，g\x)>0,則g(x)