高考復(fù)習(xí)10-6三定問題及最值（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

10.6三定問題及最值（精講）（基礎(chǔ)版）

①家代數(shù)式為定債.依然意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等

式,代入代數(shù)式、化筒即可得出定他.

②求點到直線的距離為定色.利用點到直線的距離公式得出距高的

定解析式.再利用題設(shè)條件化胃、變形求得.

?③來某線段長度為重值.利用長度公式求得解析式,再儂據(jù)條件對

解析式送行化筒、變給即可求得.

①抬殊推理迭，先從特殊情況入手，來出定點,再述明定點與變量尢關(guān)

②a集推理法

曲⑴索侮一個練系方并.一篋神題”中給出的曲嫂方村（但含K線方帚）中的

線

?！雠c點量.將食量*.，當成宿量.H原方片將化為W.力■?的射點

的

-也毋立方號中的需■”

二

一一”。根■口岫才與分酸檢和X拿（仰口緣系方燈對fflL費敏都睢立）.種刊方彝綱

定

及（tr./>-?.

最

值

（明以0申方程出的“為坐標的志微是直線務(wù)過的定點,若定點口依定的*制條傳.

可以#殊*袂.

①瞄法，用其他變量表示該參數(shù).建立函數(shù)關(guān)系,利用求函數(shù)的

單iW性求解

②不等式法，根娓整篇建立含參數(shù)的不等式,通過解不等式來參數(shù)

艷困

③判別式法，建立關(guān)于某變量的一元二次方程.利用判別式△求參

數(shù)的范圍

秀點呈膽

考點三最值

例題剖析

考點一定點

丫22I

【例1】（2022?河南模擬）已知橢圓4+%=1（.＞方＞0）的離心率為左、右頂點分別為A，A,

上下頂點分別為四，B2,四邊形4g4與的面積為4省.

（1）求橢圓的標準方程:

（2）不過點用的直線1交橢圓于P,Q兩點，直線4P和直線用。的斜率之和為2,證明：直線1恒過定

點.

22

【答案】（1）—+^-=1（2）（-6，-6）

43

c11l

【解析】（1）解：由題意可得e=-=-,—x2ax20=4,3,即“6=26,又

a22

a2-b1=c2>解得a=2,b=#）,c=l.

則橢圓的方程為工+工=1：

43

（2）證明：由（1）可得用倒,G）,

①當直線/的斜率存在時，設(shè)P（%1,X）,Q（X2,必），/：y=kx+t,

由怎U=2,所以正如+上由=2，

Xjx2

又y=何+t,=kx2+f代入整理得（2%-2）玉々+?-G）（X[+々）=°，

y=kx+t

由＜必丁消去y整理得（3+4公）d+83+4/-12=0,

---1---=1

43

Tkt4/一12

所以△〉0,玉+%3+4F'二々_3+止

所以（“）.宴H—⑹建

=0,

整理得（f-6）（GzT-G）=o,

當，—G=o時.，直線/過用，不符合題意,

所以\/3k—t—下>=0，I'Pt=5/3^—y/3，

故直線/的方程為丁=履+6左-6=左1+#）-6,符合題意，

故恒過點卜百，-6）；

②當直線/的斜率不存在時，設(shè)P（X1，x）,Q（X|，-X），由上U-+二,匚_=2,解得x=-百，

石玉

即直線/的方程為x=-JJ，必過定點卜百，一6），

綜上可得，直線/恒過定點（一百，—6）；

【一隅三反】

1.（2022?浙江模擬）如圖，己知點A是拋物線y2=2px（p>0）在第一象限上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點,

且A尸垂直于x軸.過A作圓5：（彳一1）2+：/=，2（0<r<1）的兩條切線，與拋物線在第四象限分別交于

M,N兩點，且直線A3的斜率為4.

（1）求拋物線的方程及A點坐標;

（2）問：直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點坐標，若不是，請說明理由.

【答案】見解析

【解析】解：因為由萬=4np-4

（1）Agp\,所以拋物線方程為V=8x,且A（2,4）

2

7T

（2）解：設(shè)AM,AN,A8的傾斜角依次為a,d0,山0<r<1可知0<a<0<|3<萬,

再設(shè)AM,4V的斜率分別為匕，k2,下證15(4+&)+8=8匕6.

7T

方法一：由NM4B=NM4B可知0<01<0<。<］且滿足9-01=。-0,

再由懸=晟E5化+3+8=8幽.

方法二：直線AM,AN的方程為y—4=Z(x—2),其中氏=&&分別對應(yīng)A"，AN,

于是，即(4_4)2(1+"；)_化_4)2(1+懺)=0,

yI十01十K?

優(yōu)-4)2一代-4)2+化他一46)2_(4右-他)2=0,

即(匕一七)(8匕幺-15(—15k2—8)—0'

由匕工網(wǎng)可知15(4+自)+8=8%的.

因為直線AM,4V的方程為y-4=A(x—2),其中女=&網(wǎng)分別對應(yīng)AM,AN.

再設(shè)直線MN的方程為y-4=m(x-2)+“伽*0),

n

x-2=

k-m

聯(lián)立求得其交點M(不x),N(w，必)均滿足.

kn

y-4=

k-m

k2rr8n(l-k)

代入拋物線c的方程(y—4)2+8(y—4)=8(x—2),于是有

(k-m)2(k-m)

將nk2-8(1-k)(k—m)，整理得(〃+8)Zr2-8(m+1)k+8m=0，

8(/n+l),.8m

進而得到勺+%2-------,k&=-----

〃+8-〃+8

將2]+&，%[女2代入前式，有120("2+1)+8(〃+8)=64機，化簡得7A??+〃+23=0，

再代入的方程得y+19=m。-9),

所以MN恒過定點(9,—19).

2.(2022.西安模擬)己知拋物線C：：/=2px(p>0)上的點G(4,f)(f>0)到其準線的距離為5.不過

原點的動直線交拋物線C于A,B兩點，M是線段AB的中點，點M在準線1上的射影為N.

(1)求拋物線C的方程;

（2）當NA-NB=1時,求證：直線AB過定點.

【答案】（1）y2=4x（2）（2,0）

【解析】（1）解：由拋物線C的方程可得其準線方程x=-3

2

依拋物線的性質(zhì)得4+4=5,解得p=2.

2

.??拋物線C的方程為9=4乩

（2）證明：當直線AB的斜率為。時，顯然不符合題意;

,2、,2、

當直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線A3：x=my+n（n^0）9A子，*、8手%，%、

I4JI4）

y2—Y

M（知%），由＜化簡得/一4根y-4〃=0,A=16（m2+?）＞0,%+%=4小，

x=my4-n、

yty2=-4n,

互+1,y-2m\,NB

%="A=2m,所以N（—1,2m），所以24i—

+1,_y2,

i4/

,2,2

-J+1114+1+（%-2/〃）（％—2加）

所以NA，NB=

47

22（X+y27-2%三

-y--%--r.+1+乂必一2加（凹+必）+4〃?2

164

=+16〃；+8〃+]_4〃_8m2+4初2=_2〃+]=（〃-1）2

若NA-NB=1，即（“—1）2=1,解得〃=2或〃=0（舍去），所以宜線AB過定點（2,0）.

3.（2022.朝陽模擬）已知橢圓。：［+白=1（。＞匕＞0）的一個頂點為尸（0，1）,離心率為孝

（1）求橢圓。的方程;

（2）過點P作斜率為尤的直線'交橢圓。于另一點A，過點P作斜率為攵2（&X&）的直線,2交橢圓c

于另一點3.若1=1,求證：直線經(jīng)過定點.

2

【答案】（1）y+/=l（2）（0,-3）

a2a—V2

【解析】（1）解:由已知可得，b-\,解得"=1因此，橢圓C的方程為土+丁=1

2

a2=b2+c2c=1

（2）證明：當直線A3的斜率存在時，設(shè)直線A3的方程為丁="+,

若直線A5過點P，則A、B必有一點與點P重合，不合乎題意，所以，

設(shè)點A（X，%）、8（%,y2）,

聯(lián)立9可得（222+1）工2+4初優(yōu)+2/一2=0,

x2+2/=2'7

A=16/加2_8（2-+l）（m2-l）>0,可得病<2左2+1,

2

—F-/D4km2m-2

由韋達定理可得花+々=一壽石，玉工2=乂2+］，

,V.-1kx,+/n-\fkx^+m-X

K=~-=-------,同理可得火2=」--------，

王玉x2

由ktk2=（例+--1）（3+"_0_］可得（k2一］卜儼2+k（7〃-1）（司+々）+（/〃-1）2=0,

即2（g_］）（加2_］）_4女2Mm_］）+（2女2+1）（機—1）2

'2^71-0,

因為相。1，整理可得—加―3=0,解得相=一3,

所以，直線A8的方程為丁=履一3,所以，直線AB過定點（。，一3）；

若宜線A3的斜率不存在，則百=工2，%=一%，

則勺1,=4」?土1=匕￡=』。1,不合乎題意.

%jx}xf2

綜上所述，直線AB過定點（0，一3）

考點二定值

【例2】（2022高三上?大理月考）已知橢圓E：±+4=l（a>b>0）過點（0,6），離心率為Y2,

直線

a~b~2

丁="（人工0）與橢圓后交于48兩點，過點8作垂足為C點，直線AC與橢圓E的另一個交

點為D

（1）求橢圓E的方程：

（2）試問NASD是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.

22

【答案】（DE：—+^-=1（2）-

632

a—V6

b=V3r~r2v2

【解析】（1）解：由已知得c痣，解得他=也,所以￡：—2-=1

「石6+3

（2）解：由己知，不妨設(shè)8（知為）,則A（-x0,-y0）,C（xo,O）,

所以上=§,%AC=升若,所以lA,yy=〈（x—Xo），

人0N40乙Z

代入橢圓日卷+三=1的方程得：（2+公）光2-2的-％+公片-12=0,

2X#2

(,

設(shè)D(X,%)，則-x0+xD=2-,即X=---7+/，

DN十KD2+k20

k(2xJc'2/公、

所以%=5*,即D

+/_%o、2+公。'2+吃

-^L-AX()i

步**一°「1,即

所以弓,演/=—1，

五**。7。

71

即BDLAB，也即ZABD為定值--

2

【一隅三反】

r221

1.（2022高三上?大同開學(xué)考）已知橢圓C：W+%v=l（a>0>0）的右焦點為F,離心率e=],點F到

左頂點的距離為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知四邊形ABC。為橢圓的內(nèi)接四邊形，若邊A6過坐標原點，對角線交點為右焦點F,設(shè)

AB,8的斜率分別為&右，試分析與是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）43（2）3

【解析】（1）解：由題意知

（a~2，n，｛a=：/=q2_c2=3，

[a+c=3lc=1

22

所以橢圓方程為L+二=1.

43

（2）解：設(shè)A（x（），%），則8（一而，一%）

可得：/”：代入橢圓方程

1

整理得（3X。-+4%~-6xo+3）X?—8%-%+4y0—-12x（；+24x（）—12=0

由3考+4為2=12代入上式得

2

（15-6XO）X-2（12-3^）X-15XO+24x0=0,%是方程的一個解

二點C的橫坐標七=;二?。,

又因為。（毛，”）在直線/"：曠=3?（%-1）上

玉）一1

-3%8+5x

“=玄同理…=追03%

3兄一3月

_5+2%。5-2xn_5yo_5用〕勺,=3

~8+5x08-5x0~3xn"3""3

5+2x05-2x0

k5

二廠7為定值，定值

h3

=l（a>b>0）的右焦點為F,長軸長為4,離心率為;.過點

2.（2022?雅安模擬）己知橢圓C：

Q（4,0）的直線/與橢圓C交于A,B兩點.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設(shè)直線AF,班'的斜率分別為的幻（&H0）,求證：3為定值.

【答案】（1）±+匕=1（2）-1

43

2。=4

cI?-=4

【解析】（1）由己知有〈一=7；解得{,2c故橢圓c的標準方程為：Z+2L=i；

a2b-=343

a1=b2+c2

（2）解：由已知直線1斜率不為零，故設(shè)其方程為x=my+4,

x=my+4

由L2

消去x得：（（3〃,+4）V+24〃少+36=0,令△>（）得m2>4.

——+—=1

43

設(shè)A（玉，y），%），則有y+%=_。2/加,y.%=°乎易知/（1,0）,

3m+43//T+4

.MW-1一y-必+3一-%%+3言

'k2玉一1%機）'i+3%^y]y2+3y2

36m3x24m

+3（y+%）-3%_3療+4-3加+4一,2

myy+3y36mc

{223m2+4+%

36〃z-3x24〃z-3必（3/n2+4）

2

36m+3y2（3m+4）

k

所以U]為定值-1.

k.

3.（2022?河南模擬）已知橢圓C：二+二=l（a>0>0）的離心率為"，P（2,l）為橢圓。上一點.

ab2

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）若過點。（2,0）且斜率為左的直線/與橢圓C相交于AB兩點,記直線AP,的斜率分別為

勺，k2,試問占+&-2%是否是定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）土+匕=1（2）-1

82

【解析】⑴解:設(shè)橢圓C的焦距為2c,

/=8

貝I卜/=/+解得=2

C_百c2-6

、a2'

22

故橢圓C的方程為二+匕=1.

82

(2)解：由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y=k(x—2),A(x，yj,小，%)

(22

工+匕=1

聯(lián)立｛82'整理得(4公+1卜2-]6左2%+16左2一8=0,,

、y=Z(x-2),

16H16〃一8

則Xy+X=

24公+1

-

因為P（/2,l、）,所以占1=也y二.不1，％j2=上%二—不1，

X1/'21

...,y,—1y-1..kx-2k-1kx、-2k-1_.\1

則占+七一2左=211—+9-----2k==-}-------+—^----------2k=——

—2%2—2—2X、一2X1■工2—2

16公.

=__+/一4=_止+1一=7

玉工2—2（玉+4）+416k~—832k~

4公+1―4公+1+4

故%+%2—2次為定值-1.

考點三最值

【例3】（2022.陜西模擬）已知拋物線°y=4x上有一動點「（f，%）（%°),過點P作拋物線C的

切線/交》軸于點M.

(I)判斷線段的中垂線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由;

(2)過點P作/的垂線交拋物線。于另一點N,求，PMN的面積的最小值.

【答案】見解析

【解析】⑴解：設(shè)直線MP的方程為丁=履+匕，和拋物線方程丁=4%聯(lián)立得：ky2-4y+4b=Q,

2

由攵WO,△=（）得妨=1,則62—4y+4b=0的解為丁=一，

k

由%=＞0做＞0,戶號修,得P伍,目，

在y=Ax+O中，令y=0得x=_：=_j,所以

MP中點為（0,；）,所以線段MP的中垂線方程為y=-；（x-1），

KK

所以線段MP的中垂線過定點尸（1Q）.

⑵解：由（1）可知，直線NP的方程為＞=—/—，）+!■=—

將其與拋物線方程/=4x聯(lián)立得：

++:.yN+yp=-Ak,yN=-（4k+^],

4k\kkJ\kJ

2

\PM\=yJl+k\xr-XM\=＞Jl+k~~,

|PN|=A/1+k~|yw_yj=Ji+匕-4%——.

所以，PMN的面積為§_4（I+f）化＞o），所以S'=40+"[（」—3）,

k、k

當0＜女＜也時，S'vO,S單調(diào)遞減，當％〉6時，S'＞0,S單調(diào)遞增，

所以人=有時，5??.?=絲^

【一隅三反】

1.（2022?焦作模擬）已知拋物線C：產(chǎn)=2〃叱〃＞（））的焦點為尸，直線y=8與拋物線C交于點P,且

|P/|=|p.

（1）求拋物線C的方程;

⑵過點F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB,DE,設(shè)弦AB,OE的中點分別為P,Q,求|PQ|的

最小值.

【答案】見解析

【解析】（1）解：依題意，設(shè)尸（題，8）.

由拋物線的定義得|PF|=Xo+T=gp,解得：Xo=2p,

因為P（x0,8）在拋物線C：y2=2px（0>0）上，

所以82=2℃o,所以82=2夕2p,解得：“=4.

故拋物線。的方程為y2=8%.

（2）解：由題意可知/（2,0）,直線AB的斜率存在，且不為0.

設(shè)直線人8的方程為工=加），+2（加工0）,A（X1,yj,B（w，%）?

x=my+2.

聯(lián)立〈2c，整理得：y—8/*一16=0,

y=8x

2

則y+%=即%，從而辦+9=m（y+y2）+4=8m+4.

因為P是弦AB的中點，所以P（4m2+2,4m），

故|PQ|的