一元二次函數(shù)、方程和不等式專項測試卷及答案解析

一元二次函數(shù)、方程和不等式專項測試卷及答案解析

高一上學(xué)期數(shù)學(xué)專項測試卷一元二次函數(shù)、方程和不等式考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。2.請將各題答案填寫在答題卡上。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（每小題5分，共40分）1.若$a$的絕對值小于1，則關(guān)于$x$的不等式$(a-x)\left|x-\frac{1}{a}\right|>0$的解集為【】(A)$\left\{x|x<\frac{1}{a}\right\}$(B)$\left\{x|x>\frac{1}{a}\right\}$(C)$x>\frac{1}{a}$或$x<\frac{1}{a}$(D)$x>\frac{1}{a}$且$x<\frac{1}{a}$2.如果二次函數(shù)$y=x^2+2mx+m+2$有兩個不同的零點，則實數(shù)$m$的取值范圍是【】(A)$\{m-2<m<1\}$(B)$\{m-1<m<2\}$(C)$\{m<-1\}$或$\{m>2\}$(D)$\{m<-2\}$或$\{m>1\}$3.記不等式$(x-m)(x+2)<0$的解集為$A$，不等式$x(x-1)\leq0$的解集為$B$。若$B\subseteqA$，則正數(shù)$m$的取值范圍為【】(A)$\{m>1\}$(B)$\{m\geq1\}$(C)$\{m<1\}$(D)$\{m\leq1\}$4.要使關(guān)于$x$的方程$x^2+(a^2-1)x+a-2$的一個根比1大且另一根比1小，則實數(shù)$a$的取值范圍是【】(A)$\{a-1<a<2\}$(B)$\{a-2<a<1\}$(C)$\{a<-2\}$(D)$\{a>1\}$5.若關(guān)于$x$的不等式$x^2-(a+1)x+a<0$的解集中恰有一個整數(shù)，則$a$的取值范圍是【】(A)$\{a-1\leqa\leq2\}$(B)$\{a-2\leqa\leq-1\}$(C)$\{a-1\leqa\leq2\}$(D)$\{a-2<a<-1\}$6.共享單車給市民出行帶來了諸多便利，某公司購買了一批共享單車投放到某地給市民使用。據(jù)市場分析，每輛單車的累計收入$y$（單位：元）與營運天數(shù)$x$（$x\inN^*$）滿足關(guān)系式$y=-\frac{1}{2}x^2+60x-800$。要使累計收入高于800元，則營運天數(shù)$x$的取值范圍為(A)$\{30<x<90,x\inN^*\}$(B)$\{30<x<40,x\inN^*\}$(C)$\{40<x<80,x\inN^*\}$(D)$\{20<x<60,x\inN^*\}$7.已知$1\leqx\leq2$，$x^2-ax$恒大于0，則實數(shù)$a$的取值范圍是【】(A)$\{a\geq1\}$(B)$\{a>1\}$(C)$\{a\leq1\}$(D)$\{a<1\}$8.設(shè)集合$P=\{m-1<m<\infty\}$，$Q=\{mx^2+4mx-4$對任意實數(shù)$x$恒成立$\}$，則$P\subseteqQ$的充要條件是【】(A)$m>0$(B)$m\geq2$(C)$m\leq-2$(D)$m<-4$13.實數(shù)m的取值范圍是$(-\infty,-3)\cup(-1,1)$。14.實數(shù)m的取值范圍是$(-\infty,3)$，$\frac{1}{2}$。$\left(x_1-2\right)^2+\left(x_2-2\right)^2$的最小值是2。15.$10\leqx\leq20$。16.研究問題：已知關(guān)于x的不等式ax^2-bx+c>0的解集為{x1<x<x2}，解關(guān)于x的不等式11cx-bx+a>0，解法為：由ax^2-bx+c>0得a-b+c/(x1+x2)<x<a-b+c/(2x1x2)，令y=x-(x1+x2)/2，則x1<x<x2化為y<1，所以不等式cx^2-bx+a>0的解集為{x<x1或x2<x<1}。參考上述解法，已知關(guān)于x的不等式x+a/x^2-bx-1<0的解集為{x-2<x<-1或2<x<3}，則關(guān)于x的不等式x+c/a+x-1/cx-1<0的解集為{x<2或x>3}。17.（1）當(dāng)a=3時，不等式x^2+3x+2<0的解集為{x<-2或x<-1}；（2）若不等式x^2+ax+2>0的解集為R，則a^2-8a<0，即0<a<8。18.當(dāng)x<1時，關(guān)于x的二次方程x^2+2mx+1=-2m的兩個實數(shù)根為x1=-m-sqrt(m^2+1)和x2=-m+sqrt(m^2+1)，由于x1和x2不相等，則m^2+1>0，即m屬于實數(shù)集。19.解不等式2x^2+mx-2m-3≤(2-m)x^2+(4m+2)x-2m-9，化簡得(m-5)x^2+(3m+5)x-6≤0，解得x屬于(-∞,2]∪[3,∞)。20.（1）當(dāng)x=120時，每小時耗油11.5升，代入公式得k=69/4，所以x屬于[69,120]；（2）汽車行駛100千米的油耗為100/120*(120-k+5/120*120^2)=25-5k/24，對k求導(dǎo)得到k=60/7時油耗最小，此時油耗為20/7升。21.（1）當(dāng)a=1時，p為真命題時x屬于(-∞,-sqrt(7)]∪[sqrt(7),+∞)，q為真命題時x屬于[2,4)，所以x屬于[2,sqrt(7)]；（2）由于q是p的充分不必要條件，所以p為假命題時q也為假命題，即x屬于[-sqrt(7),2]∪[4,+∞)，所以a>1或a<-3。22.（1）當(dāng)x1<x<x2時，不等式ax^2-bx+1>0，即b^2-4a<0，所以a>0，且b=2a(x1+x2)，代入得a(x1-x2)^2-1>0，即a>1/(x1-x2)^2，所以實數(shù)a存在，且a>1/(x1-x2)^2，b=2a(x1+x2)；（2）由于方程ax^2-bx+1=0在x∈(x-2,-1)上恰有一個實數(shù)根，所以b^2-4a=0且-2a(x-2)-b=1，解得a=1/4，b=9/4，所以答案為a=1/4。解析：本題考查不等式的解法和集合的含義。首先，將不等式化為左邊是一個因式的乘積，右邊是0的形式，即$(x-m)(x+2)<0$和$x(x-1)\leq0$。然后，根據(jù)不等式的解法，將$(x-m)(x+2)<0$和$x(x-1)\leq0$的解集畫出來，分別為$A$和$B$。因為$B\subseteqA$，所以$B$的解集必須在$A$的解集內(nèi)部或者與$A$的解集重合，即$x(x-1)\leq0$的解集必須在$(x-m)(x+2)<0$的解集內(nèi)部或者與$(x-m)(x+2)<0$的解集重合。因此，$m$的取值范圍為$m>1$或$m<\frac{-1}{2}$，即$\{m|m>1\}$。所以，選擇答案【A】。.將文章中的符號錯誤修正，刪除明顯有問題的段落，重新排版后如下：1.解不等式x(x-1)≤0，得0≤x≤1。因此，B={x|0≤x≤1}。2.因為m為正數(shù)，所以m>-2。原不等式的解集為A={x|-2<x<m}。因為B?A，所以m>1。因此，正數(shù)m的取值范圍為{m|m>1}。選擇答案【A】。3.本題考查一元二次方程實數(shù)根的分布（K分布）。結(jié)論：一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的一個根大于k，另一根小于k的條件是f(k)<0，其中f(x)=ax^2+bx+c。設(shè)f(x)=x^2+(a^2-1)x+a-2，由題意可知f(1)=1+a^2-1+a-2<0，解之得-2<a<1。因此，實數(shù)a的取值范圍為{a|-2<a<1}。選擇答案【B】。4.原不等式可化為(x-1)(x-a)<0。當(dāng)a>1時，原不等式的解集為{x|1<x<a}。因為其解集中恰有一個整數(shù)，所以2≤a≤3；當(dāng)a=1時，(x-1)<0，原不等式的解集為空集，不符合題意；當(dāng)a<1時，原不等式的解集為{x|a<x<1}。因為其解集中恰有一個整數(shù)，所以-1≤a<1。綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為{a|-1≤a<1或2<a≤3}。選擇答案【C】。5.根據(jù)題意，要使累計收入高于800元，即y>800，解得-20<x<80。因此，營運天數(shù)x的取值范圍為{x|40<x<80}。選擇答案【C】。答案【D】解析本題考查含參一元二次不等式的恒成立問題，需要運用到不等式的性質(zhì)和運算法則。由題意可得：對任意實數(shù)x，都有(x-a)(x+a)=x(1-a^2)-a^2<1?；喌茫簒(1-a^2)<1+a^2。若a^2≥1，則不等式對任意實數(shù)x都成立，與題意矛盾，故a^2<1。當(dāng)a>0時，不等式兩邊同時除以1-a^2，得到x<(1+a)/(1-a)。當(dāng)a<0時，不等式兩邊同時除以1-a^2，得到x>(1+a)/(1-a)。綜上可得，當(dāng)a<1且a>-1時，不等式對任意實數(shù)x都成立，即實數(shù)a的取值范圍為【a>-1且a<1】。因此，選擇答案【D】。答案【BCD】解析本題考查一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系可得:x2x3m的實數(shù)根x1,x2的和與積分別為:x1x25,x1x2m.∵x1x2∴x2x1x2x12523.又∵x1x2m∴m0時,x1,x2同號,故2x1x23;m0時,x12,x23;m0時,x1,x2異號,故x12x23或x13x22.又由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:yxx1xx2的圖像開口朝上,在x1和x2之間取到最小值,即當(dāng)x12x1x2時取到最小值.∴選擇答案【BCD】.已知集合$A=\{x|x^2+(m+2)x+1=0\}$，集合$B=\{x|x>0\}$，若$A\capB=\varnothing$，則實數(shù)$m$的取值范圍是$\{-4<m<-\frac{1}{4}\}$。解析：當(dāng)$A=\varnothing$時，$A\capB=\varnothing$，此時$\Delta=(m+2)^2-4<0$，解得$-4<m<-\frac{1}{4}$。當(dāng)$A\neq\varnothing$時，設(shè)方程$x^2+(m+2)x+1=0$的兩個實數(shù)根分別為$x_1,x_2$。由于$B=\{x|x>0\}$，所以$x_1<0,x_2<0$。根據(jù)求根公式，有$x_1+x_2=-(m+2)<0$，即$m>-2$。又$x_1x_2=1>0$，所以$x_1$和$x_2$同號，即$m^2+4m>0$，解得$m>-4$。綜上所述，實數(shù)$m$的取值范圍是$\{-4<m<-\frac{1}{4}\}$。方程x2-2mx+m+6=0的兩根為x1和x2，則實數(shù)m的取值范圍是m≥3或m≤-2，x1-2的平方加上x2-2的平方的最小值是2。解析：通過一元二次方程與一元二次函數(shù)的關(guān)系，我們可以得到m的取值范圍。然后，通過根與系數(shù)的關(guān)系定理，我們可以推導(dǎo)出x1和x2的關(guān)系式，進(jìn)而得到x1-2的平方加上x2-2的平方的表達(dá)式。最后，通過求導(dǎo)或者配方法求最小值，得到最小值為2，當(dāng)m=3時取得最小值。有一道長為30m的籬笆，一面與墻相連（墻的最大可用長度為10m），圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃。設(shè)花圃的一邊AB為xm，面積為ym2。如果圍成的花圃的面積不少于63m2，則x的取值范圍是3≤x≤7。解析：通過畫圖，我們可以得到BC的長度為30-3x，進(jìn)而得到花圃的面積表達(dá)式。然后，通過一元二次不等式的解法，我們可以得到x的取值范圍。最終，我們可以得到3≤x≤7。解：（1）當(dāng)汽車以120千米/時的速度行駛時，每小時耗油11.5升，根據(jù)題意可得：$$\frac{14500}{x}(x-k+5)=11.5$$化簡得：$$k=100$$代入每小時耗油不超過9升的條件中，可得：$$\frac{14500}{x}(x-95)\leq9$$整理得：$$x^2-145x+4500\leq0$$解得：$45\leqx\leq100$，結(jié)合已知條件$60\leqx\leq120$，得到$x$的取值范圍為$[60,100]$。（2）根據(jù)題意，油耗公式為：$$f(x)=\frac{14500}{x}(x-k+5)$$將$x=100$代入得到$f(100)=115$，將$x=60$代入得到$f(60)=\frac{725}{3}$，因為$f(x)$是一個開口向下的二次函數(shù)，所以當(dāng)$x=\frac{14500}{2k-5}$時，$f(x)$取得最小值。代入$k=100$得到$x=72.5$，所以汽車行駛100千米的油耗的最小值為：$$f(72.5)=\frac{14500}{72.5}(72.5-100+5)=\frac{725}{2}=362.5$$，∴x1和2是該二次函數(shù)的根，即ax1^2-bx1+1=0ax2^2-bx2+1=0解得x1+x2=b/ax1x2=1/a∵x1和x2都在區(qū)間(1,2)內(nèi)，∴1<x1x2<4又∵x1x2=1/a>0，∴a>0將x1+x2=b/a代入不等式ax^2-bx+1>0中，得a(x-x1)(x-x2)<0，即(x-x1)(x-x2)的符號與a的符號相反∵x1和x2都在區(qū)間(1,2)內(nèi)，∴x1+x2<4∴b/a=x1+x2<4，即b<4a又∵x1x2=1/a，∴a(x-1)(x-2)>0的解集是(1,2)，即a(x-1)(x-2)的符號與x1和x2的符號相反∴x1和x2的符號相反，不妨設(shè)x1<0<x2又∵x1x2>0，∴a>0綜上所述，當(dāng)a>0時，不等式ax^2-bx+1的解集是(1,2)的充要條件是b<4a。（2）將b=a+2代入方程ax^2-bx+1=0中，得ax^2-(a+2)x+1=0設(shè)該方程的根為x0，則x0=(a+2±√(a^2-4a))/2a∵x-2<x0<-1，∴x0<0又∵該方程在(1,2)上有唯一實數(shù)根，∴