學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A必修四同步輔導(dǎo)與檢測任意角

三

角

函

數(shù)

1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．理解任意角的概念，特別是象限角、區(qū)間角、終邊相同的角的概念及其表示法．2．了解正角、負角、零角的概念．3．體會并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．基礎(chǔ)梳理一、任意角1．任意角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．射線的起始位置是角的________，射線的終止位置是角的________，射線的端點是角的________．練習(xí)1：下列說法正確的是()A．最大角是180°B．最大角是360°C．角不可以是負的D．角可以任意大小始邊

終邊

頂點

解析：由角的定義，角可以是任意大小的．故選D.答案：D2．正角、零角、負角概念：按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為以下三類：(1)________—按________方向旋轉(zhuǎn)所形成的角；(2)零角—射線________作任何旋轉(zhuǎn)形成的角；(3)________—按________方向旋轉(zhuǎn)所形成的角．練習(xí)2：時鐘的分針經(jīng)過15分鐘旋轉(zhuǎn)的角為()A．15°B．90°C．－15°D．－90°2．(1)正角逆時針(2)沒有(3)負角順時針練習(xí)2：解析：時針的分針是按順時針旋轉(zhuǎn)形成的角，所以為負角．故選D答案：D思考應(yīng)用1．定義了任意角后，角的范圍是怎樣的？解析：由角的定義，角的大小可以是任意的，角的范圍不再限于[0°，360°]．二、象限角和軸線角1．象限角：當(dāng)角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做________的角．練習(xí)3：下列哪個角是第三象限角()A．15°B．105°C．215°D．315°解析：∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角，故選C.答案：C2．軸線角：當(dāng)角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合時，如果角的終邊落在______上，就把這個角叫做軸線角．第幾象限

坐標(biāo)軸

思考應(yīng)用2．直角坐標(biāo)系中角的分類與初中學(xué)習(xí)的銳角，直角，鈍角，平角，周角的分類有何不同？解析：直角坐標(biāo)系中角的分類是根據(jù)角在坐標(biāo)系內(nèi)終邊的位置而定義的，而初中學(xué)習(xí)的角的分類是根據(jù)角的范圍而定義的，通過定義比較我們可以知道銳角是第一象限的角，鈍角是第二象限的角，直角，平角，周角都是軸線角．但要注意反之則不然，也就是說第一象限的角不都是銳角．三、奪終邊斬相同兵的角所有睛與角α終邊句相同我的角折，連冊同角α在內(nèi)錘，可扇構(gòu)成臭一個案集合聚為__儉__糊__千__錢__免__默__貞__泳__輔__．即或任一折與角α終邊召相同塵的角牽，都剪可以私表示愿成角α與整慰數(shù)個語周角植的和蔥．練習(xí)4：與碌角30雜°終邊須相同競的一屋個角佛是()A．15宿0°丈B．－30春°C．39撲0°抱D．－30蹲0°解析需：∵39吵0°＝36糧0°＋30瓜°，∴39呆0°與30傲°終邊段相同斑，故閥選C.答案目：C思考售應(yīng)用3．終疲邊相閥同的俊角相業(yè)等嗎知？解析：由終也邊相脂同的資角的悔定義命可知福，相頓等的米角，彎終邊椅一定流相同筒；終顧邊相稻同的竹角不盞一定難相等俘．終摧邊相應(yīng)同的鳥角有嚴無數(shù)觸多個痰，它征們相證差36液0°的整嶺數(shù)倍虜．自測殖自評1．下鈔列哪而個角頑是第故四象犯限角()A．15先°B．10爹5°C．21垂5°D．31隊5°2．下錫列各環(huán)角中她與60美°角終紗邊相插同的遍角是()A．15舞0°股B．－30劣°C．39砌0°就D．－30卷0°DD3．若α是第下一象乒限角攪，則朽下列近各角德中屬軋于第根四象春限角它的是()A．90沖°－αB．90桌°＋αC．36結(jié)0°－αD．18統(tǒng)0°＋α解析：∵α是第顧一象舒限角避，∴k·3爭60懂°＋0°景<α<k·3葵60健°＋90運°，k∈Z，∴k·3你60澡°－90賀°<－α<k·3斗60忘°＋0°，k∈Z，∴k·3悉60閣°＋27忙0°芽<3揉60其°－α<k·3倉60紫°＋36撒0°，k∈Z，∴36棉0°－α是第讀四象傭限角啞，答夠案選C.答案：C4．下既列命亂題：①一個略角的撒終邊園在第分幾限苦，就號說這丹個角貨是第瓦幾象燭限的婆角；②14煌00待°的角單是第廁四象鐮限的顛角；③－30股0°的角綢與16御0°的角帽的終落邊相嫩同；④相等糾的角兵的終診邊一榨定相李同；⑤終邊導(dǎo)相同翻的角錢一定棉相等港．其中罵正確泛命題賀的序莖號是__金__絨__盤__步__演__．解析：∵14稱00貝°＝3×36竊0°＋32德0°，∴14堪00隊°的角壟與32賣0°的角做的終魚邊相革同，柴而32憶0°＝36蹦0°－40那°是第姿四象糾限的標(biāo)角，∴14甘00販°的角籍是第再四象龍限的仰角．②對．∵－30涂0°＝－36暮0°＋60都°，∴－30物0°的角偶與60彎°的角樸的終私邊相替同．③錯．又由碎相關(guān)泊定義蹤蝶知①④正確聰，⑤不正甚確．漂故答泰案應(yīng)憤填①②鋒④.答案：①②飽④角的滅有關(guān)故計算鐘表恭經(jīng)過30分鐘桐，時殺針轉(zhuǎn)乒了多社少度送？分紅針轉(zhuǎn)顛了多土少度葉？解析：鐘表個經(jīng)過30分鐘頂，時附針按內(nèi)順時島針方居向轉(zhuǎn)歡了30×＝15艱°，表色示－15椅°；分針巷也按帳順時久針方撕向轉(zhuǎn)枝了30×＝18悔0°，表竭示－18速0°撒.跟蹤蕉訓(xùn)練1．若饞將鐘慘表撥孕慢30分鐘殃，則抱時針仇轉(zhuǎn)了撤多少港度？遼分針倚轉(zhuǎn)了死多少發(fā)度？解析：鐘表衡撥慢30分鐘固，時簡針按角逆時造針方絕向轉(zhuǎn)器了30×＝15方°，表菠示15制°；分針的也按塔逆時繁針方醋向轉(zhuǎn)幫了30×＝18喜0°，表揮示18造0°熄.象限隔角的壞確定已知舉角的澤頂點菜與坐構(gòu)標(biāo)原潔點重黑合，蕉始邊蹄落在x軸的慶非負援半軸液上，限在0°≤α<3雕60箱°范圍引內(nèi)，氣找出晉與下壇列各肚角終陡邊相桌同的懸角，廟并判隨斷它普們是嘆第幾的象限裕角．(1俗)－15糊0°；(2示)7吹30附°；(3惹)－79鈔5°；(4譽)9橡50孔°1棵8′.解析：(1永)∵－15蟻0°＝－36匹0°＋21鉗0°，∴在0°≤α<3膀60災(zāi)°在范若圍內(nèi)計，終篩邊與降－15己0°相同盼的角騾是21勾0°，它燙是第邀三象列限角辟；(2紙)∵73絹0°＝2×36新0°＋10晶°，∴在0°≤α<3饞60沙°在范歌圍內(nèi)喪，終獸邊與73成0°相同強的角介是10倒°，它膊是第宅一象膨限角掩；(3恩)∵－79哲5°＝－3×36址0°＋28麥5°，∴在0°≤α<3榆60撥°范圍鳳內(nèi)，犯終邊綱與－79脊5°相同余的角功是28贈5°，它獅是第室四象控限角仆；(4斯)∵95跳0°達18′＝2×36榨0°＋23流0°奧18′，∴在0°≤α<3原60富°范圍抗內(nèi)，月終邊怠與95茶0°繳18′相同澡的角霜是23尖0°約18′，它縫是第榆三象造限角括；點評：象限佩角的辯判定簽有兩贈種方抬法：僑一是攤根據(jù)廊圖象糕，二抖是將羊角轉(zhuǎn)烏化到0°≤α<3揚60鐵°范圍壯內(nèi)．愛利用藏圖象瓦判斷布時，址依據(jù)汪的還敗是終陸邊相冬同角姜的思嫩想．寧為什川么轉(zhuǎn)觸化到0°≤α<3泥60市°范圍受內(nèi)就孔可以唯判定店呢？語那是起因為0°≤α<3詞60盞°范圍喜內(nèi)的猴角與樹坐標(biāo)膀系中妖的射的線可名以建由立一抹一對萍應(yīng)關(guān)協(xié)系，縫也就治是說阿在直銅角坐待標(biāo)系崖內(nèi)，幟在0°≤α<3短60坡°范圍趙內(nèi)沒厘有兩刑個角栗終邊雷是相泊同的競．跟蹤沒訓(xùn)練2．指丈出下慚列各大角是臭哪個悠象限夏的角主？(1跪)4價20真°；(2梯)－75吸°；(3針)8涌55羨°；(4賭)－51肝0°隱.解析患：(1杜)∵42錄0°＝36稿0°＋60蘭°，∴42車0°與60筒°終邊負相同躲，故校為第掏一象址限角初．(2蜘)－75透°顯然崇為第叮四象久限角哨．(3戲)∵85耳5°＝2×36呆0°＋13州5°，∴85型5°與13罵5°終邊喬相同棵，∴85添5°為第題二象龜限角訓(xùn)．(4疏)∵－51執(zhí)0°＝－2×36冒0°＋21贊0°，∴－51把0°為第局三象足限角狡．答案悅：(1膠)第一租象限陜角；(2精)第四宗象限紛角；(3朵)第二小象限柿角；(4歌)第三焦象限研角．終邊蛾相同畢的角節(jié)的表矛示分別升寫出崗終邊繩落在流以下量直線貞上的列角的痛集合抵：(1沿)終邊紙落在x軸上追；(2孝)終邊促落在流直線y＝x上．解析：(1沿)在0°≤α<3仗60架°范圍墻內(nèi)，而終邊采落在x軸上狀的角令有0°和18叨0°，與0°角終汪邊相即同的曉角的促集合恢為S1＝{α|α＝k·3哭60鋸°，k∈Z}，與18域0°角終姐邊相技同的務(wù)角的映集合錘為S2＝{α|α＝18站0°＋k·3沿60嶺°，k∈Z}．故終晚邊在x軸上讀的角蒙的集駁合為播：S＝S1∪S2＝{α|α＝k·3走60蒜°，k∈Z}∪{α|α＝18堅0°＋k·3芬60顯°，k∈Z}＝{α|α＝2k·1梳80悉°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)械·1牛80糟°，k∈Z}＝{α|α＝k·1睛80災(zāi)°，k∈Z}．(2怖)在0≤α<3區(qū)60處°范圍丸內(nèi)，堂終邊功落在宅直線y＝x上的淡角有45姐°和22查5°，與45慚°角終滴邊相舍同的詳角的依集合孩為：S3＝靜，與22惰5°角終將邊相亡同的櫻角的忙集合款為：S4＝礙，故終吧邊在誓直線y＝x上的現(xiàn)角的院集合晝?yōu)椋篠＝S3∪S4＝{α|α＝45蔽°＋k·3請60瓦°，k∈Z}∪{α|α＝22慎5°＋k·3片60喘°，k∈Z}＝{α|α＝45醉°＋2k·1璃80臥°，k∈Z}∪{α|α＝45秩°＋(2k＋1)淚·1涼80旬°，k∈Z}＝{α|α＝45稱°＋k·1處80攔°，k∈Z}．點評：終邊絨相同探的角競具有撿重要索意義有，其腫核心第是周稿期現(xiàn)鑼象．白那么沃如何源探求勝終邊荒相同巾的角溉呢？溝將角所轉(zhuǎn)化品到0°≤α<3巾60蠻°范圍侵內(nèi)是鼻有效藝的．媽就本檢題而結(jié)言，幣還必患須熟熱練地察進行云集合指的合換并．跟蹤琴訓(xùn)練解析：∵－45號7°＝－2×36蓬0°＋26沙3°，∴－45排7°與26駐3°是終耳邊相旁同的湖角，爹選C.答案：C4．分婚別寫懂出終彩邊落蕉在以壺下直再線上欺的角佛的集缺合：(1攤)終邊慌落在y軸上菌；(2皺)終邊巾落在幸直線y＝－x上；(3孝)終邊口落在未坐標(biāo)懂軸上軌．解析：(1隆)在0°≤α<3普60勺°范圍泉內(nèi)，排終邊粱落在y軸上縮慧的角布有90竟°和27投0°，與90痕°角終勢邊相鋸?fù)陌l(fā)角的見集合而為：S1＝樣，與27斤0°角終緣瑞邊相車同的唯角的收集合街為：S2＝{α|α＝{2箭70爬°＋k·3緊60屯°，k∈Z}，故終件邊在y軸上瘡的角喇的集美合為廳：S＝S1∪S2＝{α|α＝90紀(jì)°＋k·3訓(xùn)60陡°，k∈Z}∪{α|α＝27因0°＋k·3址60優(yōu)°，k∈Z}＝{α|α＝90加°＋2k·1戴80響°，k∈Z}∪{α|α＝90宰°＋(2k＋1)填·1內(nèi)80活°，k∈Z}＝.(2靈)在0°≤α<3仰60半°范圍兩內(nèi)，得終邊謀落在馳直線y＝－x上的際角有13炮5°和31跡5°，與13拐5°角終抓邊相玩同的漠角的蹄集合憲為：S3＝汽，與31攀5°角終暖邊相幅同的謙角的莫集合役為：S4＝{α|α＝31府5°＋k·3布60役°，k∈Z}，故終布邊在蔥直線y＝x上的插角的冶集合括為：S＝S3∪S4＝{α|α＝13弓5°＋k·3冰60羨°，k∈Z}∪{α|α＝31絹5°＋k·3嗽60錫°，k∈Z}＝{α|α＝13食5°＋2k·1際80檢°，k∈Z}∪{α|α＝13幻玉5°＋(2k＋1)中·1逐80糞°，k∈Z}＝{α|α＝13綿5°＋k·1衰80濁°，k∈Z}．(3撲)在0°≤α<3輛60峽°范圍辛內(nèi)，韻終邊換落在輕坐標(biāo)裝軸上野的角叼有0°，90怎°，18補0°和27吳0°悄.與0°角終熄邊相煤同的灰角的惠集合抵為S5＝與90伏°角終溝邊相蛾同的拖角的擦集合盤為S6＝{α|α＝90雙°＋k·3附60口°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋1)害·9姜0°，k∈Z}，與18憤0°角終吩邊相腰同的會角的姓集合繡為S7＝{α|α＝18每0°＋k·3摘60疼°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋2)泳·9普0°，k∈Z}，與27晨0°角終草邊相回同的歸角的校集合纏為S8＝{α|α＝27附0°＋k·3冷60賭°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋3)檔·9訊0°，k∈Z}，故終論邊在璃坐標(biāo)礙軸上釋的角破的集嬸合為衣：S＝S5∪S6∪S7∪S8＝.區(qū)間限角的故表示已知檢集合A＝{α|k·1宿80剪°＋30悲°<α<k·1譽80污°＋90釣°，k∈Z}，集脫合B＝{β|k·3族60漿°－45炭°<β<k·3偷60壘°＋45補°，k∈Z}，求A∩B.解析：∵A＝{α|k·1兆80搏°＋30些°<α<k·1熔80叔°＋90廁°，k∈Z}，當(dāng)k＝2n，n∈Z時，A＝{α|n·3濫60章°＋30珍°<α<n·3灣60估°＋90蹲°，k∈Z}，當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時，A＝{α|n·3站60很°＋21蜻0°惕<α<n·3水60勵°＋27菜0°，k∈Z}，∴角α為第歪一或其第三市象限翼角，按而β角為低第一?；虻诒南髢粝藿悄w或終峰邊在x軸正娛半軸含上，∴A∩B＝{α|k·3叉60閉°＋30應(yīng)°<α<k·3僵60尸°＋45盟°，k∈Z}．點評：探求蠻角的得范圍竄的問奪題，臉可運亡用終炭邊相智同角炮的概偶念，僵再通矮過不回等式杜運算勒進行攻集合鋸的合富并．靈還可翅以利嗎用數(shù)蠟形結(jié)謎合思狂想，攤先確濕定終竄邊為“邊界”的角障的集捐合，獸最后賄再合鉛成，型要注懇意虛系線與狼實線財?shù)牟畈靹e．跟蹤粉訓(xùn)練5．(1捷)分別前寫出衫第一慮、三乓象限惜角的滅集合訴；(2戚)寫出乘第一徒、三妖象限瘡角的玻集合屈．解析：(1直)設(shè)角α的頂谷點與爽坐標(biāo)餓原點爆重合沫，始峰邊落初在x軸的齒非負蓬半軸丹上，教終邊篇落在摔第一緣瑞象限坐內(nèi)，深則角α的集塊合為A＝{α|k·3貧60韻°＋0°拔<α<k·3柴60匹°＋90薯°，k∈Z}；同理翠，設(shè)漲角β的頂壩點與棗坐標(biāo)渡原點嘆重合織，始裕邊落巖在x軸的耕非負疊半軸謹上，大終邊死落在膛第三泳象限聽內(nèi)，壩則角β的集樂合為B＝{β|k·3鍛60蘆°＋18康0°刊<β<k·3水60艱°＋27吸0°，k∈Z}．(2頸)由(1嗽)知，擊終邊抄落在緣瑞第一漫或第旱三象歷限角抓的集哲合為A∪B＝{α|2n·1乎80哀°<α<2n·1桌80徒°＋90搭°}∪{B|(志2n＋1)龍·1讀80妹°<β<(禾2n＋1)辦·1查80垂°＋90臭°，n∈Z}＝{a|k·1景80弄°<α<k·1炸80即°＋90跪°，k∈Z}．等分尚角的民表示已知蛛角α是第損二象基限角弱，試彎問：型是第廉幾象井限角眨？解析：解法匯一：∵α是第暮二象沃限角敗，∴k·3拾60箱°＋90區(qū)°<α<k·3挎60盾°＋18乘0°，k∈Z，∴k·1仔80板°＋45樂°<臟<k·1繪80博°＋90右°，k∈Z，當(dāng)k＝2n，n∈Z時，n·3租60緊°＋45獻°<泳<n·3藏60值°＋90影°，n∈Z，此時旗，葉是漆第一盡象限濤角；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時，解法濃二：如勵圖所雅示，快先將語各象限分螞成二獅等分秋，再意從x軸正始向的將上方依次投將各壺區(qū)域尸標(biāo)上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，則標(biāo)取有Ⅱ的區(qū)符域即草為膝的多終邊只所在嶄的區(qū)絕域．監(jiān)故存是第捎一、筆三象帶限角拴．點評：對象瞇限角木進行胃和、刊差、暖倍、泳分運徑算時漆，要川注意助運用崇不等猾式的裙性質(zhì)啟，結(jié)旬果是鐵哪個均象限互的角萌，要迫分類故討論譯．還錯可以刊通過旗畫圖殿象的跑方法辱進行務(wù)直觀竊的判抵斷．n·3朱60絕°＋22淋5°抄<乓<n·3勒60犁°＋27紀(jì)0°，n∈Z，此時訪，摸是延第三急象限揪角．∴是第怠一或厲第三百象限播角．跟蹤命訓(xùn)練6．已辜知角α是第拾二象煉限角飾，試名問：2α是第叢幾象切限角橋？解析：∵α是第尖二象嘉限角達，∴k·3峰6