湖南省邵陽市新邵縣迎光鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省邵陽市新邵縣迎光鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知圓C：x2+y2=1，點(diǎn)M（t，2），若C上存在兩點(diǎn)A，B滿足，則t的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]參考答案：C考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：通過確定A是MB的中點(diǎn)，利用圓x2+y2=1的直徑是2，可得MA≤2，即點(diǎn)M到原點(diǎn)距離小于等于3，從而可得結(jié)論．解答：解：如圖，連結(jié)OM交圓于點(diǎn)D．∵=，∴A是MB的中點(diǎn)，∵圓x2+y2=1的直徑是2，∴MA=AB≤2，又∵M(jìn)D≤MA，OD=1，∴OM≤3，即點(diǎn)M到原點(diǎn)距離小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．2.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，則恰有一個(gè)紅球的概率是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C從袋中任取2個(gè)球，恰有一個(gè)紅球的概率，選C.3.設(shè)a，b∈R+，則“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】首先，將a2﹣b2＞1化簡(jiǎn)為（a﹣b）（a+b）＞1，然后，結(jié)合條件a，b∈R+，做出判斷．【解答】解：設(shè)命題p：a﹣b＞1；命題q：a2﹣b2＞1∵a2﹣b2＞1化簡(jiǎn)得（a﹣b）（a+b）＞1又∵a，b∈R+，∴p?q，q推不出p，∴P是q的充分不必要條件，即“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的充分不必要條件．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查充分條件、必要條件和充要條件的概念及其應(yīng)用，屬于中檔題．4.設(shè)ω＞0，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后與原圖象重合，則ω的最小值是（）A． B． C． D．3參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)圖象向左平移個(gè)單位后與原圖象重合，得到是一個(gè)周期，寫出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵圖象向左平移個(gè)單位后與原圖象重合∴是一個(gè)周期∴ω≥3所以最小是3故選D．5.函數(shù)y＝的圖象如左下圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）參考答案：D6.已知滿足約束條件

，則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.在R上定義運(yùn)算若對(duì)任意，不等式都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：C由題意得，故不等式化為，

化簡(jiǎn)得，

故原題等價(jià)于在上恒成立，由二次函數(shù)圖象，其對(duì)稱軸為，討論得

或，解得或，綜上可得8.已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若z=a+i，，則a=（A）1或-1

（B）或-

（C）-

（D）參考答案：A由得，所以，故選A.9.若（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.從如圖所示的正方形OABC區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x、y滿足條件，則z=x+3y的最大值是

.參考答案：略12.在平行四邊形ABCD中，，則

．參考答案：－7在平行四邊形ABCD中，，，則.

13.已知函數(shù)在區(qū)間[1,e]上取得最小值4，則

▲

．參考答案：－3e14.若，α是第二象限的角，則=．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專題：計(jì)算題．分析：由題意可求得cosα，利用兩角差的余弦即可求得答案．解答：解：∵sinα=，α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=﹣×+×=．故答案為：﹣．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，求得cosα是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．15.已知，且，則的最大值為

.參考答案：16.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6，將這顆骰子連續(xù)投擲三次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則三次點(diǎn)數(shù)依次成等比數(shù)列的概率為

參考答案：17.若，，則=

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修：不等式選講（1）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）已知，求證：．參考答案：

（1），

（2）因?yàn)?，所?/p>

19.某單位委托一家網(wǎng)絡(luò)調(diào)查公司對(duì)單位1000名職員進(jìn)行了QQ運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)調(diào)查，繪制了日均行走步數(shù)（千步）的頻率分布直方圖，如圖所示（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示運(yùn)動(dòng)量在[4，6）之間（單位：千步））．（1）求單位職員日均行走步數(shù)在[6，8）的人數(shù)．（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）若將頻率視為概率，從本單位隨機(jī)抽取3位職員（看作有放回的抽樣），求日均行走步數(shù)在[10，14）的職員數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）依題意及頻率分布直方圖先求出單位職員日均行走步數(shù)在[6，8）的頻率，由此能求出日均行走少數(shù)在[6，8）的人數(shù)．（2）根據(jù)頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[8，10）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，列方程能求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（3）單位職員日均行走步數(shù)在[10，14）的頻率為（0.125+0.075）×2=0.4，由題意知X～B（3，0.4），由此能求出日均行走步數(shù)在[10，14）的職員數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）依題意及頻率分布直方圖知，單位職員日均行走步數(shù)在[6，8）的頻率為0.100×2=0.2，則日均行走少數(shù)在[6，8）的人數(shù)為0.2×1000=200人．（2）根據(jù)頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[8，10）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.05×2+0.1×2+0.125×（x﹣8）=0.5，解得x=9.6，∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9.6．（3）單位職員日均行走步數(shù)在[10，14）的頻率為（0.125+0.075）×2=0.4，由題意知X～B（3，0.4），P（X=0）=0.63=0.216，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==0.064，∴X的分布列為：X0123P0.2160.4320.2880.064∴E（X）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．20.(本小題滿分l0分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)．（1）求證：；（2）解不等式.參考答案：解：（1），------------------3分又當(dāng)時(shí)，，

∴-----------------------------------------------5分（2）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；-------------------------8分

綜合上述，不等式的解集為：.-------------------------10分21.某高校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組得到的頻率分布表如下：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組[160，165）50.050第二組[165，170）a0.350第三組[170，175）30b第四組[175，180）c0.200第五組

100.100合計(jì)

1001.00（1）為了能選拔出優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，試確定a，b，c的值并求第三、四、五組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；（2）在（1）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官的面試，求第四組中至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】本題的關(guān)鍵是找到頻率分布直方圖每一組的頻數(shù)，在根據(jù)古典概型的計(jì)算公式求得概率．【解答】解：（1）由頻率分布表知a=100×0.35=35，，c=100×0.2=20因?yàn)榈谌⑺?、五組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣法在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第三組人，第四組人，第五組人．所以第三、四、五組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面試．（2）設(shè)第三組的3名學(xué)生為A1、A2、A3，第四組的2名學(xué)生為B1、B2，第五組的1名學(xué)生為C1．則從6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生有15種可能：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），第四組的2名學(xué)生至少有一名學(xué)生被A考官面試共有9種可能其中第四組的2名學(xué)生至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考察頻率分布直方圖、分層抽樣、古典概型的基本知識(shí)，是一道常見的高考題．22.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ）求證：EF∥BC；（Ⅱ）求直線DE與平面BCFE所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；LT：直線與平面平行的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）證明AD∥BC，即可證明BC∥面ADEF，然后證明EF∥BC．（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取CD的中點(diǎn)M，連OM，EM．易證EM⊥平面ABCD．求出設(shè)面BCFE的法向量，設(shè)與所成角為φ，直線DE與面BCEF所成角為θ．通過sinθ=|cosφ|，求解直線EF與平面BCEF所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形所以AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF所以BC∥面ADEF且面ADEF∩面BCEF=EF所以EF∥BC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因?yàn)镕O⊥面ABCD所以FO⊥AO，F(xiàn)O⊥OB又因?yàn)镺B⊥AO以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB