參數(shù)方程在解題中廣泛應(yīng)用

參數(shù)方程在解題中廣泛應(yīng)用

參數(shù)方程在解析幾何中是一個十分重要的內(nèi)容，而且是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)。近幾年來高考對參數(shù)方程和極坐標(biāo)的要求稍有降低，但是，可用參數(shù)方程求解的問題和內(nèi)容有所增加且與三角函數(shù)聯(lián)系緊密。本文以具體的例子闡述參數(shù)方程的廣泛應(yīng)用。

一、探求幾何最值問題

有時在求多元函數(shù)的幾何最值有困難，我們不妨采用參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化為求三角函數(shù)的最值問題來處理。

例1在△ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為△ABC的內(nèi)切圓的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。

解由，運(yùn)用正弦定理，可得：

∵sinA·cosA=sinB·cosB

∴sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

∴A+B=，則△ABC為直角三角形。

又C=10,，可得：

a=6,b=8,r=2

如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的參數(shù)方程為

所以圓上動點(diǎn)P的坐標(biāo)為，從而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)0＜θ＜π，當(dāng)θ取什么值時，｜AB｜取最小值。

解拋物線

的普通方程為=2px，其焦點(diǎn)為。

設(shè)直線l的參數(shù)方程為：

代入拋物線方程＝2px得：

又∵0＜θ＜π

∴當(dāng)θ=時，｜AB｜取最小值2p。

二、解析幾何中證明型問題

運(yùn)用直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，能簡捷地解決有關(guān)與過定點(diǎn)的直線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離有關(guān)的問題。

例3在雙曲線中，右準(zhǔn)線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜。

證明設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為，

A點(diǎn)坐標(biāo)為。

又，設(shè)AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數(shù)方程依次為：

將①、②代入雙曲線方程，化簡得：

同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：

｜FM｜·｜FN｜=

∴｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)引一直線和雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，又過一焦點(diǎn)F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

證明由已知可得。設(shè)直線AB的傾角為α，則直線AB

的參數(shù)方程為

代入，可得：

據(jù)題設(shè)得直線CD方程為

代入，得：，從而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

三、探求解析幾何定值型問題

在解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)為，有二個變元，若用參數(shù)方程則只有一個變元，則對于有定值和最值時，參數(shù)法顯然比較簡單。

例5從橢圓上任一點(diǎn)向短軸的兩端點(diǎn)分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。

解化方程為參數(shù)方程：

設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，則P。

于是，直線BP的方程為：

直線的方程為：

令y=0代入BP,的方程，分別得它們在x軸上的截距為和。

故截距之積為：·=9。

四、探求參數(shù)的互相制約條件型問題

例6如果橢圓與拋物線=6有公共點(diǎn)，試求m、n滿足

的條件。

分析如果本題采用常規(guī)的代入消元法，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解，極易導(dǎo)致錯誤，而且很難發(fā)現(xiàn)其錯誤產(chǎn)生的原因。若運(yùn)用參數(shù)方程來解，則可“輕車熟路"，直達(dá)解題終點(diǎn)。

解設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

拋物線的參數(shù)方程為

因它們相交，從而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

∵1≤≤9∴-2