關(guān)于拋物線的十個最值問題_第1頁
關(guān)于拋物線的十個最值問題_第2頁
關(guān)于拋物線的十個最值問題_第3頁
關(guān)于拋物線的十個最值問題_第4頁
全文預(yù)覽已結(jié)束

下載本文檔

版權(quán)說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權(quán)，請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

關(guān)于拋物線的十個最值問題

本文用初等方法討論了與拋物線有關(guān)的若干幾何最值問題,得到了十個有趣的結(jié)論.為方便讀者摘用,現(xiàn)用定理形式敘述如下:

定理1.拋物線的所有焦半徑中,以過頂點的焦半徑為最短.

證明:不妨設(shè)拋物線的極坐標(biāo)方程為ρ=

,則顯然有ρ≥

,其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半徑通過拋物線的頂點時.證畢.

定理2.拋物線的過焦點的所有弦中,以拋物線的通徑為最短.

證明:設(shè)拋物線極坐標(biāo)方程為ρ=

,焦點弦為AB,且設(shè)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),則有

│AB│=ρ1+ρ2=

+

=

≥2p=通徑長,

其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦AB為通徑時.證畢.

定理3.設(shè)A(a,0)是拋物線y2=2px(p＞0)的對稱軸上的定點,M(x,y)是拋物線上的動點,則

│MA│min=

證明:由│MA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2

=[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知結(jié)論成立.證畢.

定理4.設(shè)A(a,b)是拋物線y2=2px(p＞0)內(nèi)一定點,

F是焦點,M是拋物線上的動點,則

y

(│MA│+│MF│)min=a+p/2.

Q

M

A(a,b)

證明:如圖1所示,作AQ⊥準(zhǔn)線L:x=-p/2于Q,則知

O

F

x

(│MA│+│MF│)min=│AQ│

=a-(-p/2)=a+p/2.證畢.

圖1

定理5.設(shè)線段AB是拋物線y2=2px(p＞0)的過焦點的弦,分別以A、B為切點的拋物線的兩條切線相交于點M,則三角形ABM的面積的最小值為p2.

證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由A、F、B三點共線可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)

于是利用(1)式由兩切線方程

y

AM:y1y=p(x+x1),

A

BM:y2y=p(x+x2),

M

F

x

易得M的坐標(biāo)(x,y)適合:

B

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽，若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論