高考不等式題型與技巧

不等式解題技巧與題型

技巧一：配湊法

對加法型，兩個因式的未知數(shù)部分湊成倒數(shù)關系，配湊成符合基本不等式成立的三個條件“一正二定三相

等”。

技巧二：分離常數(shù)法

1.已知函數(shù)的表達式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；

2.把分母或分子的一次形式當成一個整體，并將分子或分母的二次形式配湊成一次形式的二次函數(shù)形式；

3.將其化簡即可得到基本不等式的形式，并運用基本不等式對其進行求解即可得出所求的結(jié)果.

技巧三：對勾函數(shù)法：用基本不等式求解時，若遇等號取不到的情況

1.運用湊項或換元法將所給的函數(shù)化簡為滿足基本不等式的形式；

2.結(jié)合函數(shù)/（%）=%+-的單調(diào)性，并運用其圖像與性質(zhì)求出其函數(shù)的最值即可；

x

例題舉證

技巧1配湊法

19

【例1】（2021?廣西河池市）函數(shù)/'（》）=一%+一—（%>1）的最小值為（）

4x-1

A.—B.3C.-D.-

424

【答案】A

【解析】因為x>l,所以x-l>0,所以/3)=±+2=1口一1)+2+2_開2-x-1---9--1—1=—13

4x14x144x-144

x-1913

當且僅當——=——，即x=7時等號成立，所以/(%)的最小值為一.故選：A.

4x-l4

【舉一反三】

1.(2021?江蘇鹽城市)己知一+4歹2=4,則+的最小值為()

xy

59

A.-B.9C.1D.-

24

【答案】D

22檸舟,當?shù)?/p>

【解析】由題意一f=：(x~+4y2)—H5-1^212I-

Xy4rJ41fy2J

42r242

僅當」V=、，即/=—,/=一時等號成立.故選：D.

x2y233

2.(2021?浙江紹興市?紹興一中)若實數(shù)a,6滿足2/+2〃=1，則3-4

卜--的最小值為__________.

ab~+1

【答案】6

【解析】實數(shù)a,b滿足2a2+2〃=1，即/+/=L所以/+(從+1)=2

2'/2

則4+=2>32+,2+1)][3+

a2b2+l3L'〃+lJ

22

2(A6+14a)2(幟+14/1

=-x1+4+——+——>-x5+2J—―x———=二:X(5+4)=6

31a2b2+l3Va2b2+1

22\2_!

當且僅當絲土=當二，又。2+/=4，即，"=2時，

取得等號.

"力+12"

故答案為：6

3.(2021?福建三明市)若正實數(shù)。，6滿足」一+」一

=-則ab+a+6的最小值為

Q+16+22f

【答案】4年+5

【解析】由」一+—L=_L,得ab=b+4,

Q+1b+22

因為a,6為正實數(shù),

「…力+414

所以Q=----=I-I--,

hb

444

所以ab+a+b=b+4+ld---1-h=2b-1---1-5>2.12b---F5=4拒+5,

bbb

4

當且僅當26=一，即6=五時，取等號（止匕時a=l+2收），

b

所以ab+a+b的最小值為4、/，+5,

故答案為：4.72+5

技巧2分類常數(shù)法

x2—3x+3//、

【例2】（2020?安徽蕪湖市?蕪湖一中高一月考）已知則y=-------------有()

2x-2

A.最大值1B.最小值1C.最大值3D.最小值3

【答案】D

【解析】因為

2

X?—3x+3x~—4—3x+6+11I

y=---------x+----一1=(x—2)+41

x-2x—2x-2x—2

>2^(x-2)--^+l=3,

當且僅當X—2=」一，即x=3時，等號成立,

x-2

即y=x-3x+3有最小值3.

"x-2

故選：D.

【舉一反三】

V-23Y+3

I.（2020?無錫市第三高級中學）函數(shù)歹——--（x<—l）的最大值為（）

x+l

A.3B.2C.ID.-I

【答案】D

x~+3x+3(x+1)2+(x+1)+1

【解析】Vy=

x+1x+1

-[-(x+1)+1]+1

一(x+l)

當且僅當％+1=」一=一1,即》=一2等號成立.

x+1

故選：D.

Jr2—2x+4

2.(2020?安徽六安市?六安一中高二開學考試(文))若函數(shù)/(力=^―六上。>2)在工=。處取

最小值，則。=()

A.1+亞B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】由題意，x-2〉0,而

f(x}=x"2*+4=(x-2)+2(x-2)+4=》_2+—+2>2l(x-2)x^—+2=6,當且僅當

x—2x—2x—2vx—2

4

x-2=——，即x=4時，等號成立，

x—2

所以。=4.

故選：C.

3.(2020?陽江市第一中學)若x開g,則/(x)=土二笠■”有()

A.最大值』B.最小值*

C.最大值2D.最小值2

22

【答案】D

7

【解析】Vx>-,.-.%-3>0,

2

22

X-6x+10_(%-3)+11

"(x)=?2、(x-3)x=2,

x—3x—3x—3

當且僅當X—3=一二，即x=4時，等號成立，即/(x)有最小值2.

x—3

故選：D.

?2

4.（2021?安徽師范大學附屬中學）已知函數(shù)/卜卜311■，則/（x）的最大值為（

sinx+2

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】令/=5皿》+2€口,3］,則sinx=f—2,則/?鼠）=一5山2上=.（'二2）=/++一4,

sinx+2tt

令g（/）=/+；-4,下面證明函數(shù)g。）在［1,2）上為減函數(shù)，在（2,3］上為增函數(shù),

任取小與e［l,2）且4則

4][4

g&)-g(，2)=%+丁-4-Z2+--4=

,2>

（乙一，2）（，1，2-4）

他

1<^<Z2<2,則(-2<0,l<Z/2<4,Ag(^)-g(/2)>0,.,.g(^)>g(^2)，

4

所以，函數(shù)g（%）=/+7—4在區(qū)間［1,2）上為減函數(shù),

同理可證函數(shù)8（/）=/+；-4在區(qū)間（2,3］上為增函數(shù),

；g⑴=1，g（3）=；，'gajL

因此，函數(shù)〃x）的最大值為1.

故選：D.

技巧3對勾函數(shù)

丫，4-4Y4-q

【例3】（2例0?江蘇）函數(shù)/（工）=*；的值域為—

【答案】卜8,16-66］叩6+6",+00）

..、，i/,,t+16/+6363

【解析】設x—6=x=/+6,g（/）=-----------t-\----F16，

tt

當f>0時，g（t）2+16,

當且僅當t=3J7,x=3幣+6時等號成立；

同理當f<0時，g（/）<—6J7+16,

當且僅當，=-3，7"=-3近+6時等號成立；

所以函數(shù)的值域為卜816—6jT|u[16+6j7,+8）.

故答案為：（-oo,16-6V7]u[16+6V7,+a））.

【舉一反三】

%2+5

1.（2020?安徽省蚌埠第三中學）函數(shù)歹=^^=的最小值為（）

&+4

A.2B.-C.1D.不存在

2

【答案】B

【解析】令&+4=（22）,

函數(shù)夕=/+；在（1,+℃）上是增函數(shù)，：.歹=/+；在[2,+00）上也是增函數(shù).

...當/=2,即，+4=2,x=0時,ymjn——.故選：B.

2.（2020?全國高三月考）函數(shù)/（》）=①+；—,xe（l,e]的最小值為—

2Inx

【答案】-

2

【解析】令lnx=f,因為x￡（l,e],所以此（0,1],

由對勾函數(shù)的性質(zhì)易知，g（。在（0」]單調(diào)遞減，即g（〃Nn=g（l）=g,

所以函數(shù)/（X）在（1,回上的最小值為

故答案為：一.

2

cinx2

3.（2020?上海）設xw（O,〃），則函數(shù)y=-+的最小值是___________.

2sinx

【答案】-

2

sinxI

【解析】由］￡（0,左）得到OvsinxWl,即0<——<-

22

sinx1

令Aa=----，則^=。+一

2a

因為所以函數(shù)歹=〃+,為減函數(shù)

a

當Q=1時，ymin=』+2=9

2m,n22

故答案為：一

2

技巧強化

一、單選題

1.（2020?浙江高三月考）已知正實數(shù)X、N、z滿足V+V+z?=i,則5-8.■的最小值是（）

z

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】?：X1+y2+z2=1,:A-z2=x2+y2>2xy,/.5-8xy=5-4x2xy>5-4（l-z2）=4z2+1,

由于X、歹、z均為正數(shù)，則生過之絲H1=4Z+LN2J4Z-L=4，

zzzNz

x=y>0x=y=—

1八時，即當,4時，等號成立，

當且僅當

4z=—>01

zz=—

2

因此，U工的最小值是4.

Z

故選：C.

11m

2.（2020?全國）已知x,yeR+,若不等式——+-——+-~丁之。恒成立，則實數(shù)加的最值情況

x+y2x+y3x+2y

為（)

A.有最小值-4B.有最大值-4

C.有最小值4D.有最大值4

【答案】A

11m

【解析】由X,yeR+不等式——+-——+-~~丁NO恒成立

fx+y2x+y3x+2y

即」一+J—2-丁，恒成立，即（3x+2y）］—!—+」一］之一加恒成立.

x+y2x+y3x+2y（x+P2x+yJ

又(3x+2y)+卜[(x+#+(2x+y)]j一?

+y2x+y)

,,2x+yx+y

=1+1+--------+------

x+y2x+y

(_2x+y_2(x+y)-y__j^=2__1_

設x+yx+yx+y

y

x八.x,,0<---<1

由一>0,則—所以x,則1</<2

yy—+i

y

所以生土上+>L=/+L在re(l,2)上單調(diào)遞增，則2x+y?x+y:2

x+y2x+yt''x+y2x+y

所以[+]+2X+9+：+了〉4,即(3x+2y)；—:]>4

1

八*J-八z

所以42—加，即加之一4

故選：A

12m

3（2021?安徽宣城市）已知Q>0,b>0,若不等式上+-2-------恒成立，則實數(shù)加的最大值為（）

ab2a+b

A.10B.9C.8D.7

【答案】c

卜W（2〃+b）,

【解析】因為a>0,b>0,則加vT

所以p+|）（2a+b）=4+2+*4+2Jrr=8,

當且僅當2=色即b=2。等號成立，要使不等式恒成立，所以加W8

ab

所以實數(shù)〃?的最大值為8.

故選：C.

4.（2020?淮北師范大學附屬實驗中學）已知不等式（1+歹）（1+父29對任意正實數(shù)x,y恒成立，則

I》y）

正實數(shù)a的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要（x+y）-+-的最小值大于等于9即可，

（xy）

vx>0,y>0,a>0,

?.（x+y]—+—|=1+—+>l+a+2y[a,

（xyx

當且僅當吧=上即歹=時等號成立，，a+2jZ+129，

yx

:.五22或G4-4（舍去），即a24

所以正實數(shù)a的最小值為4.

故選：B.

14x+\

5.（2020?安徽宿州市）若對任意滿足。+6=8的正數(shù)a,6都有——+->-一成立，則實數(shù)x的取值

a+1h\-x

范圍是（）

A.[0,1）B.（1,+co）C.（^?,0]U（l,+°o）D.（^?,0）U（l,+oo）

【答案】C

14r+l

【解析】若對任意滿足。+6=8的正數(shù)a,b都有——+->--成立，

a+\bl-x

14)[(a+l)+小g5+b|4(a+l)bJ(a+1)

+>15+2.=1當且僅

a+\b9la+1ba+1b9Q+1b

b_4(a+l)

a=2

1+4

當《a+\b即，,，時等號成立，所以I=1，

b=6a+\bmin

a+b=8

即當曾。，即2x(x-l)>0

所以言"〈、'，解得x>l或xWO,

x-l工0

所以實數(shù)x的取值范圍是（TO,0]U（L+8）,

故選:C

6.（2020?江蘇宿遷市）已知x〉0,夕>0,若殳+色土上>〃尸一8加恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是

xy

)

A.-1<w<9B.-9<w<1C.D.，〃2/或加<-9

【答案】A

【解析】因為x>0,y>0,由基本不等式可得應+竺2=型+史+122J肛+1=9,

xyxy工歹

當且僅當y=2x時，等號成立,

2y8x+yo..

由于---1-....->m2-8機怛成立，則團~一8m<9,即tn2—8m—9<0?解得一1<加v9.

xy

故選:A.

7.（2020?浙江iWi一期末）當0<x<一時，不等式—F--—〃?20恒成立，則實數(shù)機的最大值為（）

4xl-4x

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】不等式工+―1-—m20恒成立化為加<2+L恒成立,

x1-4%4xl-4x

因為。-4,所以J4x〉°'

411=5+上+4(1-4x)

所以丁+?;——=(4x+l-4x)±

4xl-4x4x+l-4xl-4x4x

25+2/土-?&二?=5+4=9,當且僅當一出一二4（l—4x）,即》=],時，等號成立.

VI-4x4xl-4x4x6

所以所以加的最大值為9.

故選：C

8.（2021?浙江紹興市?高三期末）已知x>0,y>0且丁二+」7=1,則X+V的最小值為

2x+ly+1

【答案】O

【解析】令a=2x+l,b^y+l,因為x>0,y>0,所以a>l,b>l,

rta-111

貝"=----,y=b-l

2

所以工+工=1

ab

叱，?-l,?3faY13

所以》+卜=^-+6L_]=7+6L_彳=-+bL-+---

222\2)\abJ2

1-ba3ha、-\ban-止口小生”a,2+v2

-+1+-4------=一+—>2J-x-=J2,當且僅當一=二7，即nn6=———4=0+1,

2alb2a2b\a2ba2h2

x=y=也,時取等號

2

故答案為：V2

9.（2021?江蘇泰州市）已知正實數(shù)a、b滿足a+2b=l,則二+々的最小值為___________.

1-a1-b

【答案】

【解析】已知正實數(shù)a、6滿足a+2b=1,則

a11c

--------F絲耳+田---1-----2

\-a\-b2b1—b2b\-b

+」cb1-b1.,b1—bI

3（1叫喉-2=——+------>2*

2b\-b\-b2b2\-b2b2

當且僅當1—6=同時，即當6=及—1時，等號成立,

因此，a+”的最小值為—77.

\-a\-b2

故答案為：V2—.

2

10.(2021?福建莆田市)函數(shù)/(x)=i與+—的最小值是

sinxcosxI2)

【答案】3+2近

【解析】

2sin2x+2cos2xsin2x+cos2x,2cos2xsin2x..2,2cU

/(x)=—+cos-x=3H-------；-----1--------=3H-----；—Ftanx23+2v2

sinxcosxtan~x

當且僅當tan4x=2即tanx=M5時取最小值

故答案為：3+2起

3+r+r?

11.(2020?福建廈門市?廈門外國語學校高一月考)當%〉0時-，函數(shù)y=P+x+上.的最小值為,

1+x

【答案】273-1

【解析】因為x>0,

所以y=3+*+x=---I-x=---+—1>2J---(x+1)—1=2-\/3—1，

1Ix1+x1+xV1+x

當且僅當一二=》+1,即x=6—1時，等號成立.

1+X

故答案為：2后-L

X

12.(2020?江蘇省祁江中學高二期中)函數(shù)夕=----(x>2)的最小值為

x—2

【答案】8

rir1-gx?(x-2)~+4(x—2)+4or4.

【解析】函數(shù)歹=----=-----------------——=x-2+------+4,

x—2x—2x—2

因為x>2,所以x—2>0,所以yZ2j(x-2>']+4=8,當且僅當x—2=1—即x=4時，等號成

立.

故答案為：8.

13.(2020?全國高三專題練習(文))若實數(shù)滿足3/一2孫-_/=],