廣州市番禺區(qū)廣東第二師范學(xué)院番禺附中高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精二師附中2019—2020學(xué)年第一學(xué)期高二級(jí)期末測(cè)試數(shù)學(xué)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分）1.橢圓的離心率為()A. B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】分析】由橢圓方程得到的值，然后由求得的值，進(jìn)而求得離心率?！驹斀狻扛鶕?jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，得，故,所以橢圓的離心率為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求離心率，屬于基礎(chǔ)題。2.在等差數(shù)列中，若，則（）A.2 B.4C。6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，得到答案?！驹斀狻繐?jù)已知得：，所以,故選B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．3。已知，，則是的（）A。充分不必要條件 B。必要不充分條件C。充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將命題轉(zhuǎn)化為集合和，再根據(jù)集合A與B之間的包含關(guān)系以及充分必要條件的定義可得?！驹斀狻吭O(shè)命題:對(duì)應(yīng)的集合為,命題：對(duì)應(yīng)的集合為,因?yàn)锳B,所以命題是命題的充分不必要條件.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,解題關(guān)鍵是將命題之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.4。已知向量，，且與互相垂直,則的值是(）A.-1 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直數(shù)量積為0的性質(zhì)求解．【詳解】∵向量(1，1，0）,（﹣1，0，2），∴k（k,k，0）+(﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2)，2（2,2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，2），∵k和2互相垂直，∴（k）?(2）＝解得k．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直時(shí)實(shí)數(shù)的值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題．5。已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則漸近線方程是A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式，得到關(guān)于的方程，結(jié)合，解方程求出，最后確定雙曲線的漸近線方程,選出正確答案.【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條漸近線方程為:,由題意可知：而，所以，因此雙曲線方程為：,故本題選D?！军c(diǎn)睛】本題考查了雙曲線漸近線方程的求法，考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。6.若等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，等比數(shù)列的首項(xiàng)為-1，公比為-2，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A.—49 B.—219 C。121 D。291【答案】C【解析】【分析】先記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，等比數(shù)列的首項(xiàng)為-1,公比為-2，記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為。故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記分組求和的方法，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可，屬于常考題型。7.如圖所示,在長(zhǎng)方體中，為與的交點(diǎn)．若，,，則下列向量中與相等的向量是(）A. B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】連接，交于點(diǎn),，代入整理即可【詳解】由題，連接，交于點(diǎn)，則故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算,考查空間向量，屬于基礎(chǔ)題8.如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為(）A。 B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】作出異面直線所成的角,解直角三角形求得異面直線所成角的大小.【詳解】設(shè)是與的交點(diǎn)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，則，所以是異面直線與所成的角.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，所以在中,所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成角的大小的求法,屬于基礎(chǔ)題.9。若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值,且，那么取正值時(shí)項(xiàng)數(shù)n的最大值為（)A。15 B。17 C。19 D.21【答案】C【解析】【分析】由題意知，有最大值，得，利用，可得,且，再利用求和公式與數(shù)列的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：由題意值，有最大值，所以，因?yàn)?，可得，且，所以，則，又,所以，，又，所以為最小正值．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題．10.已知命題“"，命題“”.若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（)A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可知“”是真命題，則分別需要使兩個(gè)命題為真,解出對(duì)應(yīng)的，再求交集即可【詳解】對(duì)于命題,在為增函數(shù)，則對(duì)于命題,即，解得，答案選C.11.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為雙曲線：的右焦點(diǎn)，為雙曲線的右支上一點(diǎn),且△為正三角形，則雙曲線的離心率為A. B。 C。 D?！敬鸢浮緼【解析】由題意易知：，代入雙曲線方程得：∴,∴,即，又∴故選A點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式,再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.12.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)、在棱上，動(dòng)點(diǎn),分別在棱,上，若,，,（，,大于零），則四面體的體積（）．A。與，，都有關(guān) B。與有關(guān)，與，無關(guān)C。與有關(guān)，與，無關(guān) D。與有關(guān)，與，無關(guān)【答案】D【解析】如圖：在棱上,在棱上，,所以的高為定值，又為定值，所以的面積為定值,四面體的體積與點(diǎn)到平面的距離有關(guān),即與的大小有關(guān),故選．點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略（1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)．13.命題：，,則為______.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識(shí)，寫出原命題的否定.【詳解】原命題是全稱命題，其否定為特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故為：,.故答案為:，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題。14.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是___________．【答案】【解析】【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由此求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)?！驹斀狻坑傻?，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，到直線的距離為，則的最小值為__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，由此求得這個(gè)最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義可知，，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16.五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次．已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù),當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________．【答案】5【解析】解：設(shè)第n個(gè)數(shù)為，則有．由遞推公式可得,當(dāng)報(bào)到第4k（）個(gè)數(shù)的時(shí)候，恰好是3的倍數(shù)，當(dāng)k取4，9，14,19,24時(shí)，甲同學(xué)拍手一次,共5次．三、解答題(本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.已知雙曲線的離心率等于，且與橢圓：有公共焦點(diǎn)，（1)求雙曲線的方程；（2）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的焦距,求該拋物線方程?！敬鸢浮浚?）（2)或【解析】【分析】（1）由橢圓的方程可得的值及焦點(diǎn)的位置，結(jié)合離心率的值可得的值，最后得,進(jìn)而可得雙曲線的方程；（2)由橢圓的焦距可得的值,進(jìn)而可得拋物線的方程.【詳解】解：（1）由橢圓:得，焦點(diǎn)在軸上，,∴，所以雙曲線方程為。（2）∵橢圓：的焦距為，∴，拋物線方程為,【點(diǎn)睛】本題主要考查了由求雙曲線的方程以及拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題。18。已知等差數(shù)列滿足：，與的等差中項(xiàng)為13.的前項(xiàng)和為.（1)求以及；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），(2)【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組,解方程組求得，由此求得和.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公比為，由得,∴,。（2）由題意可得，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差中項(xiàng)的知識(shí)，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.19。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)在直線上，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】⑴由點(diǎn)在直線上代入得到的關(guān)系，然后求出通項(xiàng)公式⑵由(1）得,運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出前項(xiàng)和【詳解】(1）點(diǎn)在直線上，，.當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí),，兩式相減，得，所以。所以是以首項(xiàng)為,公比為等比數(shù)列，所以.（2），，兩式相減得:，所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的運(yùn)用,錯(cuò)位相減求和的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解各個(gè)概念以及掌握求和的基本步驟．20.如圖，直三棱柱中，,分別是，的中點(diǎn)，。（1）證明：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線，結(jié)合線面平行的判定定理，證得平面。（2）建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算出線面角的正弦值,進(jìn)而求得其余弦值.【詳解】(1)連結(jié)，交于點(diǎn),連結(jié),則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2)由可設(shè):，則，所以，又因?yàn)橹崩庵?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則、、、，,，，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法計(jì)算線面角的余弦值，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題。21。如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且與平面所成的角為.（1）求證：平面平面;（2)求二面角的余弦值。【答案】（1）見解析；（2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）可證平面，從而可證平面平面。（2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸,所在的直線軸所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】(1）證明:在平面中，為沿折起得到，平面，又平面平面平面（2)解:在平面中,由（1）知平面平面而平面故。由與平面所成的角為，得,為等腰直角三角形，，，又,得,，故為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)與平行的直線為軸，所在的直線軸所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則從而，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,則由得,令得，由得，令得,所以，設(shè)二面角的大小為，則為鈍角且，即二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】面面垂直的證明可以通過線面垂直得到,也可以通過證明二面角是直二面角.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算,也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.22.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，且過點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若不過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線段的中點(diǎn)為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線過點(diǎn)，求面積最大值，以及取最大值時(shí)直線的方程．【答案】(1)（2)見解析（3）最大值.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)求得，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)列方程組，解方程組求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理,由此計(jì)算出為定值.（3）設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的