2024屆臨沂市重點中學高三數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆臨沂市重點中學高三數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點O的位置有關(guān)4．已知函數(shù)，不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機取一點，則該點取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．6．地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結(jié)論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過7．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C． D．8．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．89．已知集合，，則為()A． B． C． D．10．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種11．已知，若對任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對數(shù)的底數(shù)）至少有2個正整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，直線是曲線在處的切線，則________.14．能說明“在數(shù)列中，若對于任意的，，則為遞增數(shù)列”為假命題的一個等差數(shù)列是______.（寫出數(shù)列的通項公式）15．若的展開式中各項系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____16．已知數(shù)列的前項和為,,,,則滿足的正整數(shù)的所有取值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）設(shè)函數(shù)，對于任意，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.20．（12分）如圖，已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）證明：平面；（2）求點N到平面CDM的距離．21．（12分）如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.（1）為上一點，且，當平面時，求實數(shù)的值；（2）當平面與平面所成的銳二面角大小為時，求與平面所成角的正弦.22．（10分）已知（1）當時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.2、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算可整理得到，由此得到對應(yīng)的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應(yīng)的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當，即時取最大值，所以.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．6、D【解析】

先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】

首先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)，則，所以A選項不正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，所以B選項不正確；，所以C選項不正確；，所以D選項正確.故選：D【點睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的乘法和除法運算等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想.8、B【解析】

先求出向量,的坐標，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

分別求解出集合的具體范圍，由集合的交集運算即可求得答案.【詳解】因為集合，，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運算，考查基本運算能力.10、B【解析】

把4名大學生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點睛】本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.12、B【解析】

求出在的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當時，，，，又，所以至少小于7，此時，令，得，解得或，結(jié)合圖象，故.故選：B.【點睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

求出切線的斜率，即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知直線過點，可求出直線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14、答案不唯一，如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知，不妨設(shè)，則，很明顯為遞減數(shù)列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個遞減的數(shù)列，還需檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.15、2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、20,21【解析】

由題意知數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當時,,.當時,,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切線的點斜式方程，整理即可；（2）的取值范圍滿足，，求出，當時求出，的解，得到單調(diào)區(qū)間，極小值最小值即可.【詳解】（1）由于，此時切點坐標為所以切線方程為.（2）由已知，故.由于，故，設(shè)由于在單調(diào)遞增同時時，，時，，故存在使得且當時，當時，所以當時，當時，所以當時，取得極小值，也是最小值，故由于，所以，.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.18、（1）或；（2）.【解析】

（1）利用絕對值的幾何意義，將不等式，轉(zhuǎn)化為不等式或或求解.（2）根據(jù)-2在R上恒成立，由絕對值三角不等式求得的最小值即可.【詳解】（1）原不等式等價于或或，解得：或，∴不等式的解集為或.（2）因為-2在R上恒成立，而，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法和不等式恒成立問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，，所以，同理，.（2）設(shè)，則，令，則，即.設(shè)，且，則當時，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因為正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，因為平面ABMN，平面ABMN，所以，，因為，所以，因為，所以，所以，因為在直角梯形ABMN中，，所以，所以，所以，因為，所以平面．（2）如圖，取BM的中點E，則，又BM∥AN，所以四邊形ABEN是平行四邊形，所以NE∥AB，又AB∥CD，所以NE∥CD，因為平面CDM，平面CDM，所以NE∥平面CDM，所以點N到平面CDM的距離與點E到平面CDM的距離相等，設(shè)點N到平面CDM的距離為h，由可得點B到平面CDM的距離為2h，由題易得平面BCM，所以，且，所以，又，所以由可得，解得，所以點N到平面CDM的距離為．21、（1）；（2）.【解析】

（1）連接交于點，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出，然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值；（2）取中點，連接、，過點作，則，作于，連接，推導(dǎo)出，，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計算出、，并證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，進而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點，連接，平面，平面，平面平面，，在梯形中，，則，，，，所以，；（2）取中點，連接、，過點作，則，作于，連接.為的中點，且，，且，所以，四邊形為平行四邊形，由于，，，，，，，為的中點，所以，，，同理，，，，平面，，，，為面與面所成的銳二面角，，，，，則，，，平面，平面，，，，面，為與底面所成的角，，，.在中，.因此，與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查利用線面平行的性質(zhì)求參數(shù)，同時也考查了線面角的計算，涉及利用二面角求線段長度，考查推理能力與計算能力