菱形 省賽獲獎

北師大版數(shù)學(xué)教材八年級下特殊的平行四邊形

-----菱形（1）

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形．

平行四邊形鄰邊相等菱形在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長度，請仔細觀察和思考，在這變化過程中，哪些關(guān)系沒變？哪些關(guān)系變了？想一想如果改變了邊的長度，使兩鄰邊相等，那么這個平行四邊形成為怎樣的四邊形？2000多年前……

一把埋藏在地下的古劍，出土?xí)r依然寒氣逼人，毫無銹蝕，鋒利無比，稍一用力，便可將多層白紙劃破，劍身上整齊排列著黑色菱形暗花紋——越王勾踐劍生活感受菱形就在我們身邊三菱汽車標(biāo)志欣賞

小明是這樣做的：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.你知道其中的道理嗎？從這個圖形中你有什么發(fā)現(xiàn)？

如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？剪一剪ADOCB如圖，在菱形ABCD中，AB=AD，對角線AC，BD相交于點O。(1)圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相等的？(2)圖中有哪些等腰三角形、直角三角形？(3)兩條對角線AC，BD有什么特定的位置關(guān)系？

(4)那么，菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？ODCBA

由于平行四邊形的對邊相等，而菱形的鄰邊相等，因此我們得到：菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等。ABDC菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).菱形的性質(zhì)：菱形是軸對稱圖形,對稱軸有兩條,是菱形兩條對角線所在的直線.菱形的兩條對角線互相垂直，每一條對角線平分一組對角?！咚倪呅蜛BCD是菱形∴AD=AB,OD=OB∴AC⊥BD∴∠9=∠10又∵AO=AO∴△AOD≌△AOB∵△AOD≌△AOB∴∠1=∠2

∴AC平分∠DAB

同理：∠5=∠6，∠7=∠8

∴

BD平分∠ADC和∠ABC∴∠9=∠10=90°已知:四邊形ABCD是菱形求證:AC⊥BD，

AC平分∠DAB和∠DCBBD平分∠ADC和∠ABC證明：菱形的性質(zhì)2：

O6又∵∠9+∠10=180°CBDA10124357986同理：∠3=∠4∴

AC平分∠DCBoO已知:四邊形ABCD是菱形求證:AC⊥BD，

AC平分∠DAB和∠DCBBD平分∠ADC和∠ABC證明2：∵四邊形ABCD是菱形∴AB=AD,（菱形的定義）

∴AC⊥BD,AC平分∠DAB

(為什么?)同理：AC平分∠DCB

OD=OB（平行四邊形的對角線互相平分）

BD平分∠ADC和∠ABCDCBOA菱形的性質(zhì)ADCBO邊角對角線對稱性菱形的兩組對邊平行且相等幾何語言∵四邊形ABCD是菱形∥=∴

ADBCABCD∥=菱形的四條邊相等∴

AB=BC=CD=DA菱形的兩組對角分別相等∴∠DAB=∠DCB∠ADC=∠ABC菱形的鄰角互補∴∠DAB+∠ABC=180°

菱形的兩條對角線互相平分∴OA=OC;OB=OD菱形的兩條對角線互相垂直，每一條對角線平分一組對角。∴

AC⊥BD

∠1=∠2∠3=∠4∠5=∠6∠7=∠8

菱形是軸對稱圖形，有2條對稱軸，是兩條對角線所在的直線。12435768ADCBO∵四邊形ABCD是菱形，說說理由∴AD∥BC，AB∥CD()AB=BC=CD=DA()OA=OC，OB=OD()AC⊥BD()∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=∠ADC=∠ABC()你都掌握了嗎？練一練學(xué)以致用1.已知菱形的周長是12cm，那么它的邊長是______.2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，則∠BAC＝_______。3cm60度3、菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是（）CA.10cmB.7cmC.5cmD.4cmABCDO344、已知如圖，菱形ABCD中，E是AB的中點，且DE⊥AB，AE=2。求（1）∠ABC的度數(shù)；（2）對角線AC、BD的長；（3）菱形ABCD的面積。ABCDEOABCDEO2∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB解：∴AD=AB=BD∵E是AB的中點，且DE⊥AB∴DA=DB（DE為AB的中垂線）∴

∠DAB=60°，∴∠ABC=120°（2）∵AE=2，∴AB=4∴BD=AB=4∵四邊形ABCD是菱形，∴

AC⊥DB∵

DB=4

∴0B=2∴在R t△AOB中,由勾股定理得2AO=∴AC=4（3）在Rt△DAE中,由勾