.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

第五節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.1．用和號(hào)表示對(duì)二次型二、二次型的表示方法2．用矩陣表示三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型．這樣，二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．解例１設(shè)四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．說明用正咸交變畜換化叔二次貢型為墾標(biāo)準(zhǔn)聞形的腰具體近步驟解1．誤寫出功對(duì)應(yīng)排的二紙次型肺矩陣飽，并貓求其寫特征級(jí)值例2從而福得特性征值2．盡求特熔征向趙量3．餡將特磚征向暴量正疤交化得正字交向匹量組4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是辮所求生正交幅變換姻為解例3五、乞小結(jié)1.橫實(shí)館二次氏型的輕化簡(jiǎn)執(zhí)問題旱，在膊理論團(tuán)和實(shí)濟(jì)際中經(jīng)常州遇到受，通挺過在二行次型摘和對(duì)恐稱矩章陣之用間建決立一一對(duì)榜應(yīng)的址關(guān)系，將二愿次型才的化州簡(jiǎn)轉(zhuǎn)道化為籌將對(duì)丹稱矩陣化輔為對(duì)羨角矩嘴陣，而和這是禮已經(jīng)稅解決均了的贏問題那，請(qǐng)同學(xué)知們注烈意這坑種研旬究問技題的尊思想疲方法望．2.脂實(shí)道二次造型的替化簡(jiǎn)吧，并搜不局姻限于含使用委正交矩陣銳，根吹據(jù)二花次型棍本身歸的特族點(diǎn)，底可以惡找到露某種友運(yùn)算更墳快的舟可逆副變換牲．下卷一節(jié)漸，我叉?zhèn)儗樈榻B孝另一玻種方法吼——拉格言朗日學(xué)配方票法．第六刻節(jié)亮用娛配方刷法化協(xié)二次畝型成懂標(biāo)準(zhǔn)顏形一、椅拉格頃朗日走配方攤法的類具體勒步驟用正嗚交變同換化嗎二次襪型為湖標(biāo)準(zhǔn)蓄形，凳其特致點(diǎn)是保持幾詞何形捐狀不猛變．問題有沒月有其浪它方照法，您也可葉以把挨二次紫型化為標(biāo)午準(zhǔn)形泄？問題賢的回逝答是必肯定廣的。鴨下面舟介紹防一種鑰行之阻有效的讓方法匪——拉格祥朗日米配方幻玉法．1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格作朗日共配方鞭法的盞步驟2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二斤次型播為含直有平必方項(xiàng)著的二芹次型河，然舌后再吵按1攻中方法配良方.解例1含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)所用惹變換欣矩陣與為解例2由于旁所給賊二次田型中柏?zé)o平激方項(xiàng)定，所召以再配扎方，鵝得所用輩變換凱矩陣訓(xùn)為二、滔小結(jié)將一個(gè)綱二次榨型化斜為標(biāo)勉準(zhǔn)形及，可蚊以用正交那變換法，也冤可以規(guī)用拉格檔朗日女配方毫法，或蔑者其仇它方濾法，這取王決于層問題如的要蠢求．哭如果捎要求魚找出烏一個(gè)魯正交香矩陣，釘無(wú)疑擦應(yīng)使枝用正堤交變插換法祥；如李果只劣需要眠找出要一個(gè)可桃逆的妖線性硬變換撤，那標(biāo)么各捉種方胞法都獎(jiǎng)可以送使用右．正交存變換診法的示好處激是有教固定己的步喬驟，政可以耽按部洲就班一倚步一翁步地格求解獎(jiǎng)，但境計(jì)算變量通揉常較袍大；肺如果失二次型槐中變繡量個(gè)圖數(shù)較梯少，環(huán)使用稻拉格障朗日榨配方腿法反楚而比較竭簡(jiǎn)單峰．需飼要注拔意的零是，使用襯不同概的方扁法，所得到鬼的標(biāo)佛準(zhǔn)形體可能鉛不相堅(jiān)同，但標(biāo)文準(zhǔn)形正中含飾有的夫項(xiàng)數(shù)必河定相架同，項(xiàng)數(shù)捉等于萍所給果二次棵型的毒秩．第七吊節(jié)郵正櫻定二封次型一、尤慣性肯定理一個(gè)炭實(shí)二剃次型序，既躍可以疾通過軍正交酷變換跌化為快標(biāo)準(zhǔn)形瘋，也鬧可以捎通過企拉格們朗日柏配方煙法化閘為標(biāo)團(tuán)準(zhǔn)形峰，顯然溉，其礎(chǔ)標(biāo)準(zhǔn)鋪形一蛇般來(lái)雄說是鄭不唯育一的做，但軌標(biāo)準(zhǔn)狡形中所蘆含有帽的項(xiàng)頸數(shù)是趟確定龍的，驅(qū)項(xiàng)數(shù)尸等于御二次皂型的虧秩．下面迫我們纏限定啦所用研的變?cè)鼡Q為實(shí)變櫻換，來(lái)議研究二次前型的畜標(biāo)準(zhǔn)嚼形所殿具有金的性危質(zhì)．為正定壁二次榮型為負(fù)定語(yǔ)二次層型二、孫正(負(fù))定二羽次型承的概養(yǎng)念例如三、韻正(負(fù))定二遷次型狐的判攻別推論對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．這個(gè)頑定理董稱為患霍爾置維茨唯定理芽．定理3對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即對(duì)稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即正定抽矩陣臣具有澆以下包一些捎簡(jiǎn)單豆性質(zhì)例1判別二次型是否正定.解它的需順序憶主子紡式故上影述二沈次型索是正股定的解.例2判別二次型是否正定.解二次普型的茶矩陣謊為用特征選值判壟別法.故此盤二次刷型為柱正定弓二次旁型.即知是正定矩陣，例3判別二次型的正定性.解2.正定弱二次釣型（正定頭矩陣）的鞭判別因方法仙：(1久)定義見法；(2錫)順次扎主子慢式判塞別法；(3谷)特征軍值判哈別法.四、議小結(jié)1.掏正便定二搬次型吐的概編念，撥正定拼二次秤型與揭正定矩