高數(shù)振動(dòng)波動(dòng)

第四章振動(dòng)與波動(dòng)機(jī)械振動(dòng):物體在一定的位置附近作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)：任何一個(gè)物理量在某個(gè)確定的數(shù)值附近作周期性的變化。波動(dòng)：振動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播。任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作是由若干個(gè)簡(jiǎn)單而又基本振動(dòng)的合成。這種簡(jiǎn)單而又基本的振動(dòng)形式稱(chēng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。xo二簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征x根據(jù)胡可定律：（k為勁度系數(shù)）1.動(dòng)力學(xué)特征F----簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征在彈性限度內(nèi)，彈性力F

和位移x

成正比。彈性力F

和位移x

恒反向，始終指向平衡位置。回復(fù)力：

始終指向平衡位置的作用力由牛頓第二定律：得:令a

=

-w

2

x結(jié)論：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其加速度與位移恒成正比，而方向相反。2d

2

xdt

2+w

x

=

02.運(yùn)動(dòng)學(xué)特征x

=

Acos

wt

+j

)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式：)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三項(xiàng)基本特征：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：其中A、φ

為積分常數(shù)。物體的運(yùn)動(dòng)遵從余弦（或正弦）規(guī)律。彈簧振子的頻率:=

1

k2p

2p

mν

=

w彈簧振子的周期:mkwT

=

2p

=

2pF

=

-kx2dt

2d2

x=

-w

xx

=

Acos

wt

+j

)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征：令mkw

=dt簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度：a

=

dvx

=

Acos

wt+j

)v

=

dx

=

-w

A

sin(w

t

+

j

)p=

vm

cos(w

t

+j

+

2

)m=

Aw

)(式中v2dt

=

-w

Acos(w

t

+j

)=

am

cos(w

t

+j

–

p

)m=

Aw

2

)(式中a稱(chēng)為速度幅稱(chēng)為加速度幅V比x

領(lǐng)先p/2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度：加速度也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)與x反相x

-t

圖a

-t圖-

AwAw

2-

Aw

2xvatttA-AAwoooTv

-t

圖TTx

=

A

cos(wt

+j

)取j

=0T

=

2πw2=

Aw

cos(wt

+j

+π

)v

=

-

Aw

sin(w

t

+

j

)=

Aw

2

cos(w

t

+j

+π

)a

=

-Aw

2

cos(wt

+j

)解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設(shè)t=0時(shí)，振動(dòng)位移：x=x0振動(dòng)速度：v

=v0初始條件x

=

A

cos(ω

t

+j

)t

=0

時(shí)x

0

=

A

cosjA=xvω0

+2202Aω

sinjv

0

=Aωsin(ω

t

+j)v

=解得：v

0ω

x

0j

=

arc

tg

()[

例

1]

一彈簧振子

k

=

8N/m,

m=

2kg,

x0

=3

m,

v0

=8

m/s求：ω，A，j

及振動(dòng)方程解：ω

=m2k

=8

=

2

(rad/s)vω02)+

(20=232

+(

8

)2=

5

(

m

)8==43v

0ω

x

0

2×3A

=

xtg

j

=)53.3

0則有若取j2

=126.870x

0

=

Acos

j

2

＜

053.13

0

j

=126.8702j

=1x

=

5

cos(2

t=

5cos(

2t0.296π

)8==42×3

3v

0ω

x

0tg

j

=∴不合題意,舍去∵

x0

=3

m>053.13

0j

=1取簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量A在x軸上的投影點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：x

=

A

cos(w

t

+j

)結(jié)論：投影點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。yxw

t

+joAPMjowyxwPAw

t

+joM旋轉(zhuǎn)矢量A旋轉(zhuǎn)一周，M點(diǎn)完成一次全振動(dòng)。旋轉(zhuǎn)矢量的模A：振幅旋轉(zhuǎn)矢量A的角速度w

：t

=

0

時(shí)，

A與x

軸的夾角j

：初相位。角頻率旋轉(zhuǎn)矢量A與

x

軸的夾角(w

t+

j

)：相位2pT

=w周期：xA

A1.020t一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示。以及振動(dòng)方程。[例5]求：ω

、jAπ2xt

=0時(shí)0=

At

=1時(shí)x

1

=

0πxA31Φ

=π2π3j

=2＞

00xv1＜

0v=dxdtxA1.0

A20t6x=

Acos(

5

π

t3π

)πAt

=1x2π3At

=0w=

Dq1DTp

+

p=

2

35p

6=例6.

質(zhì)點(diǎn)沿x

軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，A=12cm，T=2s。當(dāng)t

=0時(shí),x0=6

cm，且向x

軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:1、振動(dòng)方程。2、t

=0.5

s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。3、如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：1、設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為T(mén)w

=

2p

=

p

s-1初始條件：t

=0

時(shí)，x0

=0.06

m,v0

>

0x

=

A

cos

(w

t

+

j

)已知：A

=12

cm

,

T

=

2

s

，x

=

0.12

cos(w

t

+j

)0.06=0.12cos

j321p=cosj

fi

j

=

–v0

=

-w

Asinj

>

0fi

sinj

<

03j

=

-

p振動(dòng)方程：3x

=

0.12

cos(p

t

-

p

)yxp33-

pww3=

-0.189m

s-1t

=0.5t

=0.5t

=0.5dt=

dx=

-0.12p

sin(p

t

-

p

)v3=

-0.103m

s-2t

=0.5t

=0.5t

=0.5dta=

-0.12p

2

cos(p

t

-

p

)=

dv2、t

=0.5

s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度3x

=

0.12

cos(p

t

-

p

)-

0.06

=

0.12

cos

(p

t1

-p

3

)21cos

(p

t

-p

3

)

=

-

13、如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的最短時(shí)間。設(shè)在t1時(shí)，x

=-0.06

m3代入振動(dòng)方程：x

=0.12

cos(p

t

-p

)（舍去）34pp

t

-p

=2p

或1

3

33

311fi

t

=

1

sp

t

-

p

=

2pyx2p

34p

33

2

622=

11

sp

t

-

p

=

3p

fi

t6

62

1D

t

=

t

-

t

=

11

-1

=

5

s一、描述波動(dòng)的物理量波長(zhǎng)l：振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)傳播的距離；同一波線(xiàn)上兩個(gè)相鄰的振動(dòng)狀態(tài)相同的質(zhì)點(diǎn)之間的距離；或者說(shuō)相位差為2π的質(zhì)點(diǎn)之間的距離。周期T

：波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需的時(shí)間。頻率n

：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)波動(dòng)前進(jìn)距離中完整波長(zhǎng)的個(gè)數(shù)。Tn

=

1u=lnl

lln個(gè)llTu

=

l

=nl波的周期和頻率等于波源振動(dòng)的周期和頻率，即波的周期和頻率由波源決定，與媒質(zhì)性質(zhì)無(wú)關(guān)。波速：振動(dòng)狀態(tài)（或相位）在空間的傳播速度。波速取決于媒質(zhì)性質(zhì)，媒質(zhì)不同，波速也就不同。又因?yàn)轭l率或周期與媒質(zhì)性質(zhì)無(wú)關(guān)，所以波長(zhǎng)與

媒質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。y

=

y

(

x

,

t

)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移波線(xiàn)上各質(zhì)點(diǎn)平衡位置平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)簡(jiǎn)諧波：在均勻的、無(wú)吸收的介質(zhì)中，波源作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，在介質(zhì)中所形成的波.平面簡(jiǎn)諧波：波面為平面的簡(jiǎn)諧波.波動(dòng)表達(dá)式：介質(zhì)中任一質(zhì)點(diǎn)（坐標(biāo)為x）相對(duì)其平衡位置的位移（坐標(biāo)為y）隨時(shí)間的變化關(guān)系，即稱(chēng)為波函數(shù).y(x,

t)平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式1.一維平面簡(jiǎn)諧波表達(dá)式的建立O點(diǎn)的振動(dòng)方程：y0

(t

)

=

A

cos(w

t

+

j

0

)P點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)在時(shí)間上落后于O點(diǎn)：uDt

=

xp

0uy

(t

)

=

y

(t

-

Dt

)

=

Acos[w

(t

-

x

)

+

j

]0uOxyPx點(diǎn)O

的振動(dòng)狀態(tài)yO

=

A

coswt點(diǎn)Pt

時(shí)刻點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)t-x/u時(shí)刻點(diǎn)O

的運(yùn)動(dòng)以速度u

沿x

軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波.令原點(diǎn)O

的初相為零，其振動(dòng)方程點(diǎn)P

振動(dòng)方程時(shí)間推遲方法0

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cos平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式：因?yàn)閥(

x,

t)

=

Acos[2p(t

/

T

-

x

/

l)

+j0

]y(

x,

t)

=

Acos[2p(nt

-

x

/

l)

+j0

]0ly(

x,

t)

=

Acos[(wt

-

2px

)

+j

]當(dāng))結(jié)論：波長(zhǎng)l標(biāo)志著波在空間上的周期性。結(jié)論：隨著x值的增大，即在傳播方向上，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。這是波動(dòng)的一個(gè)基本特征。坐標(biāo)為

x的質(zhì)元振動(dòng)相位比原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)相位落后了

。0

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cos平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式：uT

=

lw

=

2p

T因?yàn)?ly(

x,

t

)

=

Acos(w

t

-

2p

x

+j

)T0ly(

x,

t

)

=

Acos[2p(

t

-

x

)

+

j

]一維平面簡(jiǎn)諧波表達(dá)式的物理意義：（1）當(dāng)x

=x

0

（常數(shù)）時(shí)質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式：0

ux

w

(t

-

0

)

+jy(t

)

=

Acos0

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cosyto（2）當(dāng)t

=t

0

（常數(shù)）時(shí)：各質(zhì)元的位移分布函數(shù)：uy(

x

)

=

A

cos[w

(t

-

x

)

+

j

]0

00

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cos(表示在t

0時(shí)刻的波形)yxoxyt2t1y

=

A

cosw

(t

-

x

)

A

cos(t

+

Dt

-

x

+

uDt

)u

u左邊：t

時(shí)刻，x

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移。右邊：t

+Dt

時(shí)刻，x+uDt

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移。結(jié)論：t時(shí)刻，x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)Dt時(shí)間傳到了x+uDt處。uy(

x,

t

)

=

A

cos[w

(t

+

x

)

+

j

]00ly(

x,

t

)

=

Acos(w

t

+

2p

x

+j

)0

l

t x

p

+

+

jy(x,

t

)=

A

cos2

T簡(jiǎn)諧波沿Ox

軸的負(fù)方向傳播(將波速u(mài)前加負(fù)號(hào)）uy(

x,

t

)

=

Acos[w

(t

-

x

)

+

j

]0若已知的振動(dòng)點(diǎn)不在原點(diǎn)，而是在x0點(diǎn)，則只要將各波動(dòng)表達(dá)式中的x換為（x-x0）即可。OxyPxux0QuQ點(diǎn)的振動(dòng)方程：00)

+j

]ux

-

xw

(t

-y

=

Acos[Py

(t

)

=

Acos(wt

+

j

)Q

0P點(diǎn)的振動(dòng)方程：例1.已知t

=0時(shí)的波形曲線(xiàn)為Ⅰ，波沿ox

傳播，經(jīng)t=1/2s后波形變?yōu)榍€(xiàn)Ⅱ。已知波的周期T>1s，試根據(jù)圖中給出的條件求出波的表達(dá)式，并求A點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：A

=

0.01ml

=

0.04

m1

2=

0.01

=

0.02

m s-1t波速：u

=x1

-xou

0.02T

=

l

=

0.04

=

2s

w

=

2p

=

p

s-1Tx(cm)Ⅱ

Ⅰ1

2

3

4

5

61cm

y(cm)A0原點(diǎn)振動(dòng)方程：0

=

A

cosjyo

=

Acos(w

t

+j

)初始條件：v

=

-w

A

sinj

<

02fi

j

=

–

p2sinj

>

0

fi

j

=

p2y

=

0.01cos(p

t

+

p

)oy(cm)x(cm)A

Ⅱ

Ⅰ1

2

3

4

5

61cm02y

=

0.01cos(p

t

+

p

)o0.02

2)

+

p

]xy

=

0.01cos[p

(

t

-波動(dòng)方程：0.02

2A點(diǎn)振動(dòng)方程：

y

=

0.01cos[p

(

t

-

0.01)

+

p

]AyA

=

0.01cosp

ty(cm)x(cm)25

6Ⅰ4Ⅱ3A11cm0A點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：yA

=

Acos(w

t

+j

)A

=

A

cosj初始條件：fi

j

=

0yA

=

Acosw

t

=

0.01cosp

t0.02y

=

0.01cos(p

t

-

x

-

0.01)波動(dòng)表達(dá)式：0.02

2)

+

p

]xy

=

0.01cos[p

(

t

-y(cm)x(cm)A

Ⅱ

Ⅰ1

2

3

4

5

61cm0法二：例2.有一列平面簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)沿x

軸正方向傳播，它在t

=0時(shí)刻的波形如圖所示，試求其波長(zhǎng)。x(m)y(m)12.o2AAPu2πl(wèi)=π4(π)212v

<

02yO

=

AyP

=

0v>

0t

=0

時(shí)刻π2jP

=πjO

=

4l

=

32mx

(m)y(m)oA2

A.P12u解：介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)在各自平衡位置附近振動(dòng)動(dòng)能介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)間相互作用產(chǎn)生彈性形變勢(shì)能二波的能量波動(dòng)的過(guò)程是能量傳播的過(guò)程1.波動(dòng)能量的傳播討論1）在波動(dòng)傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能均隨x,t作周期性變化，且變化是同相位的.體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能和總機(jī)械能均最大.

體積元的位移最大時(shí)，三者均為零.2）

任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機(jī)械能不守恒.波動(dòng)是能量傳遞的一種方式.三 駐波和半波損失于穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)。處動(dòng)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)l駐波的波形特點(diǎn)(演示實(shí)驗(yàn))：1.

沒(méi)有波形的推進(jìn)，也沒(méi)有能量的傳波播幅，參與波2.各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振幅各不相同，但卻保持不變，有些點(diǎn)振幅始終最大，有些點(diǎn)振幅始終為零。駐波：由振幅、頻率和傳播速度相同的兩列相干波在同一直線(xiàn)上沿相反方向傳播時(shí)疊加而成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。駐波產(chǎn)生的條件：兩列振幅相同的相干波沿相反方向傳播疊加而成。駐波方程：討論（1）為坐標(biāo)為x

質(zhì)點(diǎn)的振幅參與波動(dòng)的每個(gè)點(diǎn)振幅恒定不變，不同質(zhì)元作振幅不同，頻率相同的諧振動(dòng)。振幅最大2A,

波腹（2）l2p

x

=

kpll

2波幅波節(jié)振幅為零，波節(jié)：坐標(biāo)波節(jié)間距：（3）坐標(biāo)：波腹間距：第十二章波動(dòng)光學(xué)d

=

r2

-

r1

?

d

sin

q兩列光波的傳播距離之差：d

sin

q

=

–klk

=

0,1,2,)干涉加強(qiáng)2d

sin

q

=

–(2k

-1)lk

=1,2,)干涉減弱7dr1r2qxxDxIqdlxDop·一、楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)S1dS22rqDPxO1r1SdS2

d

sin

qq,q

角很小

D

>>

dD\

sin

q

?

tgq

=

x