空間向量和立體幾何

空間向量和立體幾何

空間向量及運算空間向量和平面向量的加、減、數(shù)乘操作相同。1.1空間向量的定義空間中既有大小又有方向的向量叫做空間向量，用有向線段表示。空間向量的定義為AB或a，是自由向量，不講究起點。空間向量的大小叫做空間向量的長度或者模，記作AB或者a。1.2空間向量的夾角過空間一點O作OA=a，OB=b，則∠AOB叫做a與b的夾角，記作a,b，且0≤a,b≤π。當a,b=π/2時，a與b垂直，記a⊥b。當a,b=0或π時，a//b。1.3特殊空間向量當a=0時，稱a為零向量，記a=，與任意向量平行和垂直。當a=1時，稱a為單位向量，對任意非零向量a，a/|a|叫做a的單位向量。當a=-b時，稱a與b互為相反向量。1.4方向向量與法向量當a與l平行時，稱a(≠0)是l的方向向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個。當a與平面α垂直時，稱a(≠0)是平面α的法向量，一個平面的法向量有無數(shù)個。1.5向量的線性運算1.5.1向量的加法向量的加法符合平行四邊形法則，減法符合三角形法則，又滿足規(guī)律：(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a，若n個向量相加且首尾相接，則其和向量以開始起點為起點，以最終的終點為終點一樣，即A1+A2+...+An=An。1.5.2向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘滿足如下規(guī)律：λa與平面向量意義相同。當λ>0時，λa與a同向；當λ<0時，λa與a反向；滿足λa=aλ；λ(a+b)=λa+λb；(μ+λ)a=μa+λa；(λμ)a=λ(μa)。1.5.3向量的共線定理當b≠0時，a//b當且僅當a=λb，其中λ為實數(shù)。1.6空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積定義為a·b=|a||b|cos(α)，其中α為a與b之間的夾角，且a·b=b·a?？臻g向量的數(shù)量積滿足如下規(guī)律：a·(b+c)=a·b+a·c；λa·b=λ(a·b)。2.空間向量基本定理及坐標運算2.1空間向量基本定理若向量e1,e2,e3是空間三個不共面向量，a是空間任意向量，那么存在唯一一組實數(shù)λ1,λ2,λ3使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3，其中空間中不共面的向量e1,e2,e3叫做這空間的一組基底。2.2單位正交基當一組基底$i,j,k$兩兩垂直，且$i=j=k=1$，則$i,j,k$叫做單位正交基底。對于任一向量$a$，有$a=xi+yj+zk$，其中$x=a\cdoti$，$y=a\cdotj$，$z=a\cdotk$，叫做$a$在$x,y,z$軸上的投影。2.3空間向量坐標運算設$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$，則：$a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$$a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$$\lambdaa=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)$$a\cdotb=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2)$2.4向量坐標的應用設$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$，則：若$b\neq0$，則$a//b$當且僅當$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$。$a\perpb$當且僅當$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。$a$的模長為$\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$。2.5待定系數(shù)法求平面法向量步驟：（1）設平面法向量為$n=(x,y,z)$。（2）找出平面內兩不共線向量坐標$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$。（3）法向量$n$與$a,b$都垂直，即$n\cdota=0$，$n\cdotb=0$。（4）解方程組，取其中一個解，就為法向量的坐標。3.用向量解決平行和垂直問題直線$l_1$的方向向量設為$s_1$，直線$l_2$的方向向量設為$s_2$，平面$\alpha$的法向量設為$n_1$，平面$\beta$的法向量設為$n_2$，則：$l_1//l_2\iffs_1//s_2$，$l_1\perpl_2\iffs_1\perps_2$，$l_1//\alpha\iffs_1\perpn_1$，$l_1\perp\alpha\iffs_1//n_1$，$\alpha//\beta\iffn_1//n_2$，$\alpha\perp\beta\iffn_1\perpn_2$。4.用向量求夾角4.1直線間夾角當$l_1$，$l_2$共面時，把兩直線夾角中范圍在$[0,\frac{\pi}{2}]$內的角叫做$l_1$，$l_2$間的夾角。當$l_1$，$l_2$互為異面直線時，在$l_1$上任取一點$A$，作$AB//l_2$，把$l_1$和$AB$間的夾角叫做異面直線$l_1$和$l_2$的夾角。向量與夾角的關系：已知直線l1和l2的方向向量分別為s1和s2，當0≤s1,s2≤π時，直線l1和l2的夾角等于s1,s2；當π/2<s1,s2≤π時，直線l1和l2的夾角等于π-s1,s2。平面間夾角：兩平面所成的二面角中，范圍在0~π內叫做兩平面間的夾角。平面π1與π2法向量分別為n1和n2，θ為兩平面所成二面角的平面角由n1,n2確定：當0≤n1,n2≤π/2時，θ=n1,n2；當π/2<n1,n2≤π時，θ=π-n1,n2。直線與平面的夾角：平面外一條直線與它在平面內投影的夾角叫做直線與平面的夾角，范圍在0~π/2內。設直線l方向向量為a，平面法向量為n，直線與平面所成的角為θ，則sinθ=|a·n|/|a|，當a·n>0時，θ=arcsin(|a·n|/|a|)；當a·n<0時，θ=π-arcsin(|a·n|/|a|)。用向量求距離：一個圖形中任一點與另一個圖形中任一點間距離的最小值叫做圖形與圖形之間的距離。點到直線距離：因為直線和直線外一點確定一個平面，所以空間一點到直線距離實際上就是空間中某一平面內點到直線的距離。l是過點p平行于向量s的直線，A是直線l外一定點，點A到l的距離為d=|PA-PA·s/s^2|。點到平面的距離：π是過點p的垂直向量n的平面，A是π外一定點，點A到平面π的距離d=|PA·n/|n||。線面距離和面面距離：直線到它平行平面間的距離：一直線與一平面平行，這直線上任一點到面間的距離稱為線面距離，一般將線面距離轉化為點面距或面面距來求。兩個平行平面間的距離：和兩個平行平面同時垂直的直線叫做這兩平面的公垂線，公垂線夾在兩平面之間的部分叫做這兩個平面的公垂線段，公垂線段的長度稱為面面距，一般將面面距轉化為點面距來求?；A題：在空間四邊形ABCD中，若AB=a，BD=b，AC=c，則CD等于b-(c-a)。2.在以下命題中，正確命題的個數(shù)為（）正確答案：C.23.（廣東省高明一中2009屆高三上學期第四次月考）若a、b、c為任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（）正確答案：D.(a·b)c=a(b·c)4.（陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考）與向量（-3，-4，5）共線的單位向量是（）正確答案：A.（3/7，4/7，-5/7）和（-3/7，-4/7，5/7）5.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，化簡ABAD(DD1BC)的結果為______________；答案不完整，無法判斷正確性。6.若空間三點A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共線，則p=______,q=______。正確答案：p=5，q=-17.（湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1,F2,F3共同作用于一物體上，使物體從點M（1，-2，1）移動到N（3，1，2），則合力所作的功是.答案不完整，無法判斷正確性。8.（廣東省北江中學2009屆高三上學期12月月考）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（）正確答案：B.90°9.設向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8)，計算3a-2b,a·b，并確定λ,μ的關系，使λa+μb與z軸垂直。答案不完整，無法判斷正確性。10.如圖，E是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中點，試求向量∠EAD的余弦值.答案不完整，無法判斷正確性。1.在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，則P到BC的距離是多少？答案：42.在平面直角坐標系中，A(-2,3)，B(3,-2)，沿x軸把平面直角坐標系折成120度的二面角后則線段AB的長度為多少？答案：23.若向量a=(1,λ,2)，b=(2,-1,2)，a、b夾角的余弦值為cosθ，則λ等于多少？答案：-24.若單位向量a、b夾角為60度，則a+3b等于多少？答案：105.設a=(x,4,3)，b=(3,2,z)，且a∥b，則xz等于多少？答案：126.在圖中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10。設G是OC的中點，證明：FG//平面BOE。（改寫后）證明：平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10。設G是OC的中點，則有FG//平面BOE。7.正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC1的中點，AE交AD于點H。（1）證明：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角∠D-B-A1-A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（3）求點B1到平面A1BD的距離。（改寫后）（1）證明：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角∠D-B-A1-A的大小（用反三角函數(shù)表示）；（3）求點B1到平面A1BD的距離。8.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分別是棱AD、AA1的中點。（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE1//平面FCC1；（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1。（改寫后）（1）證明：直線EE1//平面FCC1；（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1。提高題：1.設P是△ABC所