一下相關(guān)課程課件大物b物理i15功和能

1.5功和能（work

and

energy)功**動(dòng)能定理**保守力和勢(shì)能**機(jī)械能守恒**一.功的概念質(zhì)點(diǎn)在力

F

的作用下,發(fā)生一小段位移Dr

時(shí)，稱此力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做了功.二、恒力功1.5.1

功功是標(biāo)量. 它無(wú)方向,

但有正、負(fù)。22

2W

>

0;

W

=

0;p

<

j

￡

p

,

W

<

00

￡

j

<

p

,

j

=

p

,ABF

恒力jsW

=

Fs

cosj

=

F

s功的特點(diǎn):三.變力的功ba

(L)Fdr元功

dW

=

F

drb質(zhì)點(diǎn)從

a

fi

b

的功

WW

=

F

dra(

L)直角坐標(biāo)系中x

y zF

=

F i +

F

j

+

F

k

dr

dxi

+

dyj

+

dzk

=bbW

=

F

dr

=

(Fxdx

+

Fydy

+

Fzdz)a(

L)

a

(

L)功的大小與路徑相關(guān)。θ例.有一水平放置的彈簧,彈性系數(shù)為k,一端固定,另一端系一小球,如圖.求小球從A移動(dòng)到B的過(guò)程中,彈力所作的功.l0xOBAxx(

-

kx)dx=結(jié)論：彈力的功只與小球的初末位置有關(guān),而與移動(dòng)的中間過(guò)程無(wú)關(guān)解:選擇彈簧處于自然長(zhǎng)BA小球從A到B彈力所作的功為:WAB

=

F

dr22

21A

B=

kx

2

-

1

kxx時(shí)小球的位置為x軸的原點(diǎn)f

=

-kxiA

dx

BA例：水平桌面上一物體m，在外力作用下沿半徑為R的圓從A

運(yùn)動(dòng)到B，移動(dòng)了半個(gè)圓周，設(shè)摩擦系數(shù)為mk

,求這一過(guò)程中，桌面對(duì)它的摩擦力做的功。BOfdr解：f

=

mk

N

=

mk

mgdW

=

F dr

=

-F

drBW

=

-

F

drABABA=

-

Fds

=

-mk

mg

ds

=

-mk

mgpR若沿直徑運(yùn)動(dòng)W

=

-mkmg

2R功的值與路徑有關(guān)例：

m

沿曲線由a

→b,

求重力的功hh1h2abdrijimg

解：dW

=

F dr

=

mg

d

r

cosfdW

=

-mgdhb

h2W

=

dW

=

-

mgdha

h1d

r

cosf

=

-dh=

mg(h1

-

h2

)與彈性力一樣，重力所作的功只取決于運(yùn)動(dòng)物體的起﹑末位置，與中間過(guò)程無(wú)關(guān)。四.合力的功BAAAB

=F

dr

=1.

平均功率Dt2.

瞬時(shí)功率dt=DW

dWP

=

lim

DtDtfi

0BA(

+

F1

F2

+

...

+

FN

)

drBA=

A1

AB

+

A2

AB

+

...

+

ANAB合力做的總功等于每個(gè)分力沿同一路徑做功的代數(shù)和五.功率PP

=

DW=

AF1

dr

+

AF2d

r

+

...

+

F

drB

B

=F

v

手機(jī)吊起冰箱?抵擋減速?合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。baW

=

a

f dr

=b

據(jù)牛二定律dtds

=

vdtft

=mat

=m

dv

且2122121221mvdtdvvvbba

atmv

-mvdv

=m

vdt

=f

ds

=W

=二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理b一、動(dòng)能質(zhì)量為m，速率為v的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定義為：2kE

=

1

mv

2f

cosj

ds

=

a

ftds

amb

f單位：焦耳（J）（SI）dr1.5.2

動(dòng)能定理力做功的效果是什么？但是，動(dòng)能定理的量值相對(duì)不同慣性系值不相同,即（v22-v21）的值不相同。1.

動(dòng)能定理給出了力的空間積累效應(yīng)，即功可以改變質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。2.其優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)作用力在位移過(guò)程中不清楚時(shí)，就可通過(guò)始、末狀態(tài)動(dòng)能的增量來(lái)求得該力的功。功是過(guò)程量，動(dòng)能是狀態(tài)量。

3.在所有慣性系中,動(dòng)能定理形式保持不變。222

1AB12

21mvmv

-2

22

12

21

1mvWAB

=

mv

-討

W

=論求物體上沖到最高點(diǎn)的高度。后沿斜面下滑，滑到底部時(shí)速度為

v

f

，斜面的傾角為θ，例：一物體由斜面底部以速度v0

向斜面上方?jīng)_，到最高點(diǎn)0vv

=0v

f解：上升過(guò)程中2(

f

+

mg

+

N

)

s

=

0

-

mv2

1

NmgkfsθθN

=

mg

cosqN s

=

0pmg s

=

mgs

cos(

+q

)2

f

=mk

mg

cosqf

s

=

-mk

mg

cosq

s21-

mk

mg

cosq

s

-

mg

sinq

s

=

-

2

mv

0上升、下降的整個(gè)過(guò)程中202

2k

f-

2m

mg

cosq

s

=

1

mv

2

-

1

mvmghNfk202k-

m

mg

cosq

s

-

mg

sinq

s

=

-

1

mv2022fk2

-

1

mv-

2m

mg

cosq

s

=

1

mv4g

sinqv

2

+

v

2s

=

0

f

4gv

2

+

v

20

fh

=

s

sinq

=v

=0sv0θh三.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

f1

,

f2

----為內(nèi)力.

F1

,F2

----為外力.分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理:111111121A11B

1m

v2BA=

m

v2

-(

F

+

f

)

dr22222222212

A

22B

2m

vBA=

m

v

-

12

121(

F

+

f

)

dr2

+21

12

2122222

2A2

1

1A12

2B

2

1

1B1+

1

m

v

2

-

1

m

v

2+

1

m

v

2=

1

m

v

2f

dr2f

dr

+dr

+F

F1

drA2A1A2A1B2

B1

B2

B1

A1F1f1dr1m1A2兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)B1

B22fdr2m22F

+22222221

12

2112

2122A21

1A1B

21

1B1m

v

-

1

m

v

2

+m

v=

1

m

v

2

+f

dr2f

dr

+

F1

dr

+A1

A2B2A2B1A1B2

B1

F

drA外+A內(nèi)=EkB

-EkA外力總功

+

內(nèi)力總功

=

系統(tǒng)總動(dòng)能的增量?jī)?nèi)力功的和不一定為零（各質(zhì)點(diǎn)位移不一定相同）。內(nèi)力雖不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量，但能改變系統(tǒng)的動(dòng)能。

例：炸彈爆炸過(guò)程,內(nèi)力(火藥的爆炸力)所做的功使得彈片的動(dòng)能增加。mv

+

MV

=

0W重力=mgRMV

=

-

mvRMm2)水平方向無(wú)外力，系統(tǒng)保持水平方向動(dòng)量守恒。例：有一面為1/4凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量M）

放置在光滑水平面，一小球（質(zhì)量m）,從靜止開(kāi)始沿圓面從頂端無(wú)摩擦下落（如圖）,小球從水平方向飛離大物體時(shí)速度v，求：1）重力所做的功；2）內(nèi)力所做的功。解：1)重力只對(duì)小球做功對(duì)m，M

對(duì)m力所做的功mv

2

-

mgR21方法二：對(duì)M，m對(duì)M的力所做的功m

2

v

22MMV

2

=2

2W

+W

=

1

MV

2

+

1

mv2重力

內(nèi)力方法一：對(duì)整個(gè)系統(tǒng)用動(dòng)能定理RMm內(nèi)力所做功?mv

-

mgR=

+mv

-WMV

+W

=2m2v22212M

21212重力內(nèi)力MV

=

-

mv四、一對(duì)力的功1、一對(duì)力分別作用在兩個(gè)物體上的大小相等、方向相反的力，我們稱之為“一對(duì)力”。一對(duì)力通常是作用力與反作用力，但也可以不是。如圖示的f1與f2就不是作用力與反作用力，但仍是一對(duì)力。另外，一對(duì)力中的兩個(gè)力也并不要求必須在同一直線上。f2

f1

=

-

f22

12、一對(duì)力的功dr21

m2相對(duì)于m1的元位移。一對(duì)力所做的功，等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力和該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)的位移的點(diǎn)積。dW

=

f1

dr1

+

f2

dr2對(duì)2

2

1

2

21

=

f d

(r

-

r

)

=

f

drA2B1B2m1m2r1r2A1r21Odr12dr1f

f2（1）.

dW對(duì)與參考系選取無(wú)關(guān)。說(shuō)為明方便起見(jiàn)，計(jì)算時(shí)常認(rèn)為其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)靜止，并以該質(zhì)點(diǎn)所在位置為原點(diǎn)，計(jì)算另一質(zhì)點(diǎn)受力所做的功，這就是一對(duì)力的功。（2）.一對(duì)滑動(dòng)摩擦力的功恒小于零Smuf地面S￠f′以地面為參考系：

W對(duì)

=

f S

=

-

f

SS以滑塊為參考系：W對(duì)=f

￠

S￠=-f

￠

S￠

=-f（3）.在無(wú)相對(duì)位移或相對(duì)位移與一對(duì)力垂直的情況下，一對(duì)力的功必為零。Nv1v12光滑2M1

mN′v2N

不垂直于v1WN

?

0N

￠不垂直于v2

WN

￠

?

0=

0N

￠對(duì)

N但

W

=

W

+W圖中12

）,即N^

d

r12（

N^v例 卡車(chē)

M

載著木箱

m

以速度

v

沿平直路面行駛。突然剎車(chē)，車(chē)輪立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，卡車(chē)向前滑行了一段距離

L，同時(shí)木箱也相對(duì)于卡車(chē)滑行了距離

l

后才停下來(lái)。已知木箱與卡車(chē)間、卡車(chē)與地面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)分別為

m

1

和

m

2

，試求卡車(chē)滑行的距離Ｌ。f1f1f2Ｌlv解：把卡車(chē)和木箱作為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力和外力的功等于動(dòng)能增量21

2-

fl

-

f L

=

-

1

(m

+

M

)v2f2=

2

1

1

(m

+

M

)v2

-

f

lL

=

2

1

m2

(m

+

M

)g1

(m

+

M

)v2

-

m

mgl一.

保守力定義如果力所做的功只與物體的始末位置有關(guān)而與路徑無(wú)關(guān),

這樣的力稱為保守力.或:

物體沿閉合路徑繞行一周,

力對(duì)物體所做的功等于零,

這樣的力稱為保守力如:

重力、萬(wàn)有引力、靜電力、彈性力。二.

非保守力作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力例如：摩擦力（耗散力）——

作功恒為負(fù)爆炸力：作功為正。1.5.3

保守力和勢(shì)能1.重力

dW

=AhABhB1BABAmg

dr

cosaF dr

=W

=dr

cosa

=

-dhhBhA-

mgdh

=

-(mghB

-

mghA

)=無(wú)論物體沿1路徑還是2路徑結(jié)果都如此B

A

dW

+

dW

=

BhAA(

L1

)

B(

L2

)

hBhhA-

mgdh

=

0-

mgdh

+三、幾種保守力dria

ih

mmgg2可見(jiàn)，重力的功只與初末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。B

ArrGMm

GMmWAB

=

-一對(duì)萬(wàn)有引力做功之和只與兩質(zhì)點(diǎn)的始末相對(duì)位置有關(guān)。33r

drBAB

-WAB

=

A

f dr

=GMm

?r2r

dr

=

1

dr

cosj

=

dr

?rGMmBArrAB-

dr\

W

=22.

萬(wàn)有引力質(zhì)點(diǎn)M和m間有萬(wàn)有引力作用,計(jì)算這一對(duì)力的功可以認(rèn)為M靜止，且選M為原點(diǎn)，則M對(duì)m的萬(wàn)有引力為：Mmr

+

drdrdrrArrBABLr

2

GMmf

=

-

r?圓弧移動(dòng)一周,設(shè)摩擦系數(shù)為ms

,求摩擦力的功。

W

=f dr

=

-

fdsfdrR2pR0ds

=

-

2msmgpR=

-msmg21221212kxkxx

2x1x+f dx

=

-W

=3.彈性力彈力的功只與始末位置有關(guān)，與中間過(guò)程無(wú)關(guān)。四.

非保守力——摩擦力的功水平桌面上一個(gè)質(zhì)量為m的小物體,沿半徑為R的摩擦力的功與所經(jīng)歷的路徑有關(guān),沿封閉回路的功不為零五、勢(shì)能(Potential

Energy)22

2B彈力的功

WAB2

1=

1

kx

A

-

kxA

Br

r萬(wàn)有引力的功

WAB=

(-

Gm1m2

)

-

(-

Gm1m2

)一、幾種保守力的功重力的功

WAB=

mghA-

mghB特點(diǎn)：保守力的功可以寫(xiě)成兩項(xiàng)之差，第一項(xiàng)只與初位置有關(guān)，第二項(xiàng)只與末位置有關(guān)。因此，可定義一個(gè)只與位置有關(guān)的函數(shù)EP

,該函數(shù)被稱為系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)。二、勢(shì)能保守力所作的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值WAB

=EPA

-EPB

=-DEP

(勢(shì)能差)上式只定義了勢(shì)能差,

這樣勢(shì)能的絕對(duì)值可以相差一個(gè)任意常數(shù).要想求出某點(diǎn)勢(shì)能值，則應(yīng)規(guī)定一勢(shì)能零點(diǎn)如：若規(guī)定C點(diǎn)的勢(shì)能為零，即：E

pc

=

0則系統(tǒng)在任意點(diǎn)A的勢(shì)能為：WAC

=

EpA

-

EpC

=

EpA

=

A

f

drC

質(zhì)點(diǎn)在空間某點(diǎn)的勢(shì)能值等于把其從該點(diǎn)沿任意路徑移到勢(shì)能為零的參考點(diǎn)保守力所做的功。說(shuō)明:1）

勢(shì)能零點(diǎn)不同,勢(shì)能表達(dá)示也不同，各點(diǎn)勢(shì)能值也就不同,

但不影響任意兩點(diǎn)的勢(shì)能差.勢(shì)能的“所有者”應(yīng)是系統(tǒng)共有,它不屬于某一 個(gè)質(zhì)點(diǎn)。它實(shí)質(zhì)上是一種相互作用能。勢(shì)能是標(biāo)量、是狀態(tài)量。只有對(duì)保守內(nèi)力才能引入相應(yīng)的勢(shì)能。三、幾種保守力的勢(shì)能Ep

=

mgh2p=

1

kx2rp=

-GmM彈性勢(shì)能：E萬(wàn)有引力勢(shì)能：E重力勢(shì)能： 零點(diǎn)在

h

=

0

處。零點(diǎn)在x=0自然伸長(zhǎng)處。零點(diǎn)選在r

fi

￥

處。四.由勢(shì)能求保守力：把

W保守力

=

-D

Ep

應(yīng)用于微過(guò)程dx

+

dy

+

dz?x=

F

dx

+

F

dy

+

F

dz

=

-x

y

z

?Ep

?Ep

?Ep-d

Ep

=

F

dr

=

(Fxi

+

Fy

j

+

Fz

k

)

(i

dx

+

jdy

+

kdz)

pp

py

zx?E?y

?z,

F

=

-

,,

F

=

-?x

?y

?z?E

?E\

F

=

-由此可見(jiàn)，知道勢(shì)能的空間分布，就可求得保守力。ppy

zx?x

?y

?z=

-i

+

j

+

k

E

=

-

E

?z?Ep?y?x

?

?

?i

+

j

+

k

?Ep

?Ep

F

=

F

i

+

F j

+

F

k

=

-（負(fù)勢(shì)能梯度）例如○彈簧彈性力kx

=

-kxiF

=

-i2

dx

2

d

1O-x○重力

d

G

=

-

j

(mgy)

=

-mg

jdyyyGF

Fx

xO○萬(wàn)有引力rerrdrr

2Gm1m2

=

-d

Gm1m2

-f

=

-e功能原理外力和非保守內(nèi)力做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量一、功能原理由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理W外

+W內(nèi)

=

EkB

-

EkA將內(nèi)力分為兩部分W內(nèi)保=EpA

-EpBW外+W內(nèi)非=(EkB

+EpB

)-(EkA

+EpA

)W外

+W內(nèi)非

=

EB

-

EA

=

DEW外

+W內(nèi)保

+W內(nèi)非

=

EkB

-

EkA系統(tǒng)的機(jī)械能E1.5.4

機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒定律當(dāng)只有保守內(nèi)力做功時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能守恒由功能原理二、機(jī)械能守恒定律W外

+W內(nèi)非

=

EB

-

EAW外+W內(nèi)非=0EB

=

EA動(dòng)量守恒,角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒條件的對(duì)比守恒量系統(tǒng)動(dòng)量p角動(dòng)量L機(jī)械能Ek

+

Ep質(zhì)點(diǎn)F合=0

r

·F合=0(

b

)

W合

=

(

a

)

F合

dr

=

0(Ek守恒)質(zhì)點(diǎn)系Fi外=0i

ri

·Fi外=0i(b)

W外

=

((a)

Fi外

dr

)

=

0iW非保內(nèi)=0三、能量守恒定律一個(gè)不受外力作用的系統(tǒng)稱為孤立系統(tǒng)1.若系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力為零，或它不做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。2.

若非保守內(nèi)力作功不為零,機(jī)械能則不守恒,但各種形式能量(包括熱能,化學(xué)能,光能…)的總和仍守恒,這就是普遍的能量守恒定律,這是自然界最普遍的定律之一.A外=0思路與步驟:選系統(tǒng),看運(yùn)動(dòng)查受力,分析功審條件,用定理明狀態(tài),列方程例：質(zhì)量為m

的小球，系在繩子一端，繩子的另一端固定

在O點(diǎn)，繩子長(zhǎng)為l,將小球以速率v0從A點(diǎn)沿水平方向拋出，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣阻力），求證：(1)v0

?

5gl(2)設(shè)v0

=

5glmOACv0求小球在q

=60°C點(diǎn)時(shí)，繩子的張力。

解（：1）機(jī)械能守恒(小球和地球作為研究對(duì)象)BAAmv+

mgh=mv

+

mgh2B21212B

Ah

-

h

=

2lB0v

2=

v

2

-

4glBTBmg

qlv2TB

+

mg

=

m

B

2lmTB

=

(v0

-

5gl

)TB

?

0v0

?

5glmACv0BTBmg

qTcO

mgcmv+

mgh2cmv

2

+

mgh

=A

A1212lhC

-

hA

=

l(1

+

cosq

)v2TC

+

mg

cos

q

=

m

C

v0

=

v

A

=

5glq

=60°c2T

=

3

mg（2）C點(diǎn)例:一種實(shí)驗(yàn)小車(chē)質(zhì)量為M，擺求質(zhì)量為m,輕擺桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺從水平位置自由下擺，求到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)小車(chē)和擺球的速度V和v.計(jì)算中忽略摩擦.VvmML解:

取

m,

M,

地球作為一個(gè)系統(tǒng),水平方向不受外力,水平動(dòng)量守恒，另外整個(gè)過(guò)程只有保守力(重力)作功,整個(gè)過(guò)程機(jī)械能守恒水平動(dòng)量守恒: -

mv

+

MV

=

022機(jī)械能守恒：1

mv

2

+1MV2

=mgL解之得：M2gLm

+

Mv

=m22gLM

(m

+

M

)V

=例.

設(shè)作用在質(zhì)量為

2

kg

的物體上的力F

=

12

t

i?

(N)解：BA

AA

=

F dr

=

FxdxB

3=

12t(vdt

)0dt

ma

=

dv

=

F如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，在頭3s時(shí)間內(nèi)，這個(gè)力作了多少功？mdv

=

adt

=

F

dt

m0=

3t

2t

1

t\

v

=

12tdt

=

6

tdt0033

30A

=

12tvdt

=

36t

dt

=

729

(J)例.固定的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦系數(shù)m

，在外力作用下小物體（質(zhì)量m)以速率v

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求:轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功。v

2f

=

mr解：小物體對(duì)環(huán)帶壓力摩擦力的大小:v

2Fm

=

m

f

=

m

m

rmromdA

=

F dr

=

-F

dsrv22p

r

2p

rA

=

dA

=

-

m

m0

0m

mv

2ds

=

-2p例 如圖彈簧與兩平板組成的系統(tǒng)，問(wèn)加多大的壓力F，當(dāng)突然撤去后，上板跳起后恰能使下板被提起。Oxm2x0x1x2x3解：建立坐標(biāo)系。m1

Fm1g

=k(x0

-x1),F

+m