一下相關(guān)課程課件大物b物理i15功和能

1.5功和能（work

and

energy)功**動能定理**保守力和勢能**機械能守恒**一.功的概念質(zhì)點在力

F

的作用下,發(fā)生一小段位移Dr

時，稱此力對該質(zhì)點做了功.二、恒力功1.5.1

功功是標量. 它無方向,

但有正、負。22

2W

>

0;

W

=

0;p

<

j

￡

p

,

W

<

00

￡

j

<

p

,

j

=

p

,ABF

恒力jsW

=

Fs

cosj

=

F

s功的特點:三.變力的功ba

(L)Fdr元功

dW

=

F

drb質(zhì)點從

a

fi

b

的功

WW

=

F

dra(

L)直角坐標系中x

y zF

=

F i +

F

j

+

F

k

dr

dxi

+

dyj

+

dzk

=bbW

=

F

dr

=

(Fxdx

+

Fydy

+

Fzdz)a(

L)

a

(

L)功的大小與路徑相關(guān)。θ例.有一水平放置的彈簧,彈性系數(shù)為k,一端固定,另一端系一小球,如圖.求小球從A移動到B的過程中,彈力所作的功.l0xOBAxx(

-

kx)dx=結(jié)論：彈力的功只與小球的初末位置有關(guān),而與移動的中間過程無關(guān)解:選擇彈簧處于自然長BA小球從A到B彈力所作的功為:WAB

=

F

dr22

21A

B=

kx

2

-

1

kxx時小球的位置為x軸的原點f

=

-kxiA

dx

BA例：水平桌面上一物體m，在外力作用下沿半徑為R的圓從A

運動到B，移動了半個圓周，設(shè)摩擦系數(shù)為mk

,求這一過程中，桌面對它的摩擦力做的功。BOfdr解：f

=

mk

N

=

mk

mgdW

=

F dr

=

-F

drBW

=

-

F

drABABA=

-

Fds

=

-mk

mg

ds

=

-mk

mgpR若沿直徑運動W

=

-mkmg

2R功的值與路徑有關(guān)例：

m

沿曲線由a

→b,

求重力的功hh1h2abdrijimg

解：dW

=

F dr

=

mg

d

r

cosfdW

=

-mgdhb

h2W

=

dW

=

-

mgdha

h1d

r

cosf

=

-dh=

mg(h1

-

h2

)與彈性力一樣，重力所作的功只取決于運動物體的起﹑末位置，與中間過程無關(guān)。四.合力的功BAAAB

=F

dr

=1.

平均功率Dt2.

瞬時功率dt=DW

dWP

=

lim

DtDtfi

0BA(

+

F1

F2

+

...

+

FN

)

drBA=

A1

AB

+

A2

AB

+

...

+

ANAB合力做的總功等于每個分力沿同一路徑做功的代數(shù)和五.功率PP

=

DW=

AF1

dr

+

AF2d

r

+

...

+

F

drB

B

=F

v

手機吊起冰箱?抵擋減速?合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。baW

=

a

f dr

=b

據(jù)牛二定律dtds

=

vdtft

=mat

=m

dv

且2122121221mvdtdvvvbba

atmv

-mvdv

=m

vdt

=f

ds

=W

=二、質(zhì)點的動能定理b一、動能質(zhì)量為m，速率為v的質(zhì)點的動能定義為：2kE

=

1

mv

2f

cosj

ds

=

a

ftds

amb

f單位：焦耳（J）（SI）dr1.5.2

動能定理力做功的效果是什么？但是，動能定理的量值相對不同慣性系值不相同,即（v22-v21）的值不相同。1.

動能定理給出了力的空間積累效應，即功可以改變質(zhì)點的動能。2.其優(yōu)點是當作用力在位移過程中不清楚時，就可通過始、末狀態(tài)動能的增量來求得該力的功。功是過程量，動能是狀態(tài)量。

3.在所有慣性系中,動能定理形式保持不變。222

1AB12

21mvmv

-2

22

12

21

1mvWAB

=

mv

-討

W

=論求物體上沖到最高點的高度。后沿斜面下滑，滑到底部時速度為

v

f

，斜面的傾角為θ，例：一物體由斜面底部以速度v0

向斜面上方?jīng)_，到最高點0vv

=0v

f解：上升過程中2(

f

+

mg

+

N

)

s

=

0

-

mv2

1

NmgkfsθθN

=

mg

cosqN s

=

0pmg s

=

mgs

cos(

+q

)2

f

=mk

mg

cosqf

s

=

-mk

mg

cosq

s21-

mk

mg

cosq

s

-

mg

sinq

s

=

-

2

mv

0上升、下降的整個過程中202

2k

f-

2m

mg

cosq

s

=

1

mv

2

-

1

mvmghNfk202k-

m

mg

cosq

s

-

mg

sinq

s

=

-

1

mv2022fk2

-

1

mv-

2m

mg

cosq

s

=

1

mv4g

sinqv

2

+

v

2s

=

0

f

4gv

2

+

v

20

fh

=

s

sinq

=v

=0sv0θh三.質(zhì)點系的動能定理

f1

,

f2

----為內(nèi)力.

F1

,F2

----為外力.分別應用質(zhì)點動能定理:111111121A11B

1m

v2BA=

m

v2

-(

F

+

f

)

dr22222222212

A

22B

2m

vBA=

m

v

-

12

121(

F

+

f

)

dr2

+21

12

2122222

2A2

1

1A12

2B

2

1

1B1+

1

m

v

2

-

1

m

v

2+

1

m

v

2=

1

m

v

2f

dr2f

dr

+dr

+F

F1

drA2A1A2A1B2

B1

B2

B1

A1F1f1dr1m1A2兩個質(zhì)點的系統(tǒng)B1

B22fdr2m22F

+22222221

12

2112

2122A21

1A1B

21

1B1m

v

-

1

m

v

2

+m

v=

1

m

v

2

+f

dr2f

dr

+

F1

dr

+A1

A2B2A2B1A1B2

B1

F

drA外+A內(nèi)=EkB

-EkA外力總功

+

內(nèi)力總功

=

系統(tǒng)總動能的增量內(nèi)力功的和不一定為零（各質(zhì)點位移不一定相同）。內(nèi)力雖不能改變系統(tǒng)的動量，但能改變系統(tǒng)的動能。

例：炸彈爆炸過程,內(nèi)力(火藥的爆炸力)所做的功使得彈片的動能增加。mv

+

MV

=

0W重力=mgRMV

=

-

mvRMm2)水平方向無外力，系統(tǒng)保持水平方向動量守恒。例：有一面為1/4凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量M）

放置在光滑水平面，一小球（質(zhì)量m）,從靜止開始沿圓面從頂端無摩擦下落（如圖）,小球從水平方向飛離大物體時速度v，求：1）重力所做的功；2）內(nèi)力所做的功。解：1)重力只對小球做功對m，M

對m力所做的功mv

2

-

mgR21方法二：對M，m對M的力所做的功m

2

v

22MMV

2

=2

2W

+W

=

1

MV

2

+

1

mv2重力

內(nèi)力方法一：對整個系統(tǒng)用動能定理RMm內(nèi)力所做功?mv

-

mgR=

+mv

-WMV

+W

=2m2v22212M

21212重力內(nèi)力MV

=

-

mv四、一對力的功1、一對力分別作用在兩個物體上的大小相等、方向相反的力，我們稱之為“一對力”。一對力通常是作用力與反作用力，但也可以不是。如圖示的f1與f2就不是作用力與反作用力，但仍是一對力。另外，一對力中的兩個力也并不要求必須在同一直線上。f2

f1

=

-

f22

12、一對力的功dr21

m2相對于m1的元位移。一對力所做的功，等于其中一個質(zhì)點受的力和該質(zhì)點相對另一質(zhì)點的位移的點積。dW

=

f1

dr1

+

f2

dr2對2

2

1

2

21

=

f d

(r

-

r

)

=

f

drA2B1B2m1m2r1r2A1r21Odr12dr1f

f2（1）.

dW對與參考系選取無關(guān)。說為明方便起見，計算時常認為其中一個質(zhì)點靜止，并以該質(zhì)點所在位置為原點，計算另一質(zhì)點受力所做的功，這就是一對力的功。（2）.一對滑動摩擦力的功恒小于零Smuf地面S￠f′以地面為參考系：

W對

=

f S

=

-

f

SS以滑塊為參考系：W對=f

￠

S￠=-f

￠

S￠

=-f（3）.在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下，一對力的功必為零。Nv1v12光滑2M1

mN′v2N

不垂直于v1WN

?

0N

￠不垂直于v2

WN

￠

?

0=

0N

￠對

N但

W

=

W

+W圖中12

）,即N^

d

r12（

N^v例 卡車

M

載著木箱

m

以速度

v

沿平直路面行駛。突然剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動，卡車向前滑行了一段距離

L，同時木箱也相對于卡車滑行了距離

l

后才停下來。已知木箱與卡車間、卡車與地面間的滑動摩擦系數(shù)分別為

m

1

和

m

2

，試求卡車滑行的距離Ｌ。f1f1f2Ｌlv解：把卡車和木箱作為質(zhì)點系內(nèi)力和外力的功等于動能增量21

2-

fl

-

f L

=

-

1

(m

+

M

)v2f2=

2

1

1

(m

+

M

)v2

-

f

lL

=

2

1

m2

(m

+

M

)g1

(m

+

M

)v2

-

m

mgl一.

保守力定義如果力所做的功只與物體的始末位置有關(guān)而與路徑無關(guān),

這樣的力稱為保守力.或:

物體沿閉合路徑繞行一周,

力對物體所做的功等于零,

這樣的力稱為保守力如:

重力、萬有引力、靜電力、彈性力。二.

非保守力作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力例如：摩擦力（耗散力）——

作功恒為負爆炸力：作功為正。1.5.3

保守力和勢能1.重力

dW

=AhABhB1BABAmg

dr

cosaF dr

=W

=dr

cosa

=

-dhhBhA-

mgdh

=

-(mghB

-

mghA

)=無論物體沿1路徑還是2路徑結(jié)果都如此B

A

dW

+

dW

=

BhAA(

L1

)

B(

L2

)

hBhhA-

mgdh

=

0-

mgdh

+三、幾種保守力dria

ih

mmgg2可見，重力的功只與初末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。B

ArrGMm

GMmWAB

=

-一對萬有引力做功之和只與兩質(zhì)點的始末相對位置有關(guān)。33r

drBAB

-WAB

=

A

f dr

=GMm

?r2r

dr

=

1

dr

cosj

=

dr

?rGMmBArrAB-

dr\

W

=22.

萬有引力質(zhì)點M和m間有萬有引力作用,計算這一對力的功可以認為M靜止，且選M為原點，則M對m的萬有引力為：Mmr

+

drdrdrrArrBABLr

2

GMmf

=

-

r?圓弧移動一周,設(shè)摩擦系數(shù)為ms

,求摩擦力的功。

W

=f dr

=

-

fdsfdrR2pR0ds

=

-

2msmgpR=

-msmg21221212kxkxx

2x1x+f dx

=

-W

=3.彈性力彈力的功只與始末位置有關(guān)，與中間過程無關(guān)。四.

非保守力——摩擦力的功水平桌面上一個質(zhì)量為m的小物體,沿半徑為R的摩擦力的功與所經(jīng)歷的路徑有關(guān),沿封閉回路的功不為零五、勢能(Potential

Energy)22

2B彈力的功

WAB2

1=

1

kx

A

-

kxA

Br

r萬有引力的功

WAB=

(-

Gm1m2

)

-

(-

Gm1m2

)一、幾種保守力的功重力的功

WAB=

mghA-

mghB特點：保守力的功可以寫成兩項之差，第一項只與初位置有關(guān)，第二項只與末位置有關(guān)。因此，可定義一個只與位置有關(guān)的函數(shù)EP

,該函數(shù)被稱為系統(tǒng)的勢能函數(shù)。二、勢能保守力所作的功等于勢能增量的負值WAB

=EPA

-EPB

=-DEP

(勢能差)上式只定義了勢能差,

這樣勢能的絕對值可以相差一個任意常數(shù).要想求出某點勢能值，則應規(guī)定一勢能零點如：若規(guī)定C點的勢能為零，即：E

pc

=

0則系統(tǒng)在任意點A的勢能為：WAC

=

EpA

-

EpC

=

EpA

=

A

f

drC

質(zhì)點在空間某點的勢能值等于把其從該點沿任意路徑移到勢能為零的參考點保守力所做的功。說明:1）

勢能零點不同,勢能表達示也不同，各點勢能值也就不同,

但不影響任意兩點的勢能差.勢能的“所有者”應是系統(tǒng)共有,它不屬于某一 個質(zhì)點。它實質(zhì)上是一種相互作用能。勢能是標量、是狀態(tài)量。只有對保守內(nèi)力才能引入相應的勢能。三、幾種保守力的勢能Ep

=

mgh2p=

1

kx2rp=

-GmM彈性勢能：E萬有引力勢能：E重力勢能： 零點在

h

=

0

處。零點在x=0自然伸長處。零點選在r

fi

￥

處。四.由勢能求保守力：把

W保守力

=

-D

Ep

應用于微過程dx

+

dy

+

dz?x=

F

dx

+

F

dy

+

F

dz

=

-x

y

z

?Ep

?Ep

?Ep-d

Ep

=

F

dr

=

(Fxi

+

Fy

j

+

Fz

k

)

(i

dx

+

jdy

+

kdz)

pp

py

zx?E?y

?z,

F

=

-

,,

F

=

-?x

?y

?z?E

?E\

F

=

-由此可見，知道勢能的空間分布，就可求得保守力。ppy

zx?x

?y

?z=

-i

+

j

+

k

E

=

-

E

?z?Ep?y?x

?

?

?i

+

j

+

k

?Ep

?Ep

F

=

F

i

+

F j

+

F

k

=

-（負勢能梯度）例如○彈簧彈性力kx

=

-kxiF

=

-i2

dx

2

d

1O-x○重力

d

G

=

-

j

(mgy)

=

-mg

jdyyyGF

Fx

xO○萬有引力rerrdrr

2Gm1m2

=

-d

Gm1m2

-f

=

-e功能原理外力和非保守內(nèi)力做的功等于系統(tǒng)機械能的增量一、功能原理由質(zhì)點系的動能定理W外

+W內(nèi)

=

EkB

-

EkA將內(nèi)力分為兩部分W內(nèi)保=EpA

-EpBW外+W內(nèi)非=(EkB

+EpB

)-(EkA

+EpA

)W外

+W內(nèi)非

=

EB

-

EA

=

DEW外

+W內(nèi)保

+W內(nèi)非

=

EkB

-

EkA系統(tǒng)的機械能E1.5.4

機械能守恒機械能守恒定律當只有保守內(nèi)力做功時系統(tǒng)機械能守恒由功能原理二、機械能守恒定律W外

+W內(nèi)非

=

EB

-

EAW外+W內(nèi)非=0EB

=

EA動量守恒,角動量守恒和機械能守恒條件的對比守恒量系統(tǒng)動量p角動量L機械能Ek

+

Ep質(zhì)點F合=0

r

·F合=0(

b

)

W合

=

(

a

)

F合

dr

=

0(Ek守恒)質(zhì)點系Fi外=0i

ri

·Fi外=0i(b)

W外

=

((a)

Fi外

dr

)

=

0iW非保內(nèi)=0三、能量守恒定律一個不受外力作用的系統(tǒng)稱為孤立系統(tǒng)1.若系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力為零，或它不做功，則系統(tǒng)機械能守恒。2.

若非保守內(nèi)力作功不為零,機械能則不守恒,但各種形式能量(包括熱能,化學能,光能…)的總和仍守恒,這就是普遍的能量守恒定律,這是自然界最普遍的定律之一.A外=0思路與步驟:選系統(tǒng),看運動查受力,分析功審條件,用定理明狀態(tài),列方程例：質(zhì)量為m

的小球，系在繩子一端，繩子的另一端固定

在O點，繩子長為l,將小球以速率v0從A點沿水平方向拋出，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動（不計空氣阻力），求證：(1)v0

?

5gl(2)設(shè)v0

=

5glmOACv0求小球在q

=60°C點時，繩子的張力。

解（：1）機械能守恒(小球和地球作為研究對象)BAAmv+

mgh=mv

+

mgh2B21212B

Ah

-

h

=

2lB0v

2=

v

2

-

4glBTBmg

qlv2TB

+

mg

=

m

B

2lmTB

=

(v0

-

5gl

)TB

?

0v0

?

5glmACv0BTBmg

qTcO

mgcmv+

mgh2cmv

2

+

mgh

=A

A1212lhC

-

hA

=

l(1

+

cosq

)v2TC

+

mg

cos

q

=

m

C

v0

=

v

A

=

5glq

=60°c2T

=

3

mg（2）C點例:一種實驗小車質(zhì)量為M，擺求質(zhì)量為m,輕擺桿長為L，擺從水平位置自由下擺，求到達最低點時小車和擺球的速度V和v.計算中忽略摩擦.VvmML解:

取

m,

M,

地球作為一個系統(tǒng),水平方向不受外力,水平動量守恒，另外整個過程只有保守力(重力)作功,整個過程機械能守恒水平動量守恒: -

mv

+

MV

=

022機械能守恒：1

mv

2

+1MV2

=mgL解之得：M2gLm

+

Mv

=m22gLM

(m

+

M

)V

=例.

設(shè)作用在質(zhì)量為

2

kg

的物體上的力F

=

12

t

i?

(N)解：BA

AA

=

F dr

=

FxdxB

3=

12t(vdt

)0dt

ma

=

dv

=

F如果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭3s時間內(nèi)，這個力作了多少功？mdv

=

adt

=

F

dt

m0=

3t

2t

1

t\

v

=

12tdt

=

6

tdt0033

30A

=

12tvdt

=

36t

dt

=

729

(J)例.固定的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦系數(shù)m

，在外力作用下小物體（質(zhì)量m)以速率v

做勻速圓周運動。求:轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功。v

2f

=

mr解：小物體對環(huán)帶壓力摩擦力的大小:v

2Fm

=

m

f

=

m

m

rmromdA

=

F dr

=

-F

dsrv22p

r

2p

rA

=

dA

=

-

m

m0

0m

mv

2ds

=

-2p例 如圖彈簧與兩平板組成的系統(tǒng)，問加多大的壓力F，當突然撤去后，上板跳起后恰能使下板被提起。Oxm2x0x1x2x3解：建立坐標系。m1

Fm1g

=k(x0

-x1),F

+m