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北京市東城2022高三第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)
數(shù)學(xué)試題
2023.1
本試卷共5頁(yè),150分??荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效??荚嚱Y(jié)束后,
將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題共10小題每小題4分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。
(1)已知集合4={x|-l<x<2},B={x|x<l},則AB=
(A)(-oo,2)(B)(-1,4-oo)
(C)(-1,1](D)[1,2)
(2)在下列函數(shù)中,為偶函數(shù)的是
(A)f(x)=x-cosx(B)f(x)=xcosx
(C)/(x)=ln|x|(D)f(x)=
(3)在(x+工)”的展開(kāi)式中,若第3項(xiàng)的系數(shù)為10,則〃=
X
(A)4(B)5(C)6(D)7
(4)在等比數(shù)列{〃“}中,4=1,生〃3=8,則%=
(A)8(B)16C)32(D)64
(5)北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一,其
中鐘鼓樓、萬(wàn)寧橋、景山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門
廣場(chǎng)及建筑群、正陽(yáng)門、中軸線南段道路遺存、永定門,依次是自北
向南位列軸線中央相鄰的11個(gè)重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個(gè)
重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽,則選取的3個(gè)中一定有
故宮的概率為
1131
(A)—(B)-(C)—(D)-
119113
(6)在平面直角坐標(biāo)系X。),中,角a以。v為始邊,終邊位于第一象限,且
與單位圓。交于點(diǎn)尸,軸,垂足為若的面積為9
25
則sin2a=
24
(D)
(A技⑻蔣嗯25
(7)已知雙曲線CiN-2uig〉。,)〉。)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工,其漸近線方程為丁=±2%,p是c上一
a~b
點(diǎn),且P£J_P居.若的面積為4,則C的焦距為
(A)垂>(B)273(C)2A/5(D)475
(8)在△ABC中,''對(duì)于任意rwl,184—安心卜,?!笔恰啊鰽BC為直角三角形”的
(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件
(9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若點(diǎn)P(a,6)在直線如+力+4。+3=0上,則當(dāng)。功變化時(shí),直線。戶的斜率的
取值范圍是
(A)(-00,-,+oo)(B)(C)(―<x>,—[--,+00)(D)[―---,
222
(10)如圖,在正方體ABCD-AgGA中,。是棱上的動(dòng)點(diǎn),下列說(shuō)法中正確的是
①存在點(diǎn)。,使得GQ//4。;
②存在點(diǎn)。,使得GQ,4。;
③對(duì)于任意點(diǎn)Q,Q到4c的距離為定值;
④對(duì)于任意點(diǎn)Q,44。。都不是銳角三角形.
(A)①③(B)②③(C)②④(D)①④
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.
(11)若復(fù)數(shù)z滿足(z+i)i=-3,則|z|=.
(12)已知函數(shù)/(x)=Jisinx-cosx,則/(卞=;若將/(x)的圖象向左平行移動(dòng)/個(gè)單位長(zhǎng)度后得
到g(x)的圖象,則g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為.
(13)經(jīng)過(guò)拋物線>2=2px(p>0)焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,8,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線
交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)均與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD的大小關(guān)系為%%.(用”>"
”填寫)
(14)設(shè)函數(shù)/(x)=《','當(dāng)。=0時(shí),“X)的值域?yàn)開(kāi)_________;若/任)的最小值為1,則。的
\x-a-\\,x<a.
取值范圍是.
(15)對(duì)于數(shù)列{4“},令騫=卬一%+。3-4+1+(-1)"%",給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若凡=〃,則《023=1012;
②若Tn-n,則/<>22=T;
③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{4},使得|看|>|(向|對(duì)任意的〃eN*都成立;
④若對(duì)任意的〃wN*,都有圜<M,則有[%-a,J<2M.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.
三、解答題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程。
(16)(本小題13分)
如圖,在銳角△ABC中,B=~,A8=3?,AC=6,點(diǎn)。在邊的延長(zhǎng)線上,且C£>=10.
4
(I)求Z4C8:
(II)求△AC。的周長(zhǎng).
(17)(本小題15分)
如圖,在四棱錐P—A8C£>中,底面A5CD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA=2,PALAB,E為8C的中點(diǎn),
F為PD上一點(diǎn),EF平面.
(I)求證:/為PD的中點(diǎn);
(II)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線AD
與平面A砂所成角的正弦值.
條件①:AD±PB;
條件②:PC=2瓜
注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
(18)(本小題13分)
“雙減”政策執(zhí)行以來(lái),中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)
的情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人,統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間(單位:小時(shí)),分別位于區(qū)間|7,9),
[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖表示如下:
假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.
(I)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率;
(II)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人,記4表示這3人一周參加課后活動(dòng)的
時(shí)間在區(qū)間[15,17)的人數(shù),求E的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)的估
計(jì)值分別為b,c,請(qǐng)直接寫出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代)
(19)(本小題14分)
22Q
已知橢圓C:=+與=1(。>人>0)的離心率為土,長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為6,K,鳥(niǎo)分別為橢圓。的
ab~2
左、右焦點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn),若|P耳川歸閭成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)X的取值范圍.
(20)(本小題15分)
已知函數(shù)〃x)=xe”.
(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;
(II)求“X)的極值;
(IH)證明:當(dāng)mW1時(shí),曲線0:y=/(x)與曲線C2:y=lnx+x+〃z至多存在一個(gè)交點(diǎn).
(21)(本小題15分)
己知數(shù)列力:G,a2,L,an,滿足:qe{0,1}(i=1,2,,n,n>2),從A中選取第匕項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第
i,“項(xiàng)(/,</2<<im,m>2),稱數(shù)列他,氣,,氣,為A的長(zhǎng)度為m的子列.記T(A)為A所有子列的個(gè)數(shù).例如
A:0,0,l,其7(A)=3.
(I)設(shè)數(shù)列A:1,1,0,0,寫出A的長(zhǎng)度為3的全部子列,并求T(A);
(II)設(shè)數(shù)列A:q,a2,L,an,A':an,an_x,L,%,A":1—q,l-a2,L,1—q,,判斷T(A),T(A'),T(A")
的大小,并說(shuō)明理由;
(HI)對(duì)于給定的正整數(shù)九,攵(1K攵若數(shù)列A:4,a2,L,〃〃滿足:a1+a2+L+an=k,求7(A)的最小
值.
高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
2023.1
一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)
(1)A(2)C(3)B(4)D(5)D
(6)D(7)C(8)A(9)B(10)C
二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分)
(11)2(12)1(0,0)(答案不唯一)
(13)=(14)(-1,+oo)[A/2,+OO)(15)①②④
三、解答題(共6小題,共85分)
(16)(共13分)
解:ACAB
(1)在448中,由正弦定理
sinBsinZACB
AB?sinB
得sin/AC8=
AC
TTTT
又因?yàn)樵阡J角△ABC中,ZACBG(O,-),所以NAC8=—.6分
23
jrzjr
(II)因?yàn)镹AC8=^,所以NACO='.
33
2
在△ACO中,由余弦定理A。?=4。2+。。2-24。?。。-05—兀,得40=14.
3
所以△ACD的周長(zhǎng)為的C+CD+AD=30..............13分
(17)(共15分)
解:(D在△Q4O中,過(guò)點(diǎn)尸作尸G〃AD交叢于點(diǎn)G,連接GB.
因?yàn)锳O〃6C,
所以FGHBC,
所以B,E,F,G四點(diǎn)共面.
因?yàn)镋F//平面Q48,EFu平面BEFG,
平面平面5£FG=BG,
所以EF//BG.
所以四邊形3ER;是平行四邊形.
所以歹6=36=,4。.
2
所以尸為PZ)的中點(diǎn).6分
(II)選條件①:ADA.PB.
因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形,
所以AZ)_LA5.
又ADLPB,ABPB=B,
所以4),平面Q鉆.
所以AT)J_Q4.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA=2,
則A(0,0,0),£>(0,2,0),£(2,1,0),尸(0,1,1),
所以AO=(0,2,0),A£=(2,1,0),AF=(0,1,1).
設(shè)平面AE戶的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),
n-AE-0,f2x+y=0,
則《即《
n-AF-0,y+z=0.
令x=l,則y=—2,z=2.于是〃=(1,一2,2).
設(shè)直線AO與平面AEF所成角為3,
..\n-AD\2
則nilsin0n=cos<n,AD>=-------=—.
|n||AD|3
2
所以直線AO與平面AEF所成角為的正弦值為一..............15分
3
選條件②:PC=26
如圖,連接AC.
因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
所以AD_LAB,AC=2垃.
因?yàn)镻4=2,PC=2百,
所以242+4。2=尸。2
所以B4J_4C.
因?yàn)锳4_LAB,ABAC=A,
所以PA_L平面ABCD
所以Q41.A。.
以下同選條件①.15分
(18)(共13分)
解:(I)根據(jù)頻率分布直方圖,可得學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的頻率
為(0.125+0.200)x2=0.65,
因此估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率為0.65,……3分
(II)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人,其一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的概率為0.4.
因此48(3,04).
尸?=0)=(1-0.4)3=0.216;P?=1)=C;x0.4'x(l-0.4)2=0.432;
P記=2)=C;x0.42x(l-0.4)1=0.288;=3)=0.43=0.064.
則J的分布列為:
00123
P0.2160.4320.2880.064
E自=0x0.216+1x0.432+2x0.288+3x0.064=1.2.??
10分
(III)c<b<a...............13分
(19)(共14分)
2a+2b=6,
解:(I)由題設(shè),1f=且,
a2
a2=b2+c2.
解得"=4,戶=1.
2
所以橢圓c的方程為工+y2=i...............5分
4'
(II)設(shè)P(%,%)為橢圓C上一點(diǎn),
則有|PK|+|PR|=2a=4.
由|P耳|,|「閭成等差數(shù)列,得2HpM=4,
即1PMi=2.
由"(1,0),則歸一="(玉)一以+%2.
又P(JCo,%)在橢圓。上,有午+%2=1,
故1PMi=Ja,—1)2+%2=j(Xo—1了+1--j二£/2-2x0+2,
因?yàn)閤°e[—2,2],所以|PM|w[曰,3].
Z3
所以;leg,兩
所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是[|,閑...............14分
(20)(共15分)
解:(I)因?yàn)?(x)=xe*
所以r(x)=(x+l)e*.
所以/(0)=0,/'(O)=L
所以曲線y=/(力在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=%.4分
(H)令/'(x)=0,得x=-l.
當(dāng)XG(TX),—1)時(shí),/'(X)<O,/(X)單調(diào)遞減;
當(dāng)xe(—l,48)時(shí),/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x=-l時(shí),f(x)=0,在x=-l時(shí)取得極小值.
所以函數(shù)/(X)的極小值為-:,不存在極大值.
9分
(III)令g(x)=xe*-lnx-x-租,其定義域?yàn)?0,+8).
g'O)=(x+1)e"--1=(x+l)(ev--),x+l>0.
xx
令〃(x)=e'—Ll(x)=e'+3>0,
所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.
因?yàn)椤á?gt;0,%)<0,所以%e(pl),
當(dāng)xw(O,Xo)時(shí),力(x)<0,即g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)無(wú)€(%,+00)時(shí),?>0,即g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),/z(x)=O,即e*"」",8(力取得極小值8(%(,).
g(毛)=x()e與一卜/一/一機(jī),
因?yàn)閑%=L,所以x0=-Inx0,
%
所以g.)=l-辦
因此,當(dāng)加<1時(shí),g(M)>0,
所以Vxw(0,+oo),g(x)>0,
即Vxe(O,+8),f(x)>lnx+x+m,曲線G與曲線。2無(wú)交點(diǎn);
當(dāng)加=1時(shí),g(N))=0,
所以存在且僅存在一個(gè)工€(;」),使得g(毛)=0,
對(duì)Vx€(0,+oo)且x片Xo,都有g(shù)(x)>0,即/(x)>lnx+x+〃7.
所以當(dāng)加=1時(shí),曲線G與曲線G有且僅有一個(gè)交點(diǎn);
故當(dāng)機(jī)41時(shí),曲線G與曲線G至多存在一個(gè)交點(diǎn)...............15分
(21)(共15分)
解:(I)由T(A)的定義以及A:l,l,(),0,可得:A的長(zhǎng)度為3的子列為:1,(),();1,1,(),
A的長(zhǎng)度為2的子列有3個(gè),A的長(zhǎng)度為4的子列有1個(gè),
所以T(A)=6............5分
(IDT(A)=T(A)=T(A").
理由如下:
若小,砥,L,,為_(kāi)],,項(xiàng)是A:a,,a2,L,的一個(gè)子列,
則恤,mk_},L,叫,叫為A':an,an_,,L,q的一個(gè)子列.
若犯,m2,L,町1,%*與4,n2,L,〃*T,4是A:4,a2,L,a”的兩個(gè)不同子列,
則m*,町1,L,小與4,nk_x,L,%,4也是A':an,an_t,L,4的兩個(gè)不同子列.
所以7(A)47(4').
同理T(A')MT(A),
所以T(A)=T(A).
同理T(A)=T(A').所以有T(A)=T(A')=T(A").............................10
分
(III)由已知可得,數(shù)列A:%,a2,L,%中恰有k個(gè)1,〃—4個(gè)0.令
A*:94P2%W°1上1]1
個(gè)上個(gè)
下證:T(A)>T(A*).
由于A*:Q*?)嗎。\.2%31,所以A*的子列中含有i個(gè)0,J個(gè)1
〃-2個(gè)&個(gè)
(z=0,1,,n—k,j=0,1,,k,i+j>2)的子列有且僅有1個(gè),
設(shè)為:94P2144°}zhYsL而數(shù)列4:4,2,L,a,,的含有,個(gè)0,J個(gè)1的子列至少有
i個(gè)/個(gè)
一個(gè),
所以7(A)27(4).
數(shù)列A*:94P+]2131中,不含有。的子列有2一1個(gè)’含有1個(gè)。的子列有卜個(gè),
〃一攵個(gè)4個(gè)
含有2個(gè)。的子列有A+1個(gè),LL,含有〃-A個(gè)。的子列有Z+1個(gè),
所以7(4*)=(/?-k)(k+\)+k-2=nk+n-k2-2.
所以T(A)的最小值為〃%+〃一%2-2.............................15分
高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
2023.1
一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)
(1)A(2)C(3)B(4)D(5)D
(6)D(7)C(8)A(9)B(10)C
二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分)
(11)2(12)1(0,0)(答案不唯一)
(13)=(14)(-l,+oo)[V2,+oo)(15)①②④
三、解答題(共6小題,共85分)
(16)(共13分)
解:ACAB
(1)在448中,由正弦定理
sinBsinZACB
AB?sinB
得sin/AC8=
AC
jrir
又因?yàn)樵阡J角中,ZACBG(0,-),所以NAC8=—..............6分
23
TTZJT
(II)因?yàn)镹AC8=^,所以NACO='.
33
2
在△ACO中,由余弦定理A。?=4。2+。。2-24。?。。-05—兀,得40=14.
3
所以△AC。的周長(zhǎng)為AC+CD+AD=3()..............13分
(17)(共15分)
解:(D在△Q4O中,過(guò)點(diǎn)尸作尸G〃AD交叢于點(diǎn)G,連接GB.
因?yàn)锳D〃BC,
所以FGHBC,
所以B,E,F,G四點(diǎn)共面.
因?yàn)镋F//平面Q48,EFu平面BEFG,
平面平面5£FG=BG,
所以EF//BG.
所以四邊形3ER;是平行四邊形.
所以歹6=36=,4。.
2
所以尸為PZ)的中點(diǎn).6分
(II)選條件①:ADA.PB.
因?yàn)榈酌鍭3CD為正方形,
所以AZ)_LA5.
又AD工PB,ABPB=B,
所以4),平面Q4B.
所以ADJ_Q4.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,因?yàn)榈酌鍭BCO是邊長(zhǎng)為2的正方形,24=2,
則40,0,0),£>(0,2,0),£(2,1,0),尸(0,1,1),
所以AO=(0,2,0),=(2,1,0),A-=(0,1,1).
設(shè)平面AE尸的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),
0,[2x+y=0,
則《n-AE-即《
n-AF=0,[>+z=0.
令x=l,則y=—2,z=2.于是〃=(1,一2,2).
設(shè)直線與平面AEF所成角為6,
.\n-AD\2
則sin0n=cos<n,AD>=----------=—.
|n||AD|3
2
所以直線AO與平面AM所成角為的正弦值為一.15分
3
選條件②:PC=26
如圖,連接AC.
因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
所以AD_LAB,AC=2垃.
因?yàn)镻4=2,PC=2百,
所以242+4。2=尸。2
所以B4J_AC.
因?yàn)锳4_LAB,ABAC=A,
所以PA_L平面ABCD
所以Q41.A。.
以下同選條件①...............15分
(18)(共13分)
解:(I)根據(jù)頻率分布直方圖,可得學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的頻率
為(0.125+0.200)x2=0.65,
因此估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率為0.65.......3分
(II)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人,其一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的概率為0.4.
因此48(3,04).
尸C=0)=(1-0.4)3=0.216;=1)=C;x0.4'x(l-0.4)2=0.432;
=2)=C;x0.42x(l-0.4)'=0.288;P您=3)=0.43=0.064.
則J的分布列為:
40123
P0.2160.4320.2880.064
E自=0x0.216+1x0.432+2x0.288+3x0.064=1.2.......10分
(III)c<b<a.......13分
(19)(共14分)
2a+2b=6,
解:(I)由題設(shè),\-=—,
a2
a2=b2+c2.
解得/=4,〃=1
2
所以橢圓C的方程為工+>2=1................5分
4-
(H)設(shè)P(x。,%)為橢圓C上一點(diǎn),
則有|尸耳|+忱月|=2。=4.
由閘,.尸閭,|尸局成等差數(shù)列,得2HpM=4,4-0,
即|PM|=2.
由”(1,0),則歸仞|=依-1)2+%2.
又「(七,%)在橢圓。上,有3-+為2=1,
故1PMi=Ja,—1)2+%2=J(Xo—lf+1-2x0+2,
因?yàn)閤0€[-2,2],所以|PM|w[曰,3].
AJ
所以;leg,兩
所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是[|,、而]...............14分
(22)(共15分)
解:(I)因?yàn)?(x)=xe*
所以/'(x)=(x+l)e".
所以〃0)=0,/'(O)=L
所以曲線>=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為丁=尤..............4分
(II)令/'(x)=0,得x=-L
當(dāng)XG(fO,-l)時(shí),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)xe(—1,+8)時(shí),r(x)>。,〃x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x=-l時(shí),_f(x)=0,/(x)在x=-l時(shí)取得極小值.
所以函數(shù)/(%)的極小值為一,,不存在極大值...............9分
(III)g(x)=xex-\nx-x-m,其定義域?yàn)?0,+8).
g'(x)=(x+l)ev---l=(x+l)(ev--),x+l>0.
XX
令〃(x)=e"-J,//(x)=e“+3>0,
所以/z(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增.
因?yàn)?z⑴>0,足)<0,所以%e(pl),
當(dāng)XG(O,XO
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