演示文稿計(jì)算方法之計(jì)算矩陣的特征值和特征量

演示文稿計(jì)算方法之計(jì)算矩陣的特征值和特征量本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第1頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分（優(yōu)選）計(jì)算方法之計(jì)算矩陣的特征值和特征量本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第2頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分3

在線性代數(shù)中按如下三步計(jì)算：

1、計(jì)算出A的特征多項(xiàng)式│A-

E│；

2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i

3、將i代入(A-iE)X=0

求出基礎(chǔ)解系，即得A的對(duì)應(yīng)于i的特征向量，而基礎(chǔ)解系的線性組合即為A的對(duì)應(yīng)于i

的全部特征向量。

例 求矩陣 的特征值與特征向量本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第3頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分4

解：計(jì)算特征多項(xiàng)式方程，即

解得A的兩個(gè)特征值：1=4，2=2。（1）1=4 將1=4代入(A-E)X=0得(A-4E)X=0

本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第4頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分5

取對(duì)應(yīng)于1=4的基礎(chǔ)解向量

則對(duì)應(yīng)于1=4的全部特征向量為：（2）2=2 將1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0

取對(duì)應(yīng)于2=2的基礎(chǔ)解向量本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第5頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分6

方法局限性：當(dāng)矩陣階數(shù)較高（如階數(shù)n>4）時(shí)，將面臨兩方面的難題： （1）多項(xiàng)式的計(jì)算對(duì)舍入誤差非常敏感； （2）求高次方程的根尤其是重根存在困難。

則對(duì)應(yīng)于2=2的全部特征向量為：特征值的數(shù)值計(jì)算方法1、冪法：求按模最大特征值，即2、反冪法：求按模最小特征值，即3、Jacobi法：求實(shí)對(duì)稱矩陣所有特征值和特征向量。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第6頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分7

冪法是一種迭代法。

基本思想：把矩陣的特征值和特征向量作為一個(gè)無(wú)限序列的極限來求得。 如對(duì)于n階方陣A，任取一個(gè)初始向量X(0)

，作迭代計(jì)算 X(k+1)=AX(k)

則可得迭代序列X(0),X(1),…,X(k)

,…，

序列的收斂情況與A的按模最大特征值有密切關(guān)系，分析序列的極限，即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第7頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分8下面介紹兩種簡(jiǎn)單情況：（一）按模最大特征值只有一個(gè)，且是單實(shí)根（二）按模最大特征值是互為反號(hào)的實(shí)根本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第8頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分9

定理

設(shè)n

階方陣A有

n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

Xi

，其對(duì)應(yīng)的特征值為i

（i=1,2,...,n)，且滿足：|1|＞|2|

…

|n|

則對(duì)任何非零初始向量V(0)（至少第1個(gè)分量不為0）所構(gòu)成的迭代序列V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,…）有：

其中表示中的第j個(gè)分量。（一）按模最大特征值只有一個(gè)，且是單實(shí)根本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第9頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分10

證明： 因?yàn)锳具有n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

Xi

（i=1,2,...,n） 而任一n

維的非零向量，如V(0)：總可以用Xi

的線性組合來表示：

V(0)=1X1+2X2+...+nXn（其中10）取 V(1)=AV(0) V(2)=AV(1)=A2V(0) ……本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第10頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分11 V(k+1)=AV(k)=Ak+1V(0)

以構(gòu)成向量迭代序列。

由矩陣特征值的定義有：

AXi=iXi

（i=1,2,...,n）則有本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第11頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分12

同理可得：

V(k+1)的第j個(gè)分量：

V(k)的第j個(gè)分量：那么本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第12頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分13由已知條件：故有：

所以：

定理的證明已給出求矩陣最大特征值的方法：（1）取一非零初始向量V(0)

，如V(0)=(1,1,...,1)T（2）作迭代計(jì)算：V(k+1)=AV(k)（3）當(dāng)k充分大時(shí)取：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第13頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分14或者用各個(gè)分量比的平均值作為最大特征值：（4）求1所對(duì)應(yīng)的特征向量：

由：可得：

而：

故：

則V(k)即為所求對(duì)應(yīng)1的特征向量。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第14頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分15

例 用冪法求下面 的按模最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。（1）即初始非零向量V(0)（2）作迭代計(jì)算V(k+1)=AV(k)：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第15頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分16

最大特征值的計(jì)算：

特征向量：V(11)本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第16頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分17

設(shè)n

階方陣A有

n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

Xi

，其對(duì)應(yīng)的特征值為i

（i=1,2,...,n)，且滿足：

|1|=|2|>|3|

…

|n|，設(shè)其中1>0,1=-2（二）按模最大特征值是互為反號(hào)的實(shí)根由迭代變換：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第17頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分18

迭代計(jì)算中V(k)呈規(guī)律性擺動(dòng)，當(dāng)k充分大時(shí)有

則有：

同理：（k充分大時(shí)）

再由：

可得：取本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第18頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分19

★規(guī)范化冪法運(yùn)算

由

（1）當(dāng)|1|>1時(shí)，V(k)與V(k+1)的各個(gè)不等于0的分量將隨k的增大而過快地增大，而可能“溢出”； （2）當(dāng)|1|<1時(shí)，V(k)與V(k+1)的各個(gè)分量將隨k的增大而過快地減小而趨于0； 上述兩種情況都會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第19頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分20

解決措施：在計(jì)算V(k+1)之前，先將V(k)規(guī)范化，具體操作如下： （1）取U(0)=V(0)=1X1+2X2+...+nXn（非零向量），計(jì)算V(1)

：

V(1)=AU(0)=AV(0)

（2）取U(1)：

即用V(1)中絕對(duì)值最大的分量去除V(1)中的所有分量。 其次計(jì)算V(2)：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第20頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分21

（3）取U(2)

：

即用V(2)中絕對(duì)值最大的分量去除V(2)中的所有分量。其次計(jì)算V(3)

：

………………

（k+1）取U(k)

：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第21頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分22

即用V(k)中絕對(duì)值最大的分量去除V(k)中的所有分量。其次計(jì)算V(k+1)

：

計(jì)算過程總結(jié)如下:本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第22頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分23

由

◆規(guī)范化冪法運(yùn)算中的幾種情況

（一）按模最大特征值1是單實(shí)根，且1>0

此時(shí)迭代向量序列{V(k)}將正常收斂。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第23頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分24

由向量知識(shí)：X1是對(duì)應(yīng)1的特征向量，那么也是對(duì)應(yīng)1的特征向量。

即可用U(k)

作為所求對(duì)應(yīng)于1

的特征向量。

由

那么：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第24頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分25

即：當(dāng)k充分大時(shí)可用V(k+1)中的最大分量作為所求最大特征值1

例 用規(guī)范化冪法計(jì)算右面矩陣的按模最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第25頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分26

解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，結(jié)果如下：kV(k)U(k)max(V(k))0111111127495-18410.34672-0.67153244.4237714.84322-29.6426210.33413-0.6672744.42377344.9233314.97623-29.9504810.33337-0.6667044.92333444.9957214.99865-29.9972210.33334-0.6666744.99572544.9995914.99988-29.9997410.33333-0.6666744.99959644.9995314.99983-29.9996810.33333-0.6666744.99953744.9995314.99983-29.9996810.33333-0.6666744.99953

由表可知，最大特征值為：1=44.99953

對(duì)應(yīng)特征向量為：(1,0.33333,-0.66667)T本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第26頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分27

此種情形下，按模最大特征值為

（二）按模最大特征值1是單實(shí)根，但1<0

此時(shí)迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}將分別收斂于互為反號(hào)的向量。

當(dāng)k充分大時(shí)，的符號(hào)會(huì)交替變號(hào)。

而對(duì)應(yīng)于1的特征向量仍為U(k)

。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第27頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分28 |1|=|2|>|3|

…

|n|，設(shè)其中1>0,1=-2

（三）按模最大特征值是互為反號(hào)的實(shí)根，即

此時(shí)迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}將分別收斂于兩個(gè)互不相同的向量。 當(dāng)規(guī)范化運(yùn)算到k充分大時(shí)停止，再作一次非規(guī)范化運(yùn)算：

則按模最大特征值：

而特征向量仍為：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第28頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分29

驗(yàn)證：當(dāng)k充分大時(shí)本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第29頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分30

故有：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第30頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分31☆規(guī)范化冪法算法描述（1是單實(shí)根，且1>0）

一、數(shù)據(jù)說明

a[n][n] — 存放方陣A中各元素；

V0[n]

— 表示迭代式中的V(k);

V1[n]

—

表示迭代式中的V(k+1);

U[n]

—

規(guī)范化向量

lamda

—

按模最大特征值

EPS

—

精度控制量 二、操作步驟

Step1

輸入A中元素本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第31頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分32 Step2

V0[n](0,0,...,0)T；

V1[n](1,1,...,1)T Step3 While||V1-V0||>EPS

DO

Step4

V0V1;

Step5

計(jì)算V(k+1)=AV(k): U[i]V0[i]/max(V0[i])

計(jì)算V(k+1)=AU(k) Step6 計(jì)算||V1-V0|| EndWhile Step7 Output(lamda=max(V1[n]),U[n])本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第32頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分33

設(shè)待求n階矩陣A可逆，且其特征值為i（i=1,2,…,n） 對(duì)應(yīng)的特征向量為Xi，二者滿足關(guān)系式AXi=iXi

等式兩邊同時(shí)乘以A-1，得 Xi=iA-1Xi

，即

由特征值與特征向量的定義，知為A-1的特征值，而Xi為對(duì)應(yīng)的特征向量。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第33頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分34

顯然，如果i

是A的按模最小特征值，那么其倒數(shù)則是A-1的按模最大特征值。

問題的解決：求規(guī)范化冪法求出A-1的按模最大特征值，取其倒數(shù)即A的按模最小特征值。即

考慮A-1的計(jì)算煩瑣，將上式變換為：

——

反冪法。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第34頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分35計(jì)算步驟：（1） 將A進(jìn)行LU分解；（2） 取初始向量U(0)=V(0)

計(jì)算V(1)=AU(0)

U(1)=V(1)/||V(1)||，代入AV(2)=U(1),求V(2)

U(2)=V(2)/||V(2)||，代入AV(3)=U(3),求V(3) …………

當(dāng)||V(k+1)–V(k)||<EPS時(shí)停止。（3）

取 1/max(V(k+1))為按模最小特征值

U(k)為對(duì)應(yīng)特征向量。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第35頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分36

實(shí)例-用反冪法求的按模最小特征值

解法 用先對(duì)A進(jìn)行LU分解

取初始向量V(0)=U(0)=(1,1)T

按計(jì)算出V(1)，再計(jì)算U(1)，……本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第36頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分37編程作業(yè)： 編制反冪法求方陣按模最小特征值的程序。1、什么是實(shí)對(duì)稱矩陣？ 對(duì)實(shí)矩陣A，若有A=AT，即aij=aji，則A為實(shí)對(duì)稱矩陣。2、Jacobi法的基本思想

（1）對(duì)實(shí)矩陣A，其所有特征值均為實(shí)數(shù)，而且一定存在一個(gè)正交矩陣P，使本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第37頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分38

其中i

（i=1,2,…,n）即A的全部特征值，而正交矩陣P的第i列是對(duì)應(yīng)于i的特征向量。

（2）直接找到正交矩陣P非常困難，但可用一系列一系列的正交矩陣P1、P2、…，Pk反復(fù)作用于A，即作如下正交變換：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第38頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分39

使變換后的矩陣A(k+1)在非主對(duì)角線上的元素趨近于0，而主對(duì)角線上的元素即為A的各個(gè)特征值的近似值，以矩陣P=P1P2…Pk-1Pk的第i列作為對(duì)應(yīng)于i的特征向量。

3、正交矩陣系列P1，P2，…，Pk如何構(gòu)成？ 以2階實(shí)對(duì)稱矩陣A為例來考慮：，其中

如何通過正交矩陣變換，將A轉(zhuǎn)換為對(duì)角矩陣以求出其全部特征值呢？

本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第39頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分40

（1）由實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則A對(duì)應(yīng)的二次型為

（2）如何轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型？——坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)：Oθx1y1x2y2相當(dāng)于如下矩陣變換：或者：本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第40頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分41其中則可得標(biāo)準(zhǔn)二次型：

（3）再由：

因：

故有本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第41頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分42

令

因PPT=E，故P為正交矩陣。

結(jié)論：對(duì)2階的實(shí)對(duì)稱矩陣A，選取適當(dāng)旋轉(zhuǎn)角θ，作正交變換PTAPB，而b11和b22即A的兩個(gè)特征值，P的兩個(gè)列向量即對(duì)應(yīng)的特征向量。

例 計(jì)算 特征值和對(duì)應(yīng)特征向量。

解 取正交矩陣本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第42頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分43

對(duì)A作正交變換：

選取旋轉(zhuǎn)角=45o，使sin2-cos2=0，則有本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第43頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分44

則對(duì)應(yīng)于特征值1=4的特征向量為

對(duì)應(yīng)于特征值2=2的特征向量為

——— 上述方法即為Jacobi法。本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第44頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分45

Jacobi法應(yīng)用于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A： 取如下正交矩陣本文檔共50頁(yè)；當(dāng)前第45頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)29分46

該矩陣的特點(diǎn)： （1）主對(duì)角線元素vpp=v