2023新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)55三角函數(shù)的應(yīng)用新人教A版必修第一冊(cè)

課時(shí)分層作業(yè)(五十五)三角函數(shù)的應(yīng)用一、選擇題1．如圖所示，單擺從某點(diǎn)開始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么單擺擺動(dòng)一個(gè)周期所需的時(shí)間為()A．2πsB．πsC．0.5sD．1sD[依題意是求函數(shù)s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq\f(2π,2π)＝1，故選D．]2．商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過(guò)入口的人數(shù)，五一節(jié)那天某商場(chǎng)的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則在下列時(shí)間段內(nèi)人流量增加的是()A．[0，5] B．[5，10]C．[10，15] D．[15，20]C[由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π]，故選C．]3．在兩個(gè)彈簧上各有一個(gè)質(zhì)量分別為M1和M2的小球做上下自由振動(dòng)．已知它們?cè)跁r(shí)間t(s)離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cos2t確定，則當(dāng)t＝eq\f(2π,3)s時(shí)，s1與s2的大小關(guān)系是()A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能確定C[當(dāng)t＝eq\f(2π,3)時(shí)，s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq\f(3π,2)＝－5，當(dāng)t＝eq\f(2π,3)時(shí)，s2＝10coseq\f(4π,3)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2．故選C．]4．下表是某市近30年來(lái)月平均氣溫(℃)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：月份123456平均溫度－5.9－3.32.29.315.120.3月份789101112平均溫度22.822.218.211.94.3－2.4則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是()A．y＝acoseq\f(πx,6)B．y＝acoseq\f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)C．y＝－acoseq\f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)D．y＝acoseq\f(πx,6)－3C[當(dāng)x＝1時(shí)圖象處于最低點(diǎn)，且易知a＝eq\f(－5.9＋22.8,2)＞0．故選C．]5．電流強(qiáng)度I(安)隨時(shí)間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的圖象如圖所示，則當(dāng)t＝eq\f(1,100)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是()A．－5安 B．5安C．5eq\r(3)安 D．10安A[由圖象知A＝10，eq\f(T,2)＝eq\f(4,300)－eq\f(1,300)＝eq\f(1,100)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π．所以I＝10sin(100πt＋φ)．因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,300)，10))為“五點(diǎn)法”作圖中的第二個(gè)點(diǎn)，所以100π×eq\f(1,300)＋φ＝eq\f(π,2)．所以φ＝eq\f(π,6)．所以I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，當(dāng)t＝eq\f(1,100)秒時(shí)，I＝－5安．故選A．]二、填空題6．某城市一年中12個(gè)月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1，2，3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的月平均氣溫值為________℃．20.5[由題意可知A＝eq\f(28－18,2)＝5，a＝eq\f(28＋18,2)＝23．從而y＝5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))＋23．故10月份的月平均氣溫值為y＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5．]7．如圖是彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是________．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(π,4)))[由題圖可設(shè)y＝Asin(ωt＋φ)，則A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5,2)π，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)πt＋φ))，將點(diǎn)(0.1，2)代入y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋φ))中，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))＝1，所以φ＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，令k＝0，得φ＝eq\f(π,4)，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(π,4)))．]8．一種波的波形為函數(shù)y＝－sineq\f(π,2)x的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________．7[函數(shù)y＝－sineq\f(π,2)x的周期T＝4，且x＝3時(shí)y＝1取得最大值，因此t≥7．所以正整數(shù)t的最小值是7．]三、解答題9．已知某地一天從4時(shí)到16時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4，16]．(1)求該地區(qū)這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差；(2)若有一種細(xì)菌在15℃到25℃之間可以生存，那么在這段時(shí)間內(nèi)，該細(xì)菌能生存多長(zhǎng)時(shí)間？[解](1)由函數(shù)易知，當(dāng)x＝14時(shí)函數(shù)取最大值，即最高溫度為30℃；當(dāng)x＝6時(shí)函數(shù)取最小值，即最低溫度為10℃．所以，最大溫差為30℃－10℃＝20℃．(2)令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq\f(1,2)．而x∈[4，16]，所以x＝eq\f(26,3)．令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq\f(1,2)，而x∈[4，16]，所以x＝eq\f(34,3)．故該細(xì)菌的存活時(shí)間為eq\f(34,3)－eq\f(26,3)＝eq\f(8,3)小時(shí)．10．某帆板集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時(shí)間t(0≤t≤24，單位：時(shí))呈周期性變化，每天時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t(時(shí))03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)從y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中選一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的7時(shí)到19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由(1)知選擇y＝Asin(ωt＋φ)＋b較合適．令A(yù)>0，ω>0，|φ|<π．由圖可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)．把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0．故所求擬合模型的解析式為y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，得sineq\f(π,6)t≥－eq\f(1,2)．則－eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(π,6)t≤eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再結(jié)合題意可知，應(yīng)安排在11時(shí)到19時(shí)訓(xùn)練較恰當(dāng)．1．如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線(也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線)，它對(duì)應(yīng)的方程為|y|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x,π)))))|sinωx|(0≤x≤2π)其中記[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù))，0＜ω＜5，且過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2))，若葫蘆曲線上一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為eq\f(5π,3)，則點(diǎn)M到x軸的距離為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)B[因?yàn)閨y|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x,π)))))|sinωx|(0≤x≤2π)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2))，代入可得2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(ωπ,4)))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(ωπ,4)))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(ωπ,4)))＝1，所以sineq\f(ωπ,4)＝±1，解得eq\f(ωπ,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即ω＝4k＋2(k∈Z)，因?yàn)?＜ω＜5，所以k＝0，ω＝2，所以|y|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x,π)))))|sin2x|(0≤x≤2π)，因?yàn)辄c(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為eq\f(5π,3)，即x＝eq\f(5π,3)，當(dāng)x＝eq\f(5π,3)時(shí)，|y|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,π)×\f(5π,3)))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin2×\f(5π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)×3))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(10π,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)．所以點(diǎn)M到x軸的距離為eq\f(\r(3),4)．故選B．]2．如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過(guò)的弧eq\o(\s\up12(︵),AP)的長(zhǎng)為l，弦AP的長(zhǎng)為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()C[令A(yù)P所對(duì)圓心角為θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sineq\f(θ,2)＝eq\f(d,2)，∴d＝2sineq\f(θ,2)＝2sineq\f(l,2)，即d＝f(l)＝2sineq\f(l,2)(0≤l≤2π)，它的圖象為C．]3．國(guó)際油價(jià)在某一時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)正弦波動(dòng)規(guī)律：P＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價(jià)80美元，當(dāng)t＝150(天)時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，則ω的最小值為________．eq\f(1,120)[因?yàn)锳sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))＋60＝80，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))≤1，所以A＝20，當(dāng)t＝150(天)時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，此時(shí)150ωπ＋eq\f(π,4)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝1時(shí)，ω取最小值，所以150ωπ＋eq\f(π,4)＝eq\f(3,2)π，解得ω＝eq\f(1,120)．]4．已知角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象上的任意兩點(diǎn)，若|f(x1)－f(x2)|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為eq\f(π,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________．－eq\f(\r(2),2)[由條件|f(x1)－f(x2)|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為eq\f(π,3)，結(jié)合圖象(略)可知函數(shù)f(x)的最小正周期為eq\f(2π,3)，則由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,3)，得ω＝3．又因?yàn)榻铅盏慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，所以不妨取φ＝－eq\f(π,4)，則f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，于是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2)．]主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是：先通過(guò)微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來(lái)抵消噪聲(如圖所示)．已知某噪聲的聲波曲線f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋φ))(A＞0，0≤φ＜π)，其中的振幅為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)．(1)求該噪聲聲波曲線的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪聲波曲線的解析式g(x)；(2)證明：g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)為定值．[解](1)∵振幅為2，A＞0，∴A＝2，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋φ))，將點(diǎn)(1，－2)代入得：－2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))?sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝－1，∵0≤φ＜π，∴eq\f(2π,3)＋φ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,3)))，∴eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(3π,2)?φ＝eq\f(5π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋\f(5π,6)))，易知g(x)與f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以g(x)＝－2s