2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題PAGE.z.數(shù)學(xué)親愛(ài)的2019屆平岡學(xué)子： 恭喜你進(jìn)入平岡中學(xué)！你們是高中生了，做好了充分的準(zhǔn)備嗎.其實(shí)學(xué)好高中數(shù)學(xué)并不難，你只要有堅(jiān)韌不拔的毅力，認(rèn)真做題，善于總結(jié)歸納，持之以恒，相信你一定能成功。 從2016年開(kāi)始，廣東省高考數(shù)學(xué)試題使用全國(guó)I卷，縱觀今年高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)它最大的特點(diǎn)就是區(qū)分度特別大，選拔性很明顯，難度相比以前廣東自主命題難度大大提升。打鐵還需自身硬，因此，讓自己變強(qiáng)大才是硬道理。假期發(fā)給你們的這本小冊(cè)子，是為了使你們?cè)诔醺咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上形成較好的連續(xù)性，能有效地克服知識(shí)和方法上的跳躍，利于激發(fā)你們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。你們一定要利用好暑假，做好充分的準(zhǔn)備工作。這里給大家?guī)讉€(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的建議：2、建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本。把平時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)或推理記載下來(lái)，以防再犯。爭(zhēng)取做到：找錯(cuò)、析錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)。達(dá)到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯(cuò)誤原因弄個(gè)水落石出、以便對(duì)癥下藥；解答問(wèn)題完整、推理嚴(yán)密。3、熟記一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論，使自己平時(shí)的運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練程度。4、經(jīng)常對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”，如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；經(jīng)常對(duì)習(xí)題進(jìn)行類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一；使幾類問(wèn)題歸納于同一知識(shí)方法。5、閱讀數(shù)學(xué)課外書籍與報(bào)刊，參加數(shù)學(xué)學(xué)科課外活動(dòng)與講座，多做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度，拓展自己的知識(shí)面。7、學(xué)會(huì)從多角度、多層次地進(jìn)行總結(jié)歸類。如：①?gòu)臄?shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識(shí)應(yīng)用上分類等，使所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、條理化、專題化、網(wǎng)絡(luò)化。8、經(jīng)常在做題后進(jìn)行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問(wèn)題時(shí)，是否也用到過(guò)。9、無(wú)論是作業(yè)還是測(cè)驗(yàn)，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要問(wèn)題。初高中數(shù)學(xué)銜接呼應(yīng)版塊1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。2．因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多,而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到,如解方程、不等式等。3．二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4．初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5．二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，6．圖像的對(duì)稱、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問(wèn)題必須掌握。7．含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8．幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。9.角度問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題。在初中只涉及360°范圍內(nèi)的角，而高中是任意角。三角函數(shù)在初中也只是銳角三角函數(shù)，高中是任意角三角函數(shù)，定義的范圍大大不同。同時(shí)，度量角也引進(jìn)了弧度制這個(gè)新的度量辦法。2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。10.高中階段特別注重?cái)?shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。目錄1.1數(shù)與式的運(yùn)算絕對(duì)值1.1.2.乘法公式1.1.3．二次根式1.1.４．分式1．2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）2.2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c的圖像和性質(zhì)2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用2.3方程與不等式2.3.1二元二次方程組解法2.3.2一元二次不等式解法1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1．絕對(duì)值一、概念：絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．二、典型例題：例1解不等式：解法一：由，得；①若，不等式可變?yōu)?，即，得，?＜1，∴*＜-3；②若，不等式可變?yōu)?，即又∴綜上所述，原不等式的解為或。1A*-3C*P|*－1|圖1．1－1D5解法二：如圖1．1－1，表示*軸上坐標(biāo)為*1A*-3C*P|*－1|圖1．1－1D5所以的幾何意義即為|PA|＞4．可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為-3)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)5)的右側(cè)．∴或。練習(xí)A1．填空：（1）若，則*=_________；若，則*=_________.（2）如果，且，則b＝________；若，則c＝________.2．選擇題：下列敘述正確的是（）（A）若，則（B）若，則2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。（C）若，則（D）若，則2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。練習(xí)B3．解不等式：4、化簡(jiǎn)：|*－5|－|2*－13|（*＞5）．1.1.2.乘法公式一、復(fù)習(xí)：我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；必須記?。?）立方差公式；必須記?。?）三數(shù)和平方公式；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式．對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．二、典型例題例1計(jì)算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知，，求的值．解：．練習(xí)A1．填空：（1）（）；（2）；(3)．2．選擇題：（1）若是一個(gè)完全平方式，則等于（）（A）（B）（C）（D）（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值（）（A）總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3．二次根式一、概念：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如，等是無(wú)理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。二次根式的意義二、典型例題例1將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2計(jì)算：．解法一：＝＝＝＝＝．解法二：＝＝＝＝＝．例3試比較下列各組數(shù)的大小：（1）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2eq\r(2)，∴eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，∴＜.例4化簡(jiǎn)：．解：＝＝＝＝．例5化簡(jiǎn)：（1）；（2）．解：（1）原式=．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．練習(xí)A1．填空：（1）＝_____；（2）若，則的取值范圍是_____；（3）_____；2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。（4）若，則________．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。 （提示先簡(jiǎn)化后代入）2．選擇題：等式成立的條件是（）（A）（B）（C）（D）練習(xí)B3．若，求的值．4．比較大?。?－eq\r(3)eq\r(5)－eq\r(4)（填“＞”，或“＜”）．1.1.4．分式一、概念：1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．二、典型例題：例1若，求常數(shù)的值．解：∵，∴解得．例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：；．（1）證明：∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）證明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整數(shù)，∴eq\f(1,n＋1)一定為正數(shù)，∴＜eq\f(1,2)．例3設(shè)，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝eq\f(1,2)＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．練習(xí)A1．填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n，()；2．選擇題：若，則＝（）（A）１（B）（C）（D）3．正數(shù)滿足，求的值．4．計(jì)算．習(xí)題1．1A組1．解不等式：２．已知，求的值．3．填空：（1）＝___________________；（2）若，則的取值范圍是____________________；（3）____________________．4．填空：，，則__________________；5．已知：，求的值．B組1．選擇題：（1）若，則（）（A）（B）（C）（D）（2）計(jì)算等于（）（A）（B）（C）（D）2．計(jì)算：．1．2分解因式一、復(fù)習(xí)引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）*2－3*＋2；（2）*2＋4*－12；（3）；（4）．解：（1）如圖1．2－1，將二次項(xiàng)*2分解成圖中的兩個(gè)*的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3*，就是*2－3*＋2中的一次項(xiàng)，所以，有*2－3*＋2＝(*－1)(*－2)．－1－1－2**圖1．2－1－1－211圖1．2－2－2611圖1．2－3－ay－by**圖1．2－4－11*y圖1．2－5說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1．2－1中的兩個(gè)*用1來(lái)表示（如圖1．2－2所示）．（2）由圖1．2－3，得*2＋4*－12＝(*－2)(*＋6)．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。（3）由圖1．2－4，得＝2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。（4）＝*y＋(*－y)－1＝(*－1)(y+1)（如圖1．2－5所示）．2．提取公因式法與分組分解法例2分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)（2）=*+y2*-y2*+y2*-y2-3=．3．關(guān)于*的二次三項(xiàng)式a*2+b*+c(a≠0)的因式分解．若關(guān)于*的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.例3把下列關(guān)于*的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）；（2）．解：（1）令=0，則解得，，∴==．（2）令=0，則解得，，∴=．二、練習(xí)A1．選擇題：多項(xiàng)式的一個(gè)因式為（）（A）（B）（C）（D）2．分解因式：（1）*2＋6*＋8；（2）8a3－b3；（3）*2－2*－1；（4）．練習(xí)B組1．分解因式：（1）；（2）；（3）；2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）；（2）；（3）；3．分解因式：*2＋*－(a2－a)．2.1一元二次方程2.1.1根的判別式一、概念：我們知道，對(duì)于一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為．①因?yàn)閍≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根*1，2＝；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。*1＝*2＝－；2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由此可知，一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來(lái)判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”來(lái)表示．綜上所述，對(duì)于一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0），有當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根*1，2＝；（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根*1＝*2＝－；（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．二、典型例題：例1判定下列關(guān)于*的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根．（1）*2－3*＋3＝0；（2）*2－a*－1＝0；（3）*2－a*＋(a－1)＝0；（4）*2－2*＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．（2）該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①當(dāng)a＝2時(shí)，Δ＝0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根*1＝*2＝1；②當(dāng)a≠2時(shí)，Δ＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根*1＝1，*2＝a－1．（4）由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①當(dāng)Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；②當(dāng)Δ＝0，即a＝1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根*1＝*2＝1；③當(dāng)Δ＜0，即a＞1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題．2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）一、概念：1、若一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則有；． 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果a*2＋b*＋c＝0（a≠0）的兩根分別是*1，*2，則*1＋*2＝，*1·*2＝．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理．2、特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程*2＋p*＋q＝0，若*1，*2是其兩根，由韋達(dá)定理可知*1＋*2＝－p，*1·*2＝q， 即p＝－(*1＋*2)，q＝*1·*2， 所以，方程*2＋p*＋q＝0可化為*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0，由于*1，*2是一元二次方程*2＋p*＋q＝0的兩根，所以，*1，*2也是一元二次方程*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0的兩根，因此有以兩個(gè)數(shù)*1，*2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0．二、典型例題：例2已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個(gè)根，2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)?！?×22＋k×2－6＝0，2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)?！鄈＝－7．所以，方程就為5*2－7*－6＝0，解得*1＝2，*2＝－．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為*1，則2*1＝－，∴*1＝－．由（－）＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．例3已知關(guān)于*的方程*2＋2(m－2)*＋m2＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值．分析： 本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)*1，*2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得*1＋*2＝－2(m－2)，*1·*2＝m2＋4．∵*12＋*22－*1·*2＝21，∴(*1＋*2)2－3*1·*2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡(jiǎn)，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當(dāng)m＝－1時(shí)，方程為*2＋6*＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；當(dāng)m＝17時(shí)，方程為*2＋30*＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝-1．說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可．（*）在今后的解題過(guò)程中，如果用由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于等于零．因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根．例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個(gè)數(shù)．分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為*，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)．也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是*，y，則*＋y＝4，①*y＝－12．②由①，得y＝4－*，代入②，得*(4－*)＝－12，即*2－4*－12＝0，∴*1＝－2，*2＝6．∴或因此，這兩個(gè)數(shù)是－2和6．解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程*2－4*－12＝0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程，得*1＝－2，*2＝6． 所以，這兩個(gè)數(shù)是－2和6． 說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷． 例5若*1和*2分別是一元二次方程2*2＋5*－3＝0的兩根． （1）求|*1－*2|的值；（2）求的值；（3）*13＋*23． 解：∵*1和*2分別是一元二次方程2*2＋5*－3＝0的兩根，∴，． （1）∵|*1－*2|2＝*12+*22－2*1*2＝(*1＋*2)2－4*1*2＝＝＋6＝，∴|*1－*2|＝． （2）． （3）*13＋*23＝(*1＋*2)(*12－*1*2＋*22)＝(*1＋*2)[(*1＋*2)2－3*1*2]2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。注意：說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)*1和*2分別是一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0），則，，∴|*1－*2|＝．于是有下面的結(jié)論：若*1和*2分別是一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0），則|*1－*2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論．例6若關(guān)于*的一元二次方程*2－*＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)*1，*2是方程的兩根，則*1*2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范圍是a＜4．練習(xí)A1．選擇題：（1）方程的根的情況是（）（A）有一個(gè)實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（2）若關(guān)于*的方程m*2＋(2m＋1)*＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）（A）m＜（B）m＞－（C）m＜，且m≠0（D）m＞－，且m≠0（3）已知關(guān)于*的方程*2＋k*－2＝0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（4）下列四個(gè)說(shuō)法：①方程*2＋2*－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程*2－2*＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3*2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為；④方程3*2＋2*＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)（5）關(guān)于*的一元二次方程a*2－5*＋a2＋a＝0的一個(gè)根是0，則a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）若方程*2－3*－1＝0的兩根分別是*1和*2，則＝．（2）方程m*2＋*－2m＝0（m≠0）的根的情況是．（3）以－3和1為根的一元二次方程是．（4）方程k*2＋4*－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．（5）方程2*2－*－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2＝．（6）已知關(guān)于*的方程*2－a*－3a＝0的一個(gè)根是－2，則它的另一個(gè)根是．（7）方程2*2＋2*－1＝0的兩根為*1和*2，則|*1－*2|＝．3．已知，當(dāng)k取何值時(shí)，方程k*2＋a*＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.4．已知方程*2－3*－1＝0的兩根為*1和*2，求(*1－3)(*2－3)的值．5．試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于*的一元二次方程m2*2－(2m＋1)*＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.沒(méi)有實(shí)數(shù)根.2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。6．求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程*2－7*－1＝0各根的相反數(shù)．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。練習(xí)B組1．選擇題:若關(guān)于*的方程*2＋(k2－1)*＋k＋1＝0的兩實(shí)根互為相反數(shù)，則k的值為（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:（1）若m，n是方程*2＋2005*－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程*2＋*－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知關(guān)于*的方程*2－k*－2＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為*1和*2，如果2(*1＋*2)＞*1*2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程a*2＋b*＋c＝0（a≠0）的兩根為*1和*2．求：（1）|*1－*2|和；（2）*13＋*23．5．關(guān)于*的方程*2＋4*＋m＝0的兩根為*1，*2滿足|*1－*2|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．2．2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c的圖像和性質(zhì)一、復(fù)習(xí)引申：?jiǎn)栴}1函數(shù)y＝a*2與y＝*2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系.為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫出y＝2*2，y＝*2，y＝－2*2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝*2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝a*2與y＝*2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫出函數(shù)y＝*2，y＝2*2的圖象．先列表：*…－3－2－10123…*2…9410149…2*2…188202818從表中不難看出，要得到2*2的值，只要把相應(yīng)的*2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y＝*2，y＝2*2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2*2的圖象可以由函數(shù)y＝*2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到．y＝*2y＝2*2圖2.2-1*Oy同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝*2，y＝*2y＝2*2圖2.2-1*Oy通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：1、二次函數(shù)y＝a*2(a≠0)的圖象可以由y＝*2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．在二次函數(shù)y＝a*2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小．問(wèn)題2函數(shù)y＝a(*＋h)2＋k與y＝a*2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系.同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(*＋1)2＋1與y＝2*2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2*2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y＝2(*＋1)2＋1的圖象．這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)．類似地，還可以通過(guò)畫函數(shù)y＝－3*2，y＝－3(*－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．圖2.2-2*圖2.2-2*yO－1y＝2*2y＝2(*＋1)2y＝2(*＋1)2＋12、二次函數(shù)y＝a(*＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝a*2＋b*＋c＝a(*2＋)＋c＝a(*2＋＋)＋c－，所以，y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝a*2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。3、（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝a*2＋b*＋c圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線*＝－；當(dāng)*＜時(shí)，y隨著*的增大而減??；當(dāng)*＞時(shí)，y隨著*的增大而增大；當(dāng)*＝時(shí)，函數(shù)取最小值y＝．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝a*2＋b*＋c圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線*＝－；當(dāng)*＜時(shí)，y隨著*的增大而增大；當(dāng)*＞時(shí)，y隨著*的增大而減??；當(dāng)*＝時(shí)，函數(shù)取最大值y＝．*y*yO*＝－A圖2.2-3*yO*＝－A圖2.2-4二、典型例題：例1求二次函數(shù)y＝－3*2－6*＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)*取何值時(shí)，y隨*的增大而增大（或減小）.并畫出該函數(shù)的圖象．解：∵y＝－3*2－6*＋1＝－3(*＋1)2＋4，*Oy*Oy*＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5對(duì)稱軸是直線*＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)*＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)*＜－1時(shí)，y隨著*的增大而增大；當(dāng)*＞－1時(shí)，y隨著*的增大而減?。徊捎妹椟c(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與*軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這四點(diǎn)畫出圖象（如圖2－5所示）．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．例2*種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)*（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：*/元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價(jià)*的一次函數(shù)，則，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元.此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少.分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷售量y×(銷售價(jià)*－120)，日銷售量y又是銷售價(jià)*的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià)*之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是*的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝k*+b將*＝130，y＝70；*＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－*＋200．設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z＝(－*+200)(*－120)＝－*2＋320*－24000＝－(*－160)2＋1600，∴當(dāng)*＝160時(shí)，z取最大值1600．答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元．例3把二次函數(shù)y＝*2＋b*＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝*2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝*2＋b*＋c＝(*+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝*2的圖像，所以，解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝*2＋b*＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝*2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y＝*2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝*2＋b*＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝*2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝(*－4)2＋2的圖像，即為y＝*2－8*＋14的圖像，∴函數(shù)y＝*2－8*＋14與函數(shù)y＝*2＋b*＋c表示同一個(gè)函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)．今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．三、練習(xí)A1．選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是（）（A）y＝2*2（B）y＝2*2－4*＋2（C）y＝2*2－1（D）y＝2*2－4*2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。（2）函數(shù)y＝2(*－1)2＋2是將函數(shù)y＝2*2（）2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。（A）向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的（B）向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的（C）向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的（D）向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2．填空題（1）二次函數(shù)y＝2*2－m*＋n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，則m＝，n＝．（2）已知二次函數(shù)y＝*2+(m－2)*－2m，當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在*軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（3）函數(shù)y＝－3(*＋2)2＋5的圖象的開(kāi)口向，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)*＝時(shí)，函數(shù)取最值y＝；當(dāng)*時(shí)，y隨著*的增大而減小．3．求下列拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（小）值及y隨*的變化情況，并畫出其圖象．（1）y＝*2－2*－3；（2）y＝1＋6*－*2．2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式一、復(fù)習(xí)引申：通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝a*2＋b*＋c(a≠0)；2．頂點(diǎn)式：y＝a(*＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示．為了研究另一種表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象與*軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有a*2＋b*＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ＞0也成立．（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸有一個(gè)交點(diǎn)，則Δ＝0也成立．（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸沒(méi)有交點(diǎn)，則Δ＜0也成立．于是，若拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(*1，0)，B(*2，0)，則*1，*2是方程a*2＋b*＋c＝0的兩根，所以*1＋*2＝，*1*2＝，即＝－(*1＋*2)，＝*1*2． 所以，y＝a*2＋b*＋c＝a()=a[*2－(*1＋*2)*＋*1*2]＝a(*－*1)(*－*2)．由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y＝a*2＋b*＋c(a≠0)與*軸交于A(*1，0)，B(*2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(*－*1)(*－*2)(a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點(diǎn)式：y＝a(*－*1)(*－*2)(a≠0)，其中*1，*2是二次函數(shù)圖象與*軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的*一形式來(lái)解題．二、典型例題：例1已知*二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝*＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線y＝*＋1上，所以，2＝*＋1，∴*＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），∴，解得a＝．∴二次函數(shù)的解析式為，即y=說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題．因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題．例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到*軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與*軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(*＋3)(*－1)(a≠0)，展開(kāi)，得y＝a*2＋2a*－3a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到*軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線*＝－1，又由頂點(diǎn)到*軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式． 解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴對(duì)稱軸為直線*＝－1．又頂點(diǎn)到*軸的距離為2，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(*＋1)2＋2，或y＝a(*＋1)2－2，由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－(*＋1)2＋2，或y＝(*＋1)2－2． 說(shuō)明：上述兩種解法分別從與*軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題，在今后的解題過(guò)程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝a*2＋b*＋c(a≠0)．由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2*2＋12*－8．通過(guò)上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來(lái)求二次函數(shù)的表達(dá)式.三、練習(xí)A1．選擇題:（1）函數(shù)y＝－*2＋*－1圖象與*軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）無(wú)法確定（2）函數(shù)y＝－eq\f(1,2)(*＋1)2＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與*軸交于點(diǎn)(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a(a≠0)．（2）二次函數(shù)y＝－*2+2eq\r(3)*＋1的函數(shù)圖象與*軸兩交點(diǎn)之間的距離為．3．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式．（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）當(dāng)*＝3時(shí)，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，11)；（3）函數(shù)圖象與*軸交于兩點(diǎn)(1－eq\r(2)，0)和(1＋eq\r(2)，0)，并與y軸交于(0，－2)．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。 一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換 1．平移變換問(wèn)題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn).依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移. 我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可． 例1求把二次函數(shù)y＝*2－4*＋3的圖象經(jīng)過(guò)下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式： （1）向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位； （2）向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位． 分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項(xiàng)系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置（即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式． 解：二次函數(shù)y＝2*2－4*－3的解析式可變?yōu)閥＝2(*－1)2－1， 其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)． （1）把函數(shù)y＝2(*－1)2－1的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3，-2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y＝2(*－3)2－2．*yO*＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7*yO*yO*＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7*yOy＝1A(1,－1)B(1，3)圖2.2－82．對(duì)稱變換問(wèn)題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn).依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移. 例2求把二次函數(shù)y＝2*2－4*＋1的圖象關(guān)于下列直線對(duì)稱后所得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式： （1）直線*＝－1； （2）直線y＝1．解：（1）如圖2．2－7，把二次函數(shù)y＝2*2－4*＋1的圖象關(guān)于直線*＝－1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置，不改變其形狀． 由于y＝2*2－4*＋1＝2(*－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2*2－4*＋1圖象的頂點(diǎn)為A(1,－1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為A1(－3，-1)，所以，二次函數(shù)y＝2*2－4*＋1的圖象關(guān)于直線*＝－1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝2(*＋3)2－1，即y＝2*2＋12*＋17．（2）如圖2．2－8，把二次函數(shù)y＝2*2－4*＋1的圖象關(guān)于直線y＝－1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向，不改變其形狀． 由于y＝2*2－4*＋1＝2(*－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2*2－4*＋1圖象的頂點(diǎn)為A(1,－1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為B(1，3)，且開(kāi)口向下，所以，二次函數(shù)y＝2*2－4*＋1的圖象關(guān)于直線y＝1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝－2(*－1)2＋3，即y＝－2*2＋4*＋1．二、分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)． 例3在國(guó)內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g不超過(guò)40g付郵資160分，超過(guò)40g不超過(guò)60g付郵資240分，依此類推，每封*g(0＜*≤100)的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）.寫出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象． 分析：由于當(dāng)自變量*在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的．所以，可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)*在各個(gè)小范圍內(nèi)（如20＜*≤40）變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）．解：設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則y是*的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的解析式為*(克)*(克)y(分)O圖2.2－920406080100400320240160802019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖2．2－9所示．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。三、配方法及其應(yīng)用1、同學(xué)們知道，在求二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或求最大（?。┲禃r(shí)需用到變形：，這種變形的過(guò)程就叫配方。具體過(guò)程為用配方來(lái)解決最大（?。┲档葐?wèn)題的方法叫作配方法，這是高中數(shù)學(xué)最重要的方法之一，望同學(xué)們給予足夠的重視，在上高中之前務(wù)必先學(xué)會(huì)并掌握配方。例1、將下列二次函數(shù)式配方：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）例2、求下列二次函數(shù)的最大（或最?。┲担海?）（2）（3）（4）解：（1）∴當(dāng)時(shí)y取最小值（2）∴當(dāng)*=3時(shí)，y取最大值10（3）∴當(dāng)*=-2時(shí)，y取最小值-1（4）∴當(dāng)*=-2時(shí)，y取最大值-3思考：1、二次函數(shù)式的配方和分解因式的區(qū)別是什么.2、你是否已概括出了配方的幾個(gè)步驟.（注：最好不要用公式去套）四、練習(xí)A組將下列二次函數(shù)配方 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）2.3方程與不等式2.3.1二元二次方程組解法一、概念：方程是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng),,叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng)．我們看下面的兩個(gè)方程組：2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。下面我們主要來(lái)研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法．一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來(lái)解．二、典型例題：①②例1解方程組①②分析：二元二次方程組對(duì)我們來(lái)說(shuō)較為生疏，在解此方程組時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式．注意到方程②是一個(gè)一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個(gè)元，再代入到方程①，得到一個(gè)一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題．解：由②,得*＝2y＋2，③把③代入①,整理,得8y2＋8y＝0，即y(y＋1)＝0．解得y1＝0，y2＝－1．把y1＝0代入③,得*1＝2；把y2＝－1代入③,得*2＝0．所以原方程組的解是說(shuō)明：在解類似于本例的二元二次方程組時(shí)，通常采用本例所介紹的代入消元法來(lái)求解．例2解方程組①②①②解法一：由①，得③把③代入②，整理，得解這個(gè)方程，得．把代入③，得；把代入③，得．*O－23*O－23y＝*2－*－6yy＞0y＞0y＜0圖2.3－1解法二：對(duì)這個(gè)方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把看作一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，通過(guò)解這個(gè)一元二次方程來(lái)求．這個(gè)方程組的是一元二次方程的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，得，或．所以原方程組的解是三、練習(xí)A1．下列各組中的值是不是方程組的解"（）（1）（2）（3）（4）2．解下列方程組:（1）（2）（3）（4）2.3.2一元二次不等式解法一、引入：二次函數(shù)y＝*2－*－6的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：*－3－2－101234y60－4－6－6－406由對(duì)應(yīng)值表及函數(shù)圖象(如圖2.3－1)可知當(dāng)*＝－2，或*＝3時(shí)，y＝0，即*2－*-6＝0；2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。當(dāng)*＜－2，或*＞3時(shí)，y＞0，2019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共21頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。即*2－*－6＞0；當(dāng)－2＜*＜3時(shí)，y＜0，即*2－*－6＜0．這就是說(shuō)，如果拋物線y=*2－*－6與*軸的交點(diǎn)是(－2，0)與(3，0)，則一元二次方程*2－*－6＝0的解就是*1＝－2，*2＝3；同樣，結(jié)合拋物線與*軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式*2－*－6＞0的解是*＜－2，或*＞3；一元二次不等式*2－*－6＜0的解是－2＜*＜3．上例表明：由拋物線與*軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集． 則，怎樣解一元二次不等式a*2＋b*＋c＞0(a≠0)呢.我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象來(lái)解一元二次不等式a*2＋b*＋c＞0(a≠0)．為了方便起見(jiàn)，我們先來(lái)研究二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時(shí)的一元二次不等式的解．我們知道，對(duì)于一元二次方程a*2＋b*＋c＝0(a＞0)，設(shè)△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分別為下列三種情況——有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒(méi)有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線y＝a*2＋b*＋c（a＞0）與*軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒(méi)有公共點(diǎn)(如圖2.3－2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式a*2＋b*＋c＞0（a＞0）與a*2＋b*＋c＜0（a＞0）的解．（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝a*2＋b*＋c（a＞0）與*軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(*1，0)和(*2，0)，方程a*2＋b*＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根*1和*2(*1＜*2)，由圖2.3－2①可知**yO*1*2*yO*1=*2y*O圖2.3－2②③①不等式a*2＋b*＋c＞0的解為*＜*1，或*＞*2；不等式a*2＋b*＋c＜0的解為*1＜*＜*2．（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝a*2＋b*＋c（a＞0）與*軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，方程a*2＋b*＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根*1＝*2＝－eq\f(b,2a)，由圖2.3－2②可知不等式a*2＋b*＋c＞0的解為*≠－eq\f(b,2a)；不等式a*2＋b*＋c＜0無(wú)解． （3）如果△＜0，拋物線y＝a*2＋b*＋c（a＞0）與*軸沒(méi)有公共點(diǎn)，方程a*2＋b*＋c＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由圖2.3－2③可知不等式a*2＋b*＋c＞0的解為一切實(shí)數(shù)；不等式a*2＋b*＋c＜0無(wú)解． 今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以－1，將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式．二、典型例題：例3解不等式：（1）*2＋2*－3<0；（2）*－*2＋6＜0；（3）4*2＋4*＋1≥0；（4）*2－6*＋9≤0；（5）－4＋*－*2＜0．解：（1）∵Δ＞0，方程*2＋2*－3＝0的解是*1＝－3，*2＝1．∴不等式的解為－3<*<1．（2）整理，得*2－*－6＞0．∵Δ＞0，方程*2－*－6=0的解為*1＝－2，*2＝3．∴所以，原不等式的解為*＜－2，或*>3．（3）整理，得(2*＋1)2≥0.由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)*都成立，∴原不等式的解為一切實(shí)數(shù)．（4）整理，得(*－3)2≤0.由于當(dāng)*＝3時(shí)，(*－3)2＝0成立；而對(duì)任意的實(shí)數(shù)*，(*－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解為*＝3．（5）整理，得*2－*＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解為一切實(shí)數(shù)．例4已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，∴，即．由于，所以不等式可變?yōu)椋?019屆初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題全文共2