2023數(shù)學(xué)高考真題知識題型28等差等比數(shù)列的證明問題(教師版)

專題28等差等比數(shù)列的證明問題

【高考真題】

1.(2022?全國甲理文)記S,為數(shù)列｛&｝的前"項和.已知號!+〃=2知+1.

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列；

⑵若“4,S,。9成等比數(shù)列,求S.的最小值.

2s

1.解析⑴因為——+n=2a+1,即2S“=2,7”“+〃①，

nn

當(dāng)"22時，2S?_,+(n-l)2=2(n-1)??_1+(n-l)@,

①一②得，2S”+”2_2S“_|=2nan+n-2(n-l)a?_l.

即2%+2〃-l=2〃〃“+1,

即=2("T),所以%n>2KneN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(I)可得%=0+3,“7="1+6,AABC,

又的,的,做成等比數(shù)列，所以。72=。4，。9,

即(q+6)2=(q+3)-(?,+8)，解得4=T2,

所以a“="-13,所以5“=-12”+””?)

所以，當(dāng)”=12或〃=13時(S“)mm=-78.

【方法總結(jié)】

1.等差數(shù)列的四個判定方法

(1)定義法：%+1—a”=d(常數(shù))("62)=｛斯｝是等差數(shù)列.

(2)等差中項法：2an+1=%+%+2("GNjo｛%｝是等差數(shù)列.

(3)通項公式法：a,,=pn+q(p,q為常數(shù)，〃6N*)Q｛a”｝是等差數(shù)列.

2

(4)前〃項和公式法：Sn=An+Bn(A,8為常數(shù)，〃eN*)=｛a“｝是等差數(shù)列.

提醒：(1)定義法和等差中項法主要適合在解答題中使用，通項公式法和前〃項和公式法主要適合在選

擇題或填空題中使用.

(2)若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.

2.等比數(shù)列的四個判定方法

(1)定義法：誓=q(q是不為0的常數(shù)，〃WN*)=｛a“｝是等比數(shù)列.

Cln

(2)等比中項法：—+1=%a+2(恁，&+15+2④，—N)0｛&｝是等比數(shù)列.

(3)通項公式法：an=cq'\c,"均是不為0的常數(shù)，〃GN*)o｛%｝是等比數(shù)列.

(4)前〃項和公式法：S,&為常數(shù)且原0,殲0，1),則｛““｝是等比數(shù)列.

提醒：(1)定義法和等比中項法主要適合在解答題中使用，通項公式法和前〃項和公式法主要適合在選

擇題或填空題中使用.

(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.

【題型突破】

1.已知等差數(shù)列｛“"｝的前”項和為S”且03=7,05+07=26.

⑴求a“及S“；

(2)令與吟(〃GN*),求證：數(shù)列｛仇｝為等差數(shù)列.

1.解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的首項為0,公差為4,由題意有,,解得0=3,4=2,

.2^71+10(7=26,

則4〃=〃|+（九一l）d=3+2（〃-1）=2〃+1,S=^^J3+（"）』”+2）

(2)因為b”=G=~=〃+2,又兒+i-?！?〃+3—(〃+2)=1,

所以數(shù)列｛兒｝是首項為3,公差為1的等差數(shù)列.

311

2.已知數(shù)列｛斯｝中，0=卓an=2~—(〃22,〃￡N*),數(shù)列｛兒｝滿足從==7(〃￡N*).

(1)求證：數(shù)列｛d｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝中的最大項和最小項，并說明理由.

2.解析(1)因為斯=2一‘一("22,“WN*),與=’77("GN*),

〃”一Ia〃1

1

所以bA\—h—1.又從

nn斯+L1

5

-

21為公差的等差數(shù)列.

7!

-+-

2乩

設(shè)/u)=i+“^，則yu)在區(qū)間(-8,,)和g，+8)上為減函數(shù).

所以當(dāng)〃=3時，如取得最小值-1,當(dāng)九=4時，詼取得最大值3.

3.在數(shù)列｛〃〃｝中，〃i=4,nan+1—(n+1)an=2rr+2n.

(1)求證：數(shù)列愕是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列的前n項和S,,.

3.解析(1)證法一：斯=2/?+2〃的兩邊同時除以得詈^一號=2,又岸=4,

所以數(shù)列｛與｝是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.

2

?、L一e、』"〃+|annatt+\—(n+\)an2n+2n-a\

證法一：因為布_/=而而一=^r=2,T=4,

所以數(shù)列｛與｝是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.

⑵由⑴，得詈=?+2("-1),即籌=2〃+2,即。"=2/+2〃,

1二1」.1

故a?2tr+2n2〃(“+1)n+\),

所以KT-+…+f)］中-制=^7

4.數(shù)列｛〃〃｝滿足四=1,+i=(〃+1)。“+〃(〃+1),

⑴求證：數(shù)列愕是等差數(shù)列；

(2)設(shè)仇=3"?麗，求數(shù)列｛d｝的前n項和S?.

4.解析⑴由已知可得空'=華+1,即筆■一華=1,所以［陰是以牛=1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

〃十1n〃十1n［njI

⑵由(1)得，^=1+(0-1)-1=?,所以斯=〃2,從而可得"產(chǎn)"3".

S,=lx3i+2x32+...+(〃-l)x3"r+〃x3”①，

3S?=lx32+2x33+...+(n-l)x3n+nx3n+l②.

,,,,,3-(1-3H)+,(l-2n)-3"+1-3

①一②，得/a一2S“=31+32+…+3"—n-V'+1=十『一"J"1=1------------

(2"-1)3計1+3

所以Sn=

4

5.若數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，且滿足a”+2S5i=0(論2)，

⑴求證:成等差數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛3｝的通項公式.

5.解析(1)當(dāng)定2時,由如+2S“S“T=0,得SLSnT=-2S&T,

因為S#0,所以1?一一—=2,又J=；=2,

故是首項為2,公差為2的等差數(shù)列.

⑵由(I)可得上=2",所以S”=

.___1_]____〃-1—〃_]

，

當(dāng)n>2時'a?=S?-S?-i=2^-2(n_1)=2zi(n_1)=-27I(n-D

〃=1,

當(dāng)〃=1時，不適合上式.故斯=1J

色

I—2〃(-〃--一--717)?2

6.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為，，且2S〃=3知一3〃+i+3(〃￡N*).

(1)設(shè)d=筆，求證：數(shù)列伯“｝為等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛為｝的通項公式;

(2)設(shè)以=與一翁7；=CI+C2+C3H-----Fc?,求T".

6.解析(I)由已知2S“=3“"-3"+i+3(〃GN*),①

“22時,2sLi=3?！?1-3"+3,②

①一②得：=3〃“一3an-1-2?3"=如=-1+2?3",

故筆=捐+2,則瓦一兒-i=2("22).

又”=1時，2al=3“|—9+3,解得m=6,則加=5=2.

故數(shù)列出"｝是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，.?>“=2+2("-1)=2"=斯=2〃-3".

(2)由(1),得c“=2,3"-2”

-..??3(1—3")(1+〃)〃+[>

23(,,2

7'?=2(3+3+3+-+3)-2(l+2H----F?)=2-1-3-2-2=3"'~n~n~3.

21

7.(2021?全國乙)設(shè)S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，為為數(shù)列｛*｝的前八項積，已知至+a=2.

(1)證明：數(shù)列｛仇｝是等差數(shù)列；

(2)求｛斯｝的通項公式.

7.解析(1)因為瓦是數(shù)列｛S,｝的前"項積，所以〃22時，S“=H

tfn-\

代入￡+*=2可得，今^+*=2,整理可得26“-|+1=2"，即方“一兒|=/(〃》2).

又2專1++3=看=2,所以濟3=[故也｝是3以與為首項I，為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可知，為=5+3(〃-1)―—弓一，則k+一工7=2,所以S“=—?1,

乙乙乙n~v~Z77?i

.3i,、i〃+2n~\~11

當(dāng)〃=1時，ai=Si=],當(dāng)〃22時，?n=S,=^~j—^-=

核n=\,

故>9

Ln(n+\)'"I'

8.(2014?全國I)已知數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”0=1,a?^0,^?+l=zS?-l,其中4為常數(shù).

(1)證明：a?+2—an=A；

(2)是否存在九使得｛斯｝為等差數(shù)列？并說明理由.

=

8.解析⑴由題設(shè)知，Clnan+1ASn—1,〃〃十|〃“+2=ZS"+1—1,兩式相減得〃〃+1(斯+2—斯)=2斯+1，

田4。〃+#0,所以a〃+2a”九

(2)由題設(shè)知，41=1,〃]口2=涵-1,可得〃2=2—1.由⑴知,43=2+1.

令2〃2=41+〃3,解得2=4.

故〃〃+2—斯=4,由此可得數(shù)列｛〃2”-1｝是首項為1?公差為4的等差數(shù)列，〃2"T=4〃-3；

數(shù)列｛々2〃｝是首項為3,公差為4的等差數(shù)列，〃2〃=4〃-1.所以斯=2〃-1,%+L%=2,

因此存在)=4,使得數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列.

9.設(shè)數(shù)列｛如｝的前〃項和為S”，且滿足。“一^S,,—l=O(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)是否存在實數(shù)2,使得數(shù)列｛S“+(〃+2"況｝為等差數(shù)列？若存在，求出2的值；若不存在，請說明理

由.

9.解析(1)由a〃一1=O("GN"),可知當(dāng)"=1時，a]—|ai—1=0,即G=2.

又由斯一發(fā)”一1=0("GN*),可得“"+i——1=0，

兩式相減，得(a”+i—；S〃+|—1)—(a〃一；S“一1)=0,即;a”+i—%=0,即a“+i=2a”.

所以數(shù)列｛”“｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故斯=2"(〃GN*).

(2)由(1)知，S“=笠三六=2(2"—1),所以S“+(〃+2")2=2(2"—1)+(〃+2")九

若數(shù)列｛S"+(〃+2")A｝為等差數(shù)列,則的+(1+2)-52+(2+22)2,8+(3+23)2成等差數(shù)列，

23

即有2[S2+(2+2)2]=[Si+(1+2)A]+[53+(3+2)2],即2(6+62)=(2+3A)+(14+lU),解得2=-2.

經(jīng)檢驗2=-2時，｛5“+(〃+2"乂｝成等差數(shù)列，故2的值為-2.

10.若數(shù)列｛仇｝對于任意的"UN*,都有仇+2一仇=”(常數(shù))，則稱數(shù)列｛仇｝是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如數(shù)

[4A?—1,〃為奇數(shù),

列G”若c“=LLn小佃%則數(shù)列｛金｝是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足，對于

[4〃+9,〃為偶數(shù)，

〃￡N*,都有?！?%+]=26

(1)求證：｛〃〃｝是準(zhǔn)等差數(shù)列；

(2)求]〃〃｝的通項公式及前20項和S2o.

10.解析⑴證明：????！?即+|=22仁1<),①，???知+]+斯+2=25+l)(〃￡N*),②

②一①，得知+2-a〃=2(〃WN").工(a〃｝是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列.

(2),**=6f?〃“+4〃+|=2〃(〃eN"),；?m+〃2=2x],即“2=2—(1.

???由(1)得4],〃3,。5,…是以。為首項，2為公差的等差數(shù)列；

〃2,。4,〃6…是以2—4為首項，2為公差的等差數(shù)列.

當(dāng)n為偶數(shù)時，斯=2—〃+(?—1)x2=〃一〃；

〃+1、

戶〃+以-

當(dāng)n為奇數(shù)時，an=a+—2—-12=1.

n+a—1,〃為奇數(shù),

n-at〃為偶數(shù).

520=0+42+43+〃4+…+ai9+a20=3l+a2)+(a3+a4)+…+(419+〃20)

(1+19)x10

=2xl+2x3+...+2xl9=2>c-----=一=200.

11.已知數(shù)列{〃”}的首項Qi>0,即+1=。3KSEN*),且〃1=。.

ZXlijIID

(1)求證：15一”是等比數(shù)列，并求出｛?。耐椆?

(2)求數(shù)列{a}的前n項和T,,.

?2an+1]

1仇+1加?_______3an_____2a〃+l—La”1

11.解析(1)記

"bnJ__|JL_J3—3〃“3(1—an)

anan

3

又-

2所以是首項為上公比為士的等比數(shù)列.

11/1、2x3"2x3"

所以十一1=上撲「即期==.℃口.所以數(shù)列｛斯｝的通項公式為a“=|小℃“T.

4wz1IzxjI-rzxj

-|心］的前〃項和T?=1

(2)由(1)知，1｝+1.所以數(shù)列

1-3

3

-

2-

12.已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S”"6N,出=1,2“3=1,且當(dāng)〃22時，4S"+2+5S"=8S“+I+S,L

I-

(1)求“4的值；

(2)證明：｛斯+L5“｝為等比數(shù)列.

35

=-=-

12.解析(1)因為4S”+2+5S"=8S“+I+S“T?22a34

當(dāng)九=2時，4S4+5S2=853+SI,即4X(l+^+[+〃4)+5X(l+|)=8X(l+1+g+l,解得方:看

(2)由4S〃+2+5S〃=8s〃+]+S”i(〃22),得45"+2-45“+]+*-*-]=45〃+]-48522),

即44〃+2+m=4。什1(心2),當(dāng)〃=1時，有4〃3+內(nèi)=4乂[+I=6=4s,???4a〃+2+a〃=4a〃+i,

.a"”2"“''4?！?2-2?！?14斯71%—2斯72斯+|—斯1

**14%+i-2%4〃”+i-2斯2(2知-]—a”)2'

0?+1-2斯

二數(shù)列,”+L&j是以42—*=1為首項，3為公比的等比數(shù)列.

13.己知數(shù)列伍〃｝的前〃項和S”滿足S“=2〃〃+(—l)n(〃￡N)

(1)求數(shù)列｛斯｝的前三項。1，。2,。3；

(2)求證：數(shù)歹0所+永一1)")為等比數(shù)列，并求出｛斯｝的通項公式.

=2〃i—1,

13.解析⑴在S”=2a”+(—1)〃("WN*)中分別令九=1,2,3,得汩1+。2=北2+1,解得j〃2=0,

、4]+〃2+。3=2。3-1,《3=2.

(2)由￡=2斯+(—1)〃(〃￡N*),得Si=2小一葉(一l)Li(〃22),

兩式相減,得六=2斯-|一2(—1)”>22),

4

n-

a?=2a?-1—^(—1)-^(—1)"=2-3

1)"=2a?-i+j(—I)"-1(〃》2).

故數(shù)列卜"+多T)"｝是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.

21]?2"-12

:?〃〃+,(—1)〃=§義2〃一I.二%=gX2〃?一?義(-1)"=-y—g(—1)”.

14.已知在正項數(shù)列｛〃〃｝中，m=2,點4(兩，日〃“+1)在雙曲線y2一中=1上,數(shù)列｛九｝中，點(％北)在

直線了=一5+1上，其中〃是數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和.

⑴求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

(2)求證：數(shù)列｛與｝是等比數(shù)列.

14.解析(1)由點A〃在y2—』=1上知詼+]—?！?1,

所以數(shù)列｛小｝是一個以2為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以an=ai+(n—l)d=2+〃-1=〃+1.

(2)因為點(b“，7；)在直線y=—%+1上，所以刀尸一%"+I,①

所以。-1=-3以-1+1("22).(2)

①②兩式相減得bn=—所以權(quán)所以"產(chǎn)，“-i("22),

12

在①式中令〃=1,得/="=—/i+l,所以加=?,

所以｛仇｝是一個以彳2為首項，以II為公比的等比數(shù)列.

[斯+1,〃為奇數(shù)，

15.已知數(shù)列｛〃“｝滿足：〃1=1,念+1=入j田W(〃￡N"),設(shè)兒=〃2“-1.

[2斯，〃為偶數(shù)

⑴求歷,仇,并證明兒+1=2①+2；

(2)①證明：數(shù)列｛b+2｝為等比數(shù)列；

②若他*，儂+1,9+儂+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值.

[a?+1,”為奇數(shù)，

%+1=[5

15.解析(1)；數(shù)列｛斯｝滿足m=l,斗/班(?GN*),b,l=a2n-i,

l2an9〃為偶數(shù)

...岳=。3=2。2=2(。|+1)=4,—=45=204=2(03+1)=10,

=

同理，bn+1=〃2〃+12。2〃=2(〃2〃-1+1)=2(/?//+1)==2兒+2.

(2)①???"=仍=1,6+2W0,牛吉=當(dāng)土手=2,二數(shù)列｛d+2｝為等比數(shù)列.

②由①知歷,+2=3X2"-,.?.4=3X2">一2,

-1

，a2"T=3X2"r—2,a2n=a2n-\+1=3X2"-I,Va2k,42Hl.9+。2人+2成等比數(shù)列，

.,.(3X2A-2)2=(3X2A-|-1)(3X2X+8),令2k=t,得(3f—2)2=(m一l)(3r+8),

2

整理，得3戶―14/+8=0,解得f=§或r=4,*.YGN*,：,2k=4,解得&=2.

16.(2019?全國H)已知數(shù)列｛斯｝和｛兒｝滿足m=l,6=0,4斯+|=3。“一兒+4,4m尸3兒一④一4.

(1)證明：｛如+兒｝是等比數(shù)列，｛為一力｝是等差數(shù)列；

(2)求｛如｝和｛d｝的通項公式.

16.解析(1)由題設(shè)得4(斯+1+/?”-1)=2(。”+。")，即。”+|+b"+i=2(斯+瓦).

又因為出+仇=1,所以｛斯+d｝是首項為1,公比為￡的等比數(shù)列.

由題設(shè)得4(。”+1—瓦+。=4(如一仇)+8,即an+t—bn+\=a,—bn+2.又因為a\-b\=\,

所以｛斯一兒｝是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.

⑵由(1)知，即+b“=E-r，a,-b?=2n-\,所以“"=3(4"+仇)+(a“一兒)]=￡+〃一：，

■=|[(如+①)-3"—幾)]

17.(2018?全國I)己知數(shù)列｛斯｝滿足“i=1,na?+i=2(n+l)a?,設(shè)瓦=號.

⑴求bi,bi,bi；

(2)判斷數(shù)列｛兒｝是否為等比數(shù)列，并說明理由：

(3)求｛斯｝的通項公式.

17.解析(1)由條件可得知+|=迦魯斯.

將〃=1代入，得6=44],而0=1,所以々2=4.

將〃=2代入，得。3=3〃2,所以43=12.從而bi=l,岳=2,力3=4.

(2)｛兒｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由：由條件可得篙=2年，即兒+I=2兒.

又6=1,所以｛仇｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

⑶由(2)可得詈=2嘰所以小=〃2門，〃GN*.

18.已知數(shù)列｛小｝的前〃項和為0=1,%>0,能=晶+1—25.+1,其中已為常數(shù).

(1)證明：S?+i=25?+2；

(2)是否存在實數(shù)人使得數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，若存在，求出人若不存在，說明理由.

18.解析(1)?.,〃“+]=S〃+|—S〃，Sn=Cln+\—7S〃+],

?**Sn=(S“+1—Si)?—AS/?+l,*'?Sn+1(S?+1—2S〃12)=0,

V6Z,)>0,；?S”+1—2Sn—2=0；.??S〃+]=2S〃+2.

(2)存在7=1,使得數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，理由如下：

S〃+i=2S〃+2,S〃=2S”-i+a(〃N2),相減得a”+i=2a〃(〃22),

??.｛斯｝從第二項起成等比數(shù)列，???52=20+2,即以2+的=2內(nèi)+:?"2=1+?0,得，>一1,

.19n=1,

1)2"??>2,

若使｛斯｝是等比數(shù)列，則-。3=成，2q+i)=a+i)2,."=-1(舍)或41,經(jīng)檢驗符合題意.

19.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前"項和為S”，。=(“”1),6=(1,mo),若a協(xié)=24,且S“=143,數(shù)列｛兒｝的前"

項和為T,?且滿足和「1=4北一3-